Tagliamo una pizza

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franco
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Tagliamo una pizza

Messaggio da franco »

Ho acquistato una pizza circolare e la voglio dividere in pezzi (non necessariamente uguali) con N tagli rettilinei da bordo a bordo,
- senza spostare i pezzi fra un taglio e un altro,
- ottenendo il maggior numero possibile di pezzi,
- massimizzando la superficie S% del pezzo più piccolo

Siete in grado di calcolare S per N= 3, N=4, N=5 ?

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Franco

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Pasquale
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Re: Tagliamo una pizza

Messaggio da Pasquale »

Pardon, non mi è chiaro il quesito.
Ad esempio, penso che con 3 tagli posso ottenere al massimo 7 pezzi.
Premesso che per me "il più piccolo è quello con superficie minore, allora il più piccolo fra i 7, per essere tale, ma con la massima superficie possibile, dovrebbe quasi eguagliare in superficie il pezzo che sarebbe stato esso il più piccolo senza il precedente citato, ma il "quasi" non è una quantità definibile e quindi i pezzi più piccoli sono due con uguali superfici, minori di quelle degli altri 5 pezzi.
Dunque chiedo perdono, ma forse, anzi senza forse, la sintesi non è il mio forte, talché quando una persona di mia conoscenza mi parla, da anni sono costretto a chiedere a quale delle 3 o 4 interpretazioni possibili voglia riferirsi. :roll:
E' pur vero comunque che in matematica si tende alla massima sintesi, con l'aiuto di un linguaggio convenzionale, riferito a conoscenze che si danno per scontate.

Di seguito un esempio dei 7 pezzi ottenuti con 3 tagli, fra cui i due più piccoli di eguale superficie (non definita):
pizza.jpg
pizza.jpg (5.3 KiB) Visto 1593 volte
Con 4 tagli penso di poter ottenere al massimo 11 pezzi:
pizza2.jpg
pizza2.jpg (8.06 KiB) Visto 1589 volte
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franco
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Re: Tagliamo una pizza

Messaggio da franco »

Pasquale ha scritto:
dom gen 03, 2021 8:22 pm
Pardon, non mi è chiaro il quesito.
...
Pasquale,
Come tu dici giustamente, con 3 tagli si ottengono al massimo 7 pezzi.
A seconda di come li oriento e di quanto li faccio vicini o lontani dal centro, variano le dimensioni dei pezzi uno dei quali sarà sempre il più piccolo (eventualmente a "pari merito" con altri.
Se S è la superficie di questo pezzo più piccolo, si tratta di disporre i tagli in modo da ottenerne il massimo valore (pur rimanendo più piccolo degli altri pezzi)
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Pasquale
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Re: Tagliamo una pizza

Messaggio da Pasquale »

Quindi, fra tutti i tracciamenti possibili (infiniti), diciamo intanto di 3 tagli (distanze dal centro, orientamenti, intersezioni), esiste, o può costruirsi una situazione (simmetrie a parte), tale che il pezzo più piccolo abbia la massima superficie possibile :!:
Mica facile: occorre trovare il modo di lavorarci, idoneo a poter effettuare dei calcoli.
Da qualche bozza di disegno buttata giù, mi pare che una volta individuata la parte più piccola nella situazione grafica più idonea, occorrerebbe gradualmente ingrandirla, facendo scorrere una delle 3 linee di taglio, il che andrebbe a scapito di una o due altre parti più grandi, magari fra loro anche uguali; il procedimento terminerebbe con l'eguaglianza di tali parti (una cresce e una o due simmetriche decrescono,mentre le altre 4 restano più grandi, alcune inalterate ed altre in accrescimento). In sostanza, mi pare di intuire, in base a tale ideale procedimento, che non possa esistere una sola parte più piccola, ma almeno due di pari superficie.
Praticamente qualcosa del genere qui sotto, ove il triangolino al centro lo si fa crescere verso il basso, portando giù gradualmente la linea di taglio orizzontale, fino al punto in cui la sua superficie non eguagli una delle tre in basso, o due o tre, in base ai risultato dei calcoli. Come si può notare (ad occhio), spostando in basso la linea orizzontale, le tre superfici sottostanti decrescono, mentre quella del triangolo aumenta e quelle soprastanti restano maggiori. Naturalmente occorre considerare anche le varianti possibili, relative alle diverse inclinazioni delle altre due linee di taglio. Probabilmente, incrociando gli altri due tagli a 60° o 90° si dovrebbero semplificare i calcoli, ma quanto sopra resta comunque un'ipotesi di lavoro, non escludendo una diversa impostazione.
pizza3.jpg
pizza3.jpg (6.16 KiB) Visto 1577 volte
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Re: Tagliamo una pizza

Messaggio da franco »

Premetto che ho copiato il problema dal solito sito Francese ma non l'ho risolto ...
Il problema è classificato "4 stelle" (in una scala da 1 a 5) quindi è molto difficile.

