il Minimo del Maggiore

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franco
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il Minimo del Maggiore

Messaggio da franco »

Sia dato il triangolo emi-equilatero ABC rettangolo in A e con ipotenusa BC=1.
Determinare la lunghezza minima del maggiore dei lati del triangolo i cui tre vertici giaciono ognuno su uno dei lati del triangolo ABC.
Costruire con riga e compasso il triangolo corrispondente.

Soit un triangle ABC demi-équilatéral dont l’angle en A vaut 90° et BC = 1.
Déterminer la plus petite longueur possible du plus grand côté du triangle dont les trois sommets se trouvent respectivement sur les trois côtés du triangle ABC.
Construire à la règle et au compas le triangle correspondant.


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ciao

Franco
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delfo52
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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da delfo52 »

rispondo in modo approssimativo, così...un po' a occhio, un po' a naso, ...
Sia AB il cateto corto.
Sia D il punto medio di AB.
Con raggio uguale a AD e centro in D, identifico su AC il punto E e su BC il punto F.
Il triangolo DFE ha due lati uguali (DE e DF) e il terzo lato EF, a occhio, mi sembra poco più lungo.
Potrebbe anche essere equilatero.
Oppure potrebbe essere addirittura un pelo più corto. (non ho fatto il disegno; ho solo immaginato).
In ogni caso la soluzione deve restare nella parte "bassa" del triangolo (immaginandolo con AB in basso).
Enrico

panurgo
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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da panurgo »

A occhio e croce, direi...

$\displaystyle\ell=\frac{\sqrt{21}}{14}$

...per la costruzione dovrete aspettare domani... :wink:
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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da Gianfranco »

delfo52 ha scritto:
lun feb 01, 2021 11:04 pm
Sia AB il cateto corto.
Sia D il punto medio di AB.
Con raggio uguale a AD e centro in D, identifico su AC il punto E e su BC il punto F.
Non capisco la costruzione...
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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da delfo52 »

faccio ammenda. Come detto, avevo fatto tutto "a mente" e avevo immaginato che il cerchio intersecasse AC. Bisogna allargare il raggio! E/o spostare D un poco a sinistra
Enrico

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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da Gianfranco »

Il triangolo equilatero mi tenta, ma non so dimostrare che è proprio lui.
Pace e bene a tutti.
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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da panurgo »

Gianfranco ha scritto:
mar feb 02, 2021 10:52 am
Il triangolo equilatero mi tenta, ma non so dimostrare che è proprio lui.
Parti da un triangolo qualsiasi e cerca di diminuire il lato più lungo: ad un certo punto...
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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da Gianfranco »

panurgo ha scritto:
mar feb 02, 2021 11:06 am
Parti da un triangolo qualsiasi e cerca di diminuire il lato più lungo: ad un certo punto...
Ho fatto così, ma la procedura che ho seguito non mi dà quella certezza interiore che senti quando hai imboccato il sentiero giusto.
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Gianfranco

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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da panurgo »

Certo non è questa procedura che ti fornisce il lato minimo: dimostra solo che il lato minimo lo hai con un triangolo equilatero.

Infatti, se tu hai un triangolo equilatero qualsiasi modifica produce almeno un lato più grande del lato di partenza: bisogna trovare il triangolo equilatero minimo.
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il Minimo del Maggiore

Messaggio da panurgo »

