x·y - z² = 1

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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x·y - z² = 1

Messaggio da Bruno »

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delfo52
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Re: x·y - z² = 1

Messaggio da delfo52 »

se invece di 1 mettevi "-1" avrei risposto subito...
Enrico

delfo52
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Re: x·y - z² = 1

Messaggio da delfo52 »

invece così ho dovuto pensarci un poco.
Prendo un quadrato dispari (9...49...81...225...)
aggiungendo 1 formo un numero pari, ovvero 2*n
Enrico

delfo52
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Re: x·y - z² = 1

Messaggio da delfo52 »

resta da dimostrare che i quadrati dispari sono infiniti. :D
Enrico

Bruno
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Re: x·y - z² = 1

Messaggio da Bruno »

Fantastico :D

Uno o meno uno, Enrico, che differenza fa, per te, riguardo all'efficacia (e snellezza) dei tuoi approcci? :wink:
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Gianfranco
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Re: x·y - z² = 1

Messaggio da Gianfranco »

Enrico!
Bellissima dimostrazione.
In modo arzigogolato, si può dire così:
Prendo il quadrato di un qualunque numero del tipo $z=2k+1$, aggiungo $1$ e ottengo un numero del tipo $2\cdot y$.

In questo modo rimangono fuori tutti i possibili valori pari di z, però..
Ragionando allo stesso modo, si può dire:
Prendo il quadrato di un qualunque numero pari del tipo $z=5k \pm 2$, aggiungo $1$ e ottengo un numero del tipo $5\cdot y$.
Questo mi permette di aggiungere altri infiniti valori pari per $z=8, 12, 18, 22, 28, 32, 38, 42, ...$

Dopo l'$1$, il $2$, il $5$ e il $10$, altri numeri che aggiungono soluzioni sono:
$13(2k-1) \pm 5$ e poi il $17, 25, 29$, etc.

Come sempre, salvo errori e omissioni.

P.S. Ci scommetto: la sequenza è su OEIS.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: x·y - z² = 1

Messaggio da delfo52 »

Il quesito chiedeva di dimostrare che i casi ad hoc sono infiniti. Più complesso, sull'onda di quel che dice Gianfranco, enumerarli tutti senza esclusione.
Ovviamente la soluzione per "-1" si avvale del noto fatto che il quadrato di un numero "x" è sempre maggiore di una unità del prodotto di "x-1" per "x+1".
Enrico

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Re: x·y - z² = 1

Messaggio da Gianfranco »

delfo52 ha scritto:
mer gen 20, 2021 8:45 am
Il quesito chiedeva di dimostrare che i casi ad hoc sono infiniti. Più complesso, sull'onda di quel che dice Gianfranco, enumerarli tutti senza esclusione.
Ciao Enrico, in realtà, il mio scopo era più modesto: ho pensato di usare il tuo bel ragionamento per aggiungere un'infinità di soluzioni con z pari, del tipo $z=5k \pm 2$, o più precisamente $z=10k \pm 2$.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: x·y - z² = 1

Messaggio da Bruno »

Ottimo :D

I numeri composti della forma m²+1, cioè 10, 26, 50, 65, 82, 122, 145, 170, 226, 290, ..., sono in effetti nella OIES.


Quando ho visto il problema ho pensato subito all'identità di Brahmagupta:
(a² + b²)·(c² + d²) = (a·c - b·d)² + (a·d + b·c)² = (a·c + b·d)² + (a·d - b·c)².

Qui posso assumere, per esempio, a·d - b·c = 1 e scegliere per a, b due valori coprimi, riconducendomi così a un'equazione diofantea lineare che produce infinite soluzioni per l'equazione data.


Dove ho trovato il quesito ho letto un'idea brillante, cioè l'associazione all'identità di Giovanni Cassini sui numeri di Fibonacci:
$\small F_{n+1}\cdot F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}$ :D
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Re: x·y - z² = 1

Messaggio da Gianfranco »

Bruno ha scritto:
mer gen 20, 2021 4:24 pm
Quando ho visto il problema ho pensato subito all'identità di Brahmagupta:
...
Dove ho trovato il quesito ho letto un'idea brillante, cioè l'associazione all'identità di Giovanni Cassini sui numeri di Fibonacci:
Ma che bei collegamenti! Grazie Bruno!
Mi mancava il senso di questo problema, mi era sembrato soltanto un esercizio scolastico senza storia. Purtroppo non conoscevo i riferimenti che hai citato. Ora è tutta un'altra cosa.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: x·y - z² = 1

Messaggio da Bruno »

Ho provato a ricercare le soluzioni di questa variante
(x+y)·(x-y) - y² = ±1,
la quale mi ha condotto in un balzo a
x² - 2·y² = ±1,
ossia ai due casi più semplici fra le cosiddette equazioni di Pell.

Da qui sono risalito ai numeri di Pell, cioè ai valori non negativi delle y:
0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, 80782, 195025, 470832, ...

Se Pₙ è l'ennesimo termine della sequenza, è applicabile un'identità come quella di Cassini:
P₂ₙ₊₁·P₂ₙ₋₁ - P₂ₙ² = 1, per n ≥ 1,
che fornisce altre infinite soluzioni al problema proposto.

Esempi:
29∙169 - 70² = 1,
169∙985 - 408² = 1,
985∙5741 - 2378² = 1, etc.

Passando questo tipo di identità sui numeri di Fibonacci, i fattori di x·y possono essere entrambi dispari o di diversa parità.
(Bruno)

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