Lunghezza come somma.
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Lunghezza come somma.
L'amico Sergio Casiraghi ha proposto in un suo spazio "social" questo gioco.
Tra le varie scritture fatte circolare in rete per 2021, verso la fine dell'anno scorso, c'è anche questa: 2021 = 2^11-3^3.
Se noi contiamo cifre e segni nell'espressione che compare al secondo membro, otteniamo 8: "2", "^", "1", "1", "-", "3", "^" e ancora "3".
Quindi la lunghezza è uguale a 8.
Se noi sommiamo le cifre che compongono il secondo membro, invece, otteniamo 10: 2+1+1+3+3.
Quindi la somma è uguale a 10.
Se, anziché "2^11-3^3", considerassimo "2^11-22-2·2-1", avremmo:
. lunghezza: 13,
. somma: 13.
Trovare rappresentazioni aritmetiche per 2021 in modo che la lunghezza e la somma siano espresse dallo stesso valore.
Sbizzarritevi
Poscritto. Volendo, possiamo restringere il problema alle espressioni contenenti le sole cifre dell'anno in corso, anche ripetute più volte.
Tra le varie scritture fatte circolare in rete per 2021, verso la fine dell'anno scorso, c'è anche questa: 2021 = 2^11-3^3.
Se noi contiamo cifre e segni nell'espressione che compare al secondo membro, otteniamo 8: "2", "^", "1", "1", "-", "3", "^" e ancora "3".
Quindi la lunghezza è uguale a 8.
Se noi sommiamo le cifre che compongono il secondo membro, invece, otteniamo 10: 2+1+1+3+3.
Quindi la somma è uguale a 10.
Se, anziché "2^11-3^3", considerassimo "2^11-22-2·2-1", avremmo:
. lunghezza: 13,
. somma: 13.
Trovare rappresentazioni aritmetiche per 2021 in modo che la lunghezza e la somma siano espresse dallo stesso valore.
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(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Re: Lunghezza come somma.
Riassumo lo stato dell'arte sulla questione di Sergio.
Premessa.
Stiamo lavorando su stringhe del tipo (ne riporto una molto semplice, gli spazi bianchi non contano e quindi vengono trascurati):
1·2021
il cui valore è
v = 2021
mentre il numero dei simboli impiegati è
s = 6 ("1", "·", "2", "0", "2", "1")
e la somma aritmetica delle cifre presenti è:
d = 6 (1+2+0+2+1).
Le cifre possono essere solo 0, 1, 2 (eventualmente ripetute), invariabile è v = 2021 e per ogni stringa proposta deve essere s = d.
Operazioni inizialmente ammesse: +, -, x, :, elevamento a potenza, punto decimale, derivata aritmetica.
Problema.
Se a quella stringa aggiungiamo "+2-2" (idea di Gianfranco), manteniamo invariato v (come richiesto), mentre s = d = 10 (come richiesto).
Quali soluzioni possiamo immaginare per
s = d = 7 oppure 8 oppure 9
Sergio mi ha detto che ha trovato una via, io ancora non ci sono riuscito
Riporto qui sotto l'immagine della proposta presentata su fb:
Premessa.
Stiamo lavorando su stringhe del tipo (ne riporto una molto semplice, gli spazi bianchi non contano e quindi vengono trascurati):
1·2021
il cui valore è
v = 2021
mentre il numero dei simboli impiegati è
s = 6 ("1", "·", "2", "0", "2", "1")
e la somma aritmetica delle cifre presenti è:
d = 6 (1+2+0+2+1).
Le cifre possono essere solo 0, 1, 2 (eventualmente ripetute), invariabile è v = 2021 e per ogni stringa proposta deve essere s = d.
Operazioni inizialmente ammesse: +, -, x, :, elevamento a potenza, punto decimale, derivata aritmetica.
Problema.
Se a quella stringa aggiungiamo "+2-2" (idea di Gianfranco), manteniamo invariato v (come richiesto), mentre s = d = 10 (come richiesto).
Quali soluzioni possiamo immaginare per
s = d = 7 oppure 8 oppure 9
Sergio mi ha detto che ha trovato una via, io ancora non ci sono riuscito
Riporto qui sotto l'immagine della proposta presentata su fb:
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Re: Lunghezza come somma.
{7} $2022-1^0$
{8} $2020+2:2$
{9} $2022-2^0:1$
Salvo errori e omissioni.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
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Re: Lunghezza come somma.
Ottimo, Gianfranco, e così andiamo a modificare la stringa di partenza m.
Siamo allora costretti a modificare m, indipendentemente da come l'abbiamo strutturata, per trovare i casi fra m ed m+2-2 ?
Siamo allora costretti a modificare m, indipendentemente da come l'abbiamo strutturata, per trovare i casi fra m ed m+2-2 ?
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Re: Lunghezza come somma.
Io intendevo che con queste 4 stringhe si possono ottenere soluzioni per ogni s>=6. Ma forse non ho inteso bene la richiesta del problema.
Le stringhe hanno segmenti iniziali diversi.