Il triangolo di partenza è questo, con le sue misure.
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Per prima cosa dobbiamo convincerci che il triangolo con il lato maggiore minimo è un triangolo equilatero: partiamo con un triangolo qualsiasi mantenendo fisso il punto $\mathtt{F}$ e spostando gli altri.
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Il lato maggiore è il lato $\mathtt{EF}$. Spostiamo dunque $\mathtt{E}$ verso $\mathtt{A}$: quando $\mathtt{E}$ raggiunge l’intersezione dell’asse di $\mathtt{DF}$ con il lato $\mathtt{AC}$, il triangolo $\mathtt{DEF}$ è isoscele e, proseguendo, il lato $\mathtt{EF}$ non sarebbe più il più lungo
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Ora è il momento di spostare $\mathtt{D}$ verso $\mathtt{C}$ in modo che il lato $\mathtt{DE}$ diminuisca (e il lato $\mathtt{DF}$ aumenti)
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Poi viene di nuovo il turno di $\mathtt{E}$
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Con l’ultimo spostamento di $\mathtt{D}$ il triangolo è pressoché equilatero
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Evidentemente, se $\mathtt{DEF}$ fosse il più piccolo triangolo equilatero possibile, qualsiasi cambiamento peggiorerebbe la situazione.
Dobbiamo dunque cercare il più piccolo triangolo equilatero: supponiamo sia questo.
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Tracciata la perpendicolare da $\mathtt{F}$ osserviamo che i triangoli rettangoli $\mathtt{AEF}$ e $\mathtt{DFH}$ sono congruenti perché hanno gli angoli in $\mathtt{F}$ complementari e le ipotenuse congruenti.
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Gli angoli in $\mathtt{F}$ sono complementari perché l’angolo $\mathtt{EFD}$ è di $\mathtt{60^\circ}$ mentre l’angolo $\mathtt{BFH}$ è di $\mathtt{30^\circ}$.
Siano

$\begin{array}{lC}\displaystyle\mathtt{AF}=\mathtt{DH}=x \\ \displaystyle\mathtt{AE}=\mathtt{FH}=\frac{\sqrt3}2\left(\frac12-x\right) \\ \displaystyle \mathtt{DF}=\mathtt{EF}=\ell\end{array}$

Abbiamo

$\displaystyle \ell=\frac{x}{\cos\vartheta}=\frac{\frac{\sqrt3}2\left(\frac12-x\right)}{\sin\vartheta}$

ovvero, con facile algebra e trigonometria,

$\displaystyle x=\frac{\sqrt3}{2\sqrt3+4\tan\vartheta}$

da cui

$\displaystyle \ell=\frac{\sqrt3}{2\sqrt3\cos\vartheta+4\sin\vartheta}$

Deriviamo e poniamo uguale a $0$

$\displaystyle \ell^\prime=\frac{\sqrt3}2\frac{2\cos\vartheta-\sqrt3\sin\vartheta}{\left(\sqrt3\cos\vartheta+2\sin\vartheta\right)^2}=0$

che si annulla per

$\displaystyle\tan\vartheta=\frac2{\sqrt3}$

quindi

$\displaystyle x=\frac{\sqrt3}{2\sqrt3+4\frac2{\sqrt3}}=\frac3{14}$

cioè quando $\mathtt{AF}:\mathtt{AB}=3:7$.
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Messaggio da panurgo »

Ecco dunque la costruzione: innalzata la perpendicolare al punto $\mathtt{B}$ stacchiamo su di essa con il compasso sette segmenti uguali
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IlMinimoDelMaggiore.05.2.480x320.png (8.43 KiB) Visto 1396 volte
Tracciamo la retta dal settimo punto ad $\mathtt{A}$, indi la parallela per il quarto punto: Talete ci dice che $\mathtt{AF}:\mathtt{AB}=3:7$.
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IlMinimoDelMaggiore.05.3.480x320.png (11.64 KiB) Visto 1396 volte
Abbassata la perpendicolare da $\mathtt{F}$ riportiamo su $\mathtt{BC}$ la distanza $\mathtt{AF}$, individuando il punto $\mathtt{D}$
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IlMinimoDelMaggiore.05.4.480x320.png (13.1 KiB) Visto 1396 volte
Con centro in $\mathtt{F}$ tracciamo la circonferenza per $\mathtt{D}$: $\mathtt{AE}$ e $\mathtt{FH}$ sono congruenti perchè lo sono sia $\mathtt{AF}$ e $\mathtt{HD}$ sia $\mathtt{DF}$ ed $\mathtt{EF}$, sempre per costruzione.
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$\mathtt{D}$, $\mathtt{E}$ ed $\mathtt{F}$ sono i vertici del triangolo desiderato.
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il panurgo

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Pasquale
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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da Pasquale »