Sto provando a ragionare sul caso più semplice, quello dei 3 tagli.

I tre tagli si devono intersecare come indicato da Pasquale per poter dare 7 pezzi ma devono essere il più possibile simmetrici e centrati perchè altrimenti la distribuzione delle dimensioni dei singoli pezzi non potrà che essere maggiormente disuniforme.
Di conseguenza (sempre a intuito e sena dimostrazione) i tagli andrebbero effettuati a 60° l'uno dall'altro ed equidistanti dal centro della pizza.

In questo disegno, in cui i punti di intersezione dividono in 3 parti uguali ogni segmento, il triangolo giallo centrale è il pezzo più piccolo e i pezzi rosa sono appena più grandi.
pizza1.png
pizza1.png (4.27 KiB) Visto 1564 volte

Se avvicino i segmenti al centro, il triangolo giallo rimpicciolisce ulteriormente; se li allontano, il triangolo giallo ingrandisce ma si rimpiccioliscono quelli rosa.
Secondo me si tratta di calcolare la condizione (distanza dal centro dei 3 tagli) tale per cui le dimensioni dei pezzi giallo e rosa si equivalgono ...

Non è facilissimo ma ci si può provare.

ciao
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Re: Tagliamo una pizza

Messaggio da Pasquale »

Si Franco, lavorandoci si dovrebbe poter fare.
Direi in prima battuta di disegnare la circonferenza circoscritta al triangolo equilatero centrale, con raggio noto per costruzione, in modo da poter giungere al calcolo dell'area del triangolo.
In alternativa, si potrebbe partire dal lato del triangolo, noto per costruzione, da cui l'area ed il raggio della circonferenza circoscritta.
L'angolo della figura di cui si vuole eguagliare l'area, con graduali e continui aumenti del valore del precedente raggio, misura 60° e tale resterà durante il descritto accrescimento del triangolo.
Tale figura potrebbe essere assimilata ad un settore circolare appartenente ad una circonferenza ideale con un raggio che man mano decresce (misura uguale alla differenza fra i raggi delle due circonferenze concentriche costruite): in tal modo, penso che dovrebbe semplificarsi il calcolo di questa area decrescente.
Il procedimento si ferma al momento dell'eguaglianza fra le due superfici (probabile la necessità di impostare un procedimento di calcolo al limite). Potrebbe risultare magari d'aiuto un piano cartesiano e la trigonometria?

Non so se sono stato chiaro nella descrizione di quanto sopra e se non ho detto corbellerie, ma ammesso che le operazioni descritte portassero ad una soluzione, mi chiedo se in uno scenario con i 3 tagli disposti diversamente, non possa esisterne uno per il quale la più piccola parte di pizza, ampliata al massimo avrebbe una misura di superficie maggiore di questa descritta.
Non è probabile che il quesito voglia riferirsi ad ogni singola situazione iniziale a scelta, senza cioè che debba essere confrontata con le altre infinite possibili? Chi ci dice che questa esaminata produca il miglior risultato possibile?
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panurgo
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Re: Tagliamo una pizza

Messaggio da panurgo »

