il Minimo del Maggiore

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

Bruno
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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da Bruno »

In effetti, non vedo altre vie interpretative.
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franco
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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da franco »

Il testo originale in Francese dice "--- la plus petite longueur possible du plus grand côté du triangle ..."
Ho tradotto plus petite / plus grande in minore / maggiore me non credo che il problema sia li.

Mi sembra comunque che la soluzione di Guido risponda perfettamente a quanto richiesto dal problema.
Non veniva specificato esplicitamente il fatto che fossero ammissibili situazioni di "pari merito" ma nemmeno venivano escluse.

E in fin dei conti si tratta di matematica ricreativa :)
Franco

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Bruno
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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da Bruno »

Sulla chiarezza della richiesta ci sarebbe da discutere, Franco (tu stesso hai adottato un titolo schietto), anche facendo quattro passi con Bartezzaghi, ma sulla sostanza del punto di arrivo non ho dubbi ;)
(Bruno)

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delfo52
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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da delfo52 »

bellissima la "lezione". La soluzione conferma (ma non ci voleva molto) la mia risposta abborracciata: un po' più largo il raggio e un po' più spostato verso l'angolo retto il punto sul cateto minore
Enrico

Pasquale
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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da Pasquale »

Direi comunque che, a parte la questione del testo, la risoluzione di Panurgo nel senso precisato nella sua premessa, secondo la quale la ricerca veniva svolta sul triangolo equilatero, resta una magistrale lezione sul procedimento adottato per raggiungere quello scopo, relativamente in particolare alla costruzione geometrica ed all'individuazione del valore minimo attraverso il processo di derivazione (se ho capito bene), a parte la ricreazione, anch'essa assicurata, come fatto notare da Franco.

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franco
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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da franco »

Io mi ero figurato un triangolo equilatero che aveva i vertice sul lato AB nel punto di arrivo della bisettrice dell'angolo opposto ma senza dimostrare che fosse corrispondente al minimo.
Per puro piacere l'ho costruito graficamente con riga e compasso (virtuali) ma avavo già visto che il lato veniva un pochino più lungo (0,3282) di quello trovato da Guido (0,3273).
Poi è arrivato il suo post con la soluzione completa prima che avessi il tempo di lavorarci ...
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Gianfranco
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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da Gianfranco »

Fermo restando che la soluzione migliore, secondo me, è questa di Panurgo:
panurgo ha scritto:
mer feb 03, 2021 1:04 pm
Beh, ragazzi...
$\displaystyle\ell=\frac{\sqrt{21}}{14}+\epsilon$
e che la dimostrazione di Panurgo è fenomenale,

propongo anch'io la mia prima costruzione, che si avvicina, ma non è quella ottima, che ho fatto prima di creare la simulazione numerica.
Credo che sia equivalente a quella di Franco, anche se segue una strada un po' diversa.
triangolo_min_max1.png
triangolo_min_max1.png (46.37 KiB) Visto 951 volte
La costruzione parte dal presupposto che il triangolo rosso (ELM) sia equilatero e che il vertice E si trovi sulla bisettrice dell'angolo A.
Inoltre che ALM sia un triangolo rettangolo isoscele.
Tutti i cerchi hanno raggio=AE.
I cerchi servono soltanto a costruire due angoli di 30° simmetrici rispetto alla bisettrice AE.
Questa costruzione porta a un'equazione molto semplice che permette di trovare il lato $a$ del triangolo.
triangolo_min_max2.png
triangolo_min_max2.png (16.43 KiB) Visto 951 volte
Si trova che:
$\large a=\frac{2 \sqrt{3}-3}{\sqrt{2}}=0.328169...$
che però non è abbastanza minimo.
Il triangolo trovato da Panurgo è leggermente ruotato rispetto a questo, con l'angolo LMA=49° circa.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da delfo52 »

esula dal problema, ma condivido una mia postilla.
E qual è il triangolo dalla superficie minima con i tre vertici sui tre lati?

La mia soluzione identifica i tre punti
-su AC un pizzico a nord di A
-su AB un pizzico a est di B
-su BC un pizzico a nordovest di B :D :D :D
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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da franco »

Gianfranco ha scritto:
mer feb 03, 2021 11:07 pm
Credo che sia equivalente a quella di Franco, anche se segue una strada un po' diversa.
Effettivamente parliamo dello stesso triangolo.
E' curioso che due vertici coincidano con il punto d'arrivo delle bisettrici (e il terzo invece no).
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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da franco »

delfo52 ha scritto:
gio feb 04, 2021 10:49 am
esula dal problema, ma condivido una mia postilla.
E qual è il triangolo dalla superficie minima con i tre vertici sui tre lati?

La mia soluzione identifica i tre punti
-su AC un pizzico a nord di A
-su AB un pizzico a est di B
-su BC un pizzico a nordovest di B :D :D :D
Io invece direi:
-su AC un pizzico a nord di A
-su AB un pizzico a ovest di A
-su BC in coincidenza con il piede della perpendicolare a BC passante per A
Dovrebbe anche essere il triangolo con il minor perimetro.
:D :D
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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da Bruno »

franco ha scritto:
gio feb 04, 2021 11:21 am
Io invece direi:
-su AC un pizzico a nord di A
-su AB un pizzico a ovest di A
-su BC in coincidenza con il piede della perpendicolare a BC passante per A

"-su AB un pizzico a ovest di A": Franco, intendi che ti sposti verso B, giusto?
L'ho pensata anch'io così, a freddo.
Ma forse l'idea di Enrico è migliore perché potrebbe portare a un'altezza minore (anche rispetto alla stessa lunghezza della base), se ho ben capito le sue istruzioni :D


delfo52 ha scritto:
gio feb 04, 2021 10:49 am
-su AB un pizzico a est di B

Cioè uno spostamento verso A, Enrico, giusto?
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il Minimo del Maggiore

Messaggio da panurgo »

L'area minima è ovviamente zero: $\text{D}=\text{B}$ ed $\text{E}=\text {F}=\text{A}$.

Più interessante è il triangolo di perimetro minimo...
il panurgo

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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da Bruno »

È chiaro. Come nel problema principale, dove la differenza fra il "maggior lato" e gli altri è nulla, ragionavamo sui "pizzichi" :D
(Bruno)

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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da franco »

si, ... io intendevo di fare un triangolino con vertice nel punto H (piede dell'altezza su BC) e gli altri due che si avvicinano sempre più al punto A :)
chiaramente le aree di questi triangoli puntano tutte ad annullarsi ... non so se ha senso valutare la velocità con cui si annullano.
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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da Bruno »

Magari si potrebbe fissare un segmento, assegnarlo a un lato di un triangolo iscritto in ABC (un vertice su ogni lato) e cercare di valutarne l'area minima, non so... era poi quello che immaginavo fra i "pizzichi".

No, senz'altro l'idea di Guido ha più senso :wink:
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