Due in uno.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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Due in uno.

Messaggio da Bruno »

Questo mi è piaciuto :D

Dimostrare che A = A₁ + A₂.

B5 - Due quadrati in uno.jpg
B5 - Due quadrati in uno.jpg (9.14 KiB) Visto 342 volte
(Bruno)

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delfo52
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Re: Due in uno.

Messaggio da delfo52 »

soluzione laterale ma non troppo.
1) Bruno non scrive cose a caso
2) Bruno non ha specificato dove devono posizionarsi i 45°
3) Ergo, la soluzione è indipendente da dove "guarda" l'angolo.
4) E allora io lo metto appoggiato a un lato, così che uno dei due quadrati da sommare si annulla e l'altro diventa uguale a quello grande.
Enrico

Bruno
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Re: Due in uno.

Messaggio da Bruno »

Enrico, sei formidabile, come sempre :D

delfo52 ha scritto:
lun feb 08, 2021 7:25 pm
4) E allora io lo metto appoggiato a un lato, così che uno dei due quadrati da sommare si annulla e l'altro diventa uguale a quello grande.
In tal modo, però, hai illustrato un caso particolarissimo, uno in uno :wink:
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panurgo
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Due in uno.

Messaggio da panurgo »

Prima via (analitica)

DueInUno.01.480x480.png
DueInUno.01.480x480.png (13.53 KiB) Visto 287 volte
Sia $\alpha$ l’angolo $\mathtt{C}\hat{\mathtt{B}}\mathtt{F}$ e $\beta$ l’angolo $\mathtt{C}\hat{\mathtt{B}}\mathtt{E}$ dimodoché $\alpha-\beta=45^\circ$.

Abbiamo

$\displaystyle\tan\left(\alpha-\beta\right)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=1$

Le due tangenti sono

$\displaystyle\tan\alpha=\frac{l+l_1}{l_2}$

e

$\displaystyle\tan\beta=\frac{l_1}{l+l_2}$

Sostituendo otteniamo

$\displaystyle\frac{\displaystyle \frac{l+l_1}{l_2}-\frac{l_1}{l+l_2}}{\displaystyle 1+\frac{l+l_1}{l_2}\cdot\frac{l_1}{l+l_2}}=1$

da cui, con facile algebra, segue

$\displaystyle l^2=l_1^2+l_2^2$

Seconda via (sintetica)

DueInUno.02.480x480.png
DueInUno.02.480x480.png (28.19 KiB) Visto 287 volte
Con centro in $\mathtt{E}$ tracciamo la circonferenza per $\mathtt{C}$, con centro in $\mathtt{F}$ tracciamo la circonferenza per $\mathtt{A}$: le due circonferenze si intersecano nel punto $\mathtt{G}$ (sic!).
Il triangolo $\mathtt{EFG}$ è rettangolo perché $\mathtt{G}$ giace sul semicerchio $\mathtt{EF}$ (credo) e le diagonali dei quadrati sono proporzionali ai lati.
il panurgo

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Gianfranco
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Re: Due in uno.

Messaggio da Gianfranco »

delfo52 ha scritto:
lun feb 08, 2021 7:25 pm
1) Bruno non scrive cose a caso
Cercavo una dimostrazione breve, sorprendente, ma non l'ho tovata.
Bella la soluzione sintetica di Panurgo, purtroppo per ora rimane a livello di congettura.
Propongo qui una soluzione cortissima che ho trovato con l'aiuto Maxima.

Prima parte: ho ridotto il problema all'essenziale usando anche le considerazioni di Panurgo nella sua diostrazione sintetica.
dueinuno.png
dueinuno.png (16.87 KiB) Visto 230 volte
Ho considerato il triangolo rettangolo isoscele ABC inscritto in un semicirconferenza di raggio 1.
Basta dimostrare che AE, EF, FB possono essere i lati di un triangolo rettangolo.
Le relazioni trigonometriche scritte nella figura si ricavano immediatamente.

Seconda parte: bisogna dimostrare che:
$AE^2+FB^2-EF^2=0$
E' un calcolo meccanico e qui subentra Maxima.
dueinuno2.png
dueinuno2.png (32.4 KiB) Visto 230 volte
a) La scrittura:
a:(1-tan(x));
assegna alla variabile a una funzione, il ";" dice che è finita la linea e chiede a Maxima di mostrare la valutazione della funzione.

b) Nella scrittura:
d:a^2+b^2-c^2;
si chiede a Maxima di assegnare alla variabile d una somma di funzioni e di mostrare la valutazione del risultato. La cosa potente è che Maxima elabora le funzioni in modo simbolico ma non si spinge troppo avanti perché non conosce le mie intenzioni.

c) La scrittura:
trigrat(d);
chiede a Maxima di semplificare l'espressione trigonoetrica portandola in forma normale (o canonica), cioè contenente solo sin e cos.
Maxima ci pensa un po' ed ecco che otteniamo 0.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Bruno
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Re: Due in uno.

Messaggio da Bruno »

W Maxima :D

L'idea sintetica di Guido è buona :wink: ma, rimaterializzando i tre quadrati, si può forse sfruttare più facilmente, per esempio, la proprietà degli angoli alla circonferenza rispetto a quelli al centro...
(Bruno)

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panurgo
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Re: Due in uno.

Messaggio da panurgo »

Intanto, ho rimaterializzato i quadrati...
DueInUno.04.480x480.png
DueInUno.04.480x480.png (33.26 KiB) Visto 125 volte
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Re: Due in uno.

Messaggio da Bruno »

panurgo ha scritto:
gio feb 25, 2021 1:20 pm
Intanto, ho rimaterializzato i quadrati...

Hai fatto bene :D
(Bruno)

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