Lunghezza come somma.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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Lunghezza come somma.

Messaggio da Bruno »

L'amico Sergio Casiraghi ha proposto in un suo spazio "social" questo gioco.

Tra le varie scritture fatte circolare in rete per 2021, verso la fine dell'anno scorso, c'è anche questa: 2021 = 2^11-3^3.

Se noi contiamo cifre e segni nell'espressione che compare al secondo membro, otteniamo 8: "2", "^", "1", "1", "-", "3", "^" e ancora "3".
Quindi la lunghezza è uguale a 8.

Se noi sommiamo le cifre che compongono il secondo membro, invece, otteniamo 10: 2+1+1+3+3.
Quindi la somma è uguale a 10.

Se, anziché "2^11-3^3", considerassimo "2^11-22-2·2-1", avremmo:
. lunghezza: 13,
. somma: 13.

Trovare rappresentazioni aritmetiche per 2021 in modo che la lunghezza e la somma siano espresse dallo stesso valore.

Sbizzarritevi :D

Poscritto. Volendo, possiamo restringere il problema alle espressioni contenenti le sole cifre dell'anno in corso, anche ripetute più volte.
(Bruno)

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Re: Lunghezza come somma.

Messaggio da Bruno »

Riassumo lo stato dell'arte sulla questione di Sergio.


Premessa.

Stiamo lavorando su stringhe del tipo (ne riporto una molto semplice, gli spazi bianchi non contano e quindi vengono trascurati):
1·2021

il cui valore è
v = 2021

mentre il numero dei simboli impiegati è
s = 6 ("1", "·", "2", "0", "2", "1")

e la somma aritmetica delle cifre presenti è:
d = 6 (1+2+0+2+1).

Le cifre possono essere solo 0, 1, 2 (eventualmente ripetute), invariabile è v = 2021 e per ogni stringa proposta deve essere s = d.

Operazioni inizialmente ammesse: +, -, x, :, elevamento a potenza, punto decimale, derivata aritmetica.


Problema.

Se a quella stringa aggiungiamo "+2-2" (idea di Gianfranco), manteniamo invariato v (come richiesto), mentre s = d = 10 (come richiesto).

Quali soluzioni possiamo immaginare per
s = d = 7 oppure 8 oppure 9 :?:

Sergio mi ha detto che ha trovato una via, io ancora non ci sono riuscito :wink:



Riporto qui sotto l'immagine della proposta presentata su fb:

B5 - Casi su 2021.jpg
B5 - Casi su 2021.jpg (64.58 KiB) Visto 596 volte
(Bruno)

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Re: Lunghezza come somma.

Messaggio da Gianfranco »

Bruno ha scritto:
lun gen 25, 2021 2:49 pm
Operazioni inizialmente ammesse: +, -, x, :, elevamento a potenza, punto decimale, derivata aritmetica.
Quali soluzioni possiamo immaginare per
s = d = 7 oppure 8 oppure 9 :?:
{7} $2022-1^0$
{8} $2020+2:2$
{9} $2022-2^0:1$

Salvo errori e omissioni.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Lunghezza come somma.

Messaggio da Bruno »

Ottimo, Gianfranco, e così andiamo a modificare la stringa di partenza m.

Siamo allora costretti a modificare m, indipendentemente da come l'abbiamo strutturata, per trovare i casi fra m ed m+2-2 ?
(Bruno)

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Re: Lunghezza come somma.

Messaggio da Gianfranco »

Io intendevo che con queste 4 stringhe si possono ottenere soluzioni per ogni s>=6. Ma forse non ho inteso bene la richiesta del problema.
Le stringhe hanno segmenti iniziali diversi.
{6+4k} ${2021}^{1^0}+2-2+2-2 ...$
{7+4k} $2022−1^0+2-2+2-2 ...$
{8+4k} $2020+2:2+2-2+2-2 ...$
{9+4k} $2022−2^0:1+2-2+2-2 ...$
Pace e bene a tutti.
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Re: Lunghezza come somma.

Messaggio da Bruno »

Gianfranco ha scritto:
mer gen 27, 2021 12:51 pm
Io intendevo che con queste 4 stringhe si possono ottenere soluzioni per ogni s>=6. Ma forse non ho inteso bene la richiesta del problema.
Le stringhe hanno segmenti iniziali diversi.
(...)