Forse o anzi certamente, non ho interpretato bene i termini del problema e/o quanto esposto finora, per cui mi son chiesto come sia possibile l'esistenza di un lato più lungo in un triangolo equilatero inscritto nel primo, salvo trarne poi un lato un po' più lungo di misura indefinita.
Ho pensato dunque, per avere certezza dell'esistenza del triangolo cercato, di tracciarne uno rettangolo in cui certamente si individua un lato più lungo nella sua ipotenusa.
Il problema si trasformerebbe nella ricerca di un triangolo rettangolo inscritto e con l'ipotenusa di misura minore.
In tal senso, mi è sembrato di individuare tale triangolo, tuttavia in modo intuitivo, in quello la cui ipotenusa misura metà del cateto AC del primo triangolo ed è ad esso parallelo: la sua misura sarebbe metà di quel cateto, cioè $\frac{\sqrt{3}}{4}$.
Naturalmente non è dimostrato che l'ipotenusa indicata sia la più piccola possibile.

.......
Vedo che nel frattempo, fra una pensata e l'altra, una trasmissione TV sul covid e l'altra, c'è già stato altro stratosferico input del Prof., che non ancora ho studiato, ma con la misura ricercata minore di questa e comunque certificata dalla derivata azzerata. :shock:
_________________

\text {   }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Gianfranco
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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da Gianfranco »

Pasquale ha scritto:
mer feb 03, 2021 1:14 am
...mi son chiesto come sia possibile l'esistenza di un lato più lungo in un triangolo equilatero inscritto nel primo, salvo trarne poi un lato un po' più lungo di misura indefinita.
panurgo ha scritto:
mar feb 02, 2021 9:50 pm
Per prima cosa dobbiamo convincerci che il triangolo con il lato maggiore minimo è un triangolo equilatero: partiamo con un triangolo qualsiasi mantenendo fisso il punto $\mathtt{F}$ e spostando gli altri.
IlMinimoDelMaggiore.04.1.480v320.png
Ciao Pasquale, non so se ho capito bene il tuo dubbio, ma provo a spiegarlo.
La frase dubbia è:
"Determinare la lunghezza minima del maggiore dei lati del triangolo i cui tre vertici giacciono ognuno su uno dei lati del triangolo ABC."
Questo farebbe pensare che il triangolo richiesto debba avere necessariamente un lato che sia MAGGIORE degli altri due e non MAGGIORE O UGUALE.
Quindi sarebbe escluso il triangolo equilatero perché non ha un lato che sia maggiore degli altri.
E' un piccolo tarlo che rode anche me.
Quindi, i casi sono 2:
1) o si modifica leggermente il testo del problema;
2) o si cerca un triangolo che abbia effettivamente un lato MAGGIORE degli altri due, cioè sia scaleno oppure isoscele.
Il triangolo equilatero trovato da Panurgo sarebbe un caso limite.

Ciao Panurgo, ho esaminato la tua dimostrazione e l'ho anche sottoposta a qualche prova e mi piace molto, complimenti. Però...

Ho fatto persino una simulazione numerica ma non riusciva mai a raggiungere i tuoi risultati. Si avvicinava ma mi dava sempre un triangolo QUASI equilatero. Non è solo un discorso di approssimazione, è un'altra cosa.

L'osservazione di Pasquale mi ha fatto capire l'errore nel mio programmino, che però non era un vero errore: avevo usato la relazione stretta ">" per confrontare i lati, rispettando il testo del problema. Per questo non trovava un triangolo equilatero!

Che ne pensate?
Forse bisognerebbe modificare il testo?
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Bruno
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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da Bruno »

Gianfranco ha scritto:
mer feb 03, 2021 12:31 pm
La frase dubbia è:
"Determinare la lunghezza minima del maggiore dei lati del triangolo i cui tre vertici giacciono ognuno su uno dei lati del triangolo ABC."
...
Che ne pensate?
Forse bisognerebbe modificare il testo?

Lo stesso dubbio che ho avuto anch'io (pur non avendo ancora avuto il tempo di approcciare il problema), che si è accentuato dopo la risoluzione mostrata :roll:
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

panurgo
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Re: il Minimo del Maggiore

Messaggio da panurgo »

Beh, ragazzi...

$\displaystyle\ell=\frac{\sqrt{21}}{14}+\epsilon$
il panurgo

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