Somma e prodotto.

[Bruno]

Riporto un altro puzzle molto carino di Domenico Annunziata

Esistono due frazioni (non apparenti) aventi per somma e prodotto numeri interi?

[Pasquale]

Ciascuna delle due frazioni da individuare non deve avere valore intero, ma il loro prodotto si.

Quindi, se $\frac{a}{b}$ è la prima frazione, per soddisfare la condizione finale rispetto al prodotto, per la seconda frazione, non mi riesce di vedere altro che un $\frac{kb}{a}$, con k intero qualsiasi.

Quindi, la somma sarà automaticamente $\frac{a}{b} + \frac{kb}{a}$, che non mi pare possa condurre ad un valore intero, salvo che non mi sfugga qualcosa, o che il ragionamento sia completamente errato.

[Gianfranco]

Ciascuna delle due frazioni da individuare non deve avere valore intero, ma il loro prodotto si.

Quindi, se $\frac{a}{b}$ è la prima frazione, per soddisfare la condizione finale rispetto al prodotto, per la seconda frazione, non mi riesce di vedere altro che un $\frac{kb}{a}$, con k intero qualsiasi.

Quindi, la somma sarà automaticamente $\frac{a}{b} + \frac{kb}{a}$, che non mi pare possa condurre ad un valore intero, salvo che non mi sfugga qualcosa, o che il ragionamento sia completamente errato.

Edit: ciò che è scritto qui di seguito è inutile. Non tenetene conto, per favore.
Bene, Pasquale parto dalla tua impostazione e mi permetto qualche piccola modifica (non sono correzioni ma modifiche, perché ciò che hai scritto è corretto)

a) Per evitare problemi, diciamo che $a, b$ sono primi fra loro.

b) Per ottenere un prodotto intero, la prima frazione potrebbe essere $\Large \frac{h \cdot a}{b}$ e la seconda frazione $\Large \frac{k \cdot b}{a}$, con $h, k$ interi non multipli rispettivamente di $a, b$.

c) Quindi, la somma è $\Large \frac{ha}{b} + \frac{kb}{a}=\frac{ha^2+kb^2}{ab}$.

Ora, il problema diventa: alle condizioni scritte sopra è possibile che ${ha^2+kb^2}$ sia multiplo di $ab$?

[Pasquale]

Dunque, se $ha^2 + kb^2$ fosse multiplo di ab, girando in tondo, sarebbe $\frac{ha^2 + kb^2}{ab} = \frac{ha}{b} +\frac{kb}{a} $ in cui, date le condizioni, la somma non sarebbe un intero, salvo che le due frazioni non avessero come risultato due periodici, tali che la loro somma fosse un intero, come ad esempio 16,333.... + 1,666..., ma anche questo, da prove effettuate, pare che non sia possibile, senza infrangere le regole.
In sostanza, per mia colpa, grandissima colpa, mi sembrano possibili soluzioni ai due problemi separatamente (cioé, trovare due frazioni vere la cui somma sia un intero - trovare due frazioni vere il cui prodotto sia un intero).

Esempio per la sola somma :$ \frac{1}{9} + \frac{8}{9}; \frac{4}{9} + \frac{77}{9}$; ecc.

In definitiva, partendo dal prodotto, non mi è riuscito di trovare una soluzione valida anche per la somma; partendo invece dalla somma, non mi è riuscito di trovare una soluzione valida anche per il prodotto. Ci ho provato e certamente qualcuno deve avere l'asso nella manica.

[Gianfranco]

Pasquale, chiedo scusa,ho avuto troppa fretta di scrivere.
Ci ho pensato su e la tua impostazione iniziale è corretta e migliore della mia.
Non tenerne conto. Se tu non avessi risposto, l'avrei eliminata, invece mi sono limitato a barrarla.

[Gianfranco]

Riprendo da dove si era fermato Pasquale
$\Large\frac{a}{b} + \frac{kb}{a}$ dovrebbe essere un numero intero.
Supponiamo che $a,b$ siano primi tra loro, cioè che abbiamo ridotto la frazione ai minimi termini.

$\Large\frac{a}{b} + \frac{kb}{a}=\frac{a^2+kb^2}{ab}$

Affinché la frazione sia un numero intero, dovrebbe essere:
$a^2+kb^2 = \text{multiplo di } ab$

ovvero

$a^2+kb^2 = mab$
$a^2 = mab-kb^2$
$a^2 = b(ma-kb)$

Ma allora $a^2$ dovrebbe avere un fattore $b$, in contraddizione con l'ipotesi che $a,b$ siano primi tra loro.
Quindi, come ipotizzato da Pasquale, la risposta alla domanda è "no".

Salvo erori od ommisioni.

[Bruno]

(...)
Salvo erori od ommisioni.

$\begin{array}{|l|c|r|}
\hline
Ottimo\\
\hline
\end{array}$


A me è capitato di pensarla così.

Per le variabili utilizzate posso limitarmi a valori naturali, senza indebolire la conclusione.

Ho p/q + r/s = h e (p/q)·(r/s) = k, dove p/q e r/s sono frazioni non apparenti.

Pongo (p/q + r/s)² = h² e 4·(p/q)·(r/s) = 4·k.

Sottraendo mam, ottengo:
(p/q - r/s)² = h² - 4·k.

Questo vuol dire che pure p/q - r/s è intero (il ragionamento non cambierebbe considerando r/s - p/q).

Allora:
p/q + r/s = h,
p/q - r/s = j (con j intero).

Quindi 2·p/q e 2·r/s sono interi, cioè q=s=2.

Dunque, p ed r devono essere dispari, ma ciò significa che il prodotto (p/q)·(r/s) = p·r/4 non può essere intero.

(Un po' mi ha ricordato una nota dimostrazione dell'irrazionalità di √2.)

[Pasquale]

Bene, bene: i giochi sono fatti.

Stavo pensando, in modo similare a quanto già detto, ferme restando le due frazioni $\frac{a}{b}$ e $k\frac{b}{a}$ con le regole enunciate e k intero, che se poniamo $x=\frac{a}{b}$, otteniamo per il prodotto $x\frac{k}{x}$ = k, mentre per quanto concerne la somma:

$x + \frac{k}{x} = \frac{x^2 + k}{x}$ , che non rassomiglia ad un intero.

[Bruno]

(...) che non rassomiglia ad un intero.

Quella "forma" potrebbe invece rappresentare infiniti interi, Pasquale, senza le tue premesse

[Bruno]

Ho visto rispondere a questo problema con il ricorso a un'equazione di secondo grado.

Chi vuole cimentarsi?

[Gianfranco]

Purtroppo l'ho già vista.
Bella dimostrazione.

[Bruno]

Vero