Chiaro, ho capito cosa intendi.

Invece io avevo considerato che, a partire da una data stringa "m", si dovessero trovare i segmenti supplementari per realizzare i casi intermedi fra "m" ed "m+2-2", mantenendo s=d e v=2021: qualunque sia la fissata stringa "m" con v=2021 ed s=d, in "m+2-2" è ancora v=2021, il numero dei simboli è s+4 e la somma delle cifre è d+4, così stavo cercando s+1 e d+1, s+2 e d+2 ... :|
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Re: Lunghezza come somma.

Messaggio da Bruno »

Gianfranco ha scritto:
mer gen 27, 2021 12:51 pm
{6+4k} ${2021}^{1^0}+2-2+2-2 ...$
{7+4k} $2022−1^0+2-2+2-2 ...$
{8+4k} $2020+2:2+2-2+2-2 ...$
{9+4k} $2022−2^0:1+2-2+2-2 ...$

Anche l'elevamento a potenza dovrebbe essere considerato come un simbolo. Per esempio: nella stringa "2^0" ci sarebbero tre simboli...
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Re: Lunghezza come somma.

Messaggio da Gianfranco »

Forse ho capito, così è un più difficile.
Allora, il primo segmento (finito) dovrebbe essere fisso e il secondo (periodico?) variabile. Mah, dovrebbe avere un antiperiodo oppure bisogna cambiare strategia... Non so.
Bruno ha scritto:
mer gen 27, 2021 4:02 pm
[Anche l'elevamento a potenza dovrebbe essere considerato come un simbolo. Per esempio: nella stringa "2^0" ci sarebbero tre simboli...
Peccato, perché quella da 6 caratteri mi piaceva...
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Lunghezza come somma.

Messaggio da Bruno »

Gianfranco ha scritto:
mer gen 27, 2021 4:56 pm
quella da 6 caratteri mi piaceva...
:D
(Bruno)

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Re: Lunghezza come somma.

Messaggio da Bruno »

Gianfranco ha scritto:
mer gen 27, 2021 4:56 pm
Allora, il primo segmento (finito) dovrebbe essere fisso e il secondo (periodico?) variabile. Mah, dovrebbe avere un antiperiodo oppure bisogna cambiare strategia... Non so.

Gianfranco :D mi è venuta questa idea, dopo aver letto la tua parola magica "periodico":

$ 2020 + ({\large \frac{2.2222}{.22222}}-1)\times .\overline{1}$

Se conto tutti i simboli presenti, ne ho 26 (interpreto la soprallineatura come un simbolo ulteriore, rispetto al punto decimale, e considero 2 parentesi).
La somma aritmetica delle cifre è anch'essa pari a 26.
Aggiungendo un 1 nel periodo, aumenta di 1 la nostra "s" (numero dei simboli) e aumenta di 1 pure la "d" (somma aritmetica delle cifre), e in tutto questo si conserva il valore 2021:

$ 2020 + ({\large \frac{2.2222}{.22222}}-1)\times .\overline{111 \dots}$

Certo: sto giocando con le rappresentazioni, ma mi sembra che possa funzionare.

Poi mi armerò di pazienza per elencare i casi al disotto di s = d = 26, ma intanto (intra)vedo le illimitate rappresentazioni di 2021 congetturate in quel post di Sergio.
(Bruno)

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Re: Lunghezza come somma.

Messaggio da Bruno »

Ricevo e riporto le soluzioni elaborate da Sergio, sotto forma di programma:
- prima
- seconda.

Basta cliccare sulla bandierina verde e inserire nell'apposito campo il valore che deve rimanere invariato (nel nostro caso, 2021).

L'apostrofo in 2' indica la derivata aritmetica, il puntino in 1. è il punto decimale: 1. = 1,0...

Grazie, Sergio :D

La prima soluzione si comporta più o meno come quella che ho indicato sopra: parte da 2022 e sottrae di volta in volta un'espressione ciclica opportunamente confezionata, il cui valore è 1.
Nella seconda soluzione, invece, viene effettuata la moltiplicazione di 2021 per un'espressione variabile (sempre in modo ciclico) che vale 1.
(Bruno)

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