{6+4k} ${2021}^{1^0}+2-2+2-2 ...$
{7+4k} $2022−1^0+2-2+2-2 ...$
{8+4k} $2020+2:2+2-2+2-2 ...$
{9+4k} $2022−2^0:1+2-2+2-2 ...$
Le stringhe hanno segmenti iniziali diversi.
{6+4k} ${2021}^{1^0}+2-2+2-2 ...$
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Pace e bene a tutti.
Gianfranco
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Re: Lunghezza come somma.
Gianfranco ha scritto: ↑mer gen 27, 2021 12:51 pmIo intendevo che con queste 4 stringhe si possono ottenere soluzioni per ogni s>=6. Ma forse non ho inteso bene la richiesta del problema.
Le stringhe hanno segmenti iniziali diversi.
(...)
Chiaro, ho capito cosa intendi.
Invece io avevo considerato che, a partire da una data stringa "m", si dovessero trovare i segmenti supplementari per realizzare i casi intermedi fra "m" ed "m+2-2", mantenendo s=d e v=2021: qualunque sia la fissata stringa "m" con v=2021 ed s=d, in "m+2-2" è ancora v=2021, il numero dei simboli è s+4 e la somma delle cifre è d+4, così stavo cercando s+1 e d+1, s+2 e d+2 ...
(Bruno)
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Re: Lunghezza come somma.
Gianfranco ha scritto: ↑mer gen 27, 2021 12:51 pm{6+4k} ${2021}^{1^0}+2-2+2-2 ...$
{7+4k} $2022−1^0+2-2+2-2 ...$
{8+4k} $2020+2:2+2-2+2-2 ...$
{9+4k} $2022−2^0:1+2-2+2-2 ...$
Anche l'elevamento a potenza dovrebbe essere considerato come un simbolo. Per esempio: nella stringa "2^0" ci sarebbero tre simboli...
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Re: Lunghezza come somma.
Forse ho capito, così è un più difficile.
Allora, il primo segmento (finito) dovrebbe essere fisso e il secondo (periodico?) variabile. Mah, dovrebbe avere un antiperiodo oppure bisogna cambiare strategia... Non so.
Allora, il primo segmento (finito) dovrebbe essere fisso e il secondo (periodico?) variabile. Mah, dovrebbe avere un antiperiodo oppure bisogna cambiare strategia... Non so.
Peccato, perché quella da 6 caratteri mi piaceva...
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
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Re: Lunghezza come somma.
Gianfranco ha scritto: ↑mer gen 27, 2021 4:56 pmAllora, il primo segmento (finito) dovrebbe essere fisso e il secondo (periodico?) variabile. Mah, dovrebbe avere un antiperiodo oppure bisogna cambiare strategia... Non so.
Gianfranco mi è venuta questa idea, dopo aver letto la tua parola magica "periodico":
$ 2020 + ({\large \frac{2.2222}{.22222}}-1)\times .\overline{1}$
Se conto tutti i simboli presenti, ne ho 26 (interpreto la soprallineatura come un simbolo ulteriore, rispetto al punto decimale, e considero 2 parentesi).
La somma aritmetica delle cifre è anch'essa pari a 26.
Aggiungendo un 1 nel periodo, aumenta di 1 la nostra "s" (numero dei simboli) e aumenta di 1 pure la "d" (somma aritmetica delle cifre), e in tutto questo si conserva il valore 2021:
$ 2020 + ({\large \frac{2.2222}{.22222}}-1)\times .\overline{111 \dots}$
Certo: sto giocando con le rappresentazioni, ma mi sembra che possa funzionare.
Poi mi armerò di pazienza per elencare i casi al disotto di s = d = 26, ma intanto (intra)vedo le illimitate rappresentazioni di 2021 congetturate in quel post di Sergio.
(Bruno)
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Re: Lunghezza come somma.
Ricevo e riporto le soluzioni elaborate da Sergio, sotto forma di programma:
- prima
- seconda.
Basta cliccare sulla bandierina verde e inserire nell'apposito campo il valore che deve rimanere invariato (nel nostro caso, 2021).
L'apostrofo in 2' indica la derivata aritmetica, il puntino in 1. è il punto decimale: 1. = 1,0...
Grazie, Sergio
La prima soluzione si comporta più o meno come quella che ho indicato sopra: parte da 2022 e sottrae di volta in volta un'espressione ciclica opportunamente confezionata, il cui valore è 1.
Nella seconda soluzione, invece, viene effettuata la moltiplicazione di 2021 per un'espressione variabile (sempre in modo ciclico) che vale 1.
- prima
- seconda.
Basta cliccare sulla bandierina verde e inserire nell'apposito campo il valore che deve rimanere invariato (nel nostro caso, 2021).
L'apostrofo in 2' indica la derivata aritmetica, il puntino in 1. è il punto decimale: 1. = 1,0...
Grazie, Sergio
La prima soluzione si comporta più o meno come quella che ho indicato sopra: parte da 2022 e sottrae di volta in volta un'espressione ciclica opportunamente confezionata, il cui valore è 1.
Nella seconda soluzione, invece, viene effettuata la moltiplicazione di 2021 per un'espressione variabile (sempre in modo ciclico) che vale 1.
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