Quando uno dei tagli viene spostato per aumentare le dimensioni di un pezzo, le dimensioni di qualche altro pezzo DEVONO diminuire: la quantità totale non cambia.
Questo significa che possiamo lavorare per aumentare il valore minimo solo fino a che esso diventa uguale a quello di altri pezzi. La dimostrazione viene da sé: basta considerare la situazione simmetrica
TUFDT.02.01.480x480.png
TUFDT.02.01.480x480.png (26.33 KiB) Visto 1533 volte
Se l’area gialla e l’area magenta sono uguali ogni spostamento produce almeno una porzione più piccola quindi, qui, il valore minimo è massimo.
Ma quanto vale?
Consideriamo una torta di raggio unitario
TUFDT.02.02.480x480.png
TUFDT.02.02.480x480.png (30.01 KiB) Visto 1533 volte
Le secanti distano $d$ da $\text{O}$; l’angolo in figura, uguale all’angolo $\text{ADO}$, è $\vartheta=\arcsin{d}$. L’angolo $\text{DOE}$ è pari a $\pi/3-2\vartheta$.
Il triangolo $\text{ABC}$ è equilatero e il raggio del cerchio circoscritto è $2d$ (ricordiamo che le mediane si secano tra loro in parti con proporzione $2:1$); fissato un riferimento cartesiano centrato in $\text{O}$, il punto $\text{A}$ ha coordinate $\left(d;\sqrt3 d\right)$ mentre il punto $\text{D}$ ha coordinate $\left(d;\sqrt{1-d^2}\right)$ quindi l’area del quadrilatero $\text{ADOE}$, due volte l’area del triangolo $\text{ADO}$, è $Q=\left(\sqrt{1-d^2}-\sqrt3 d\right)d$.
Il settore circolare $\text{DEO}$ ha area $S=\pi/6-\vartheta$ mentre l’area del triangolo $\text{ABC}$ è $T=3\sqrt3 d^2$.
Nella situazione simmetrica deve essere $T=S-Q$ ovvero

$\displaystyle 3\sqrt3 d^2=\frac{\pi}6-\arcsin{d}-\left(\sqrt{1-d^2}-\sqrt3 d\right)d$

cioè $d=0,196315\ldots$ (chiedete a WolframAlpha se non mi credete)
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Re: Tagliamo una pizza

Messaggio da franco »

Grazie Guido,

Ero sulla buona strada per arrivarci anch'io (i ragionamenti che ho fatto solo gli stessi anche se per calcolare l'area dello spicchio rosa ho usato l'angolo AOD e le formule venivano un po' più lunghe ...).
Quanto meno mi risparmio la pena di mettere tutto in bella copia e fare i conti (non sono pratico di WolframAlpha e già mi vedevo a fare una noiosa routine in visual basic per arrivarci per approssimazioni successive con Excel).

Tutto sommato però il problema è un po' deludente ... speravo ci fosse qualche soluzione più elegante senza passare per arcoseni o arcotangenti.

Magari possiamo ragionare sui 4 tagli senza entrare nel dettaglio dei calcoli ma rimanendo a livello qualitativo?
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panurgo
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Re: Tagliamo una pizza

Messaggio da panurgo »

Per $n>3$ le cose si complicano perché l'ultimo taglio deve secare quattro regioni su sette e, a naso, mi pare difficile poter conservare delle simmetrie. Senza simmetrie ci tocca inventare qualcos'altro per dimostrare che il pezzo minimo è il massimo possibile.

Per gli amanti della forza bruta servono due parametri per ogni taglio (un angolo e una distanza dal centro) quindi abbiamo otto dimensioni: la griglia ha $k^8$ incroci dove $k$ è il numero di valori che le otto variabili possono assumere (con $10$ valori $10^8$ incroci, con $100$ valori $10^{16}$ incroci ecc.).

Oltre a ciò, la maggior parte dgli incroci non darà undici regioni perché l'intervallo di valori di una data variabile per cui questo succede dipende dai valori delle altre variabili: serve una forza un po meno bruta.
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Re: Tagliamo una pizza

Messaggio da franco »

Con 4 tagli, la "cosa" più simmetrica che riesco ad immaginare è questa:
pizza2.png
pizza2.png (24.01 KiB) Visto 1517 volte
(dove i punti di intersezione delle coppie di tagli rossi e blu sono allineati con il centro della pizza)

Con tale configurazione i parametri in gioco per le operazioni di forza bruta sarebbero solo 4: distanza dal centro dei punti di intersezione e angolo fra le due coppie di tagli.
I pezzi che potrebbero risultare i più piccoli sono quelli colorati.

Mah... forse è meglio se aspetto febbraio per vedere se qualche appassionato d'oltralpe la risolto il problema 8)
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Re: Tagliamo una pizza

Messaggio da panurgo »

Partendo dal concetto che quando le regioni più piccole sono equivalenti allora piccole variazioni dei tagli producono almeno un pezzo più piccolo io sono per ora arrivato a questo (forse un massimo locale?)
TUFDT.04.01.480x480.png
TUFDT.04.01.480x480.png (33.95 KiB) Visto 1512 volte
Nota bene che i triangoli curvilinei sono approssimati da triangoli e sarebbero un po' più grandi.

P.S.: gli angoli delle rette sono $\displaystyle\frac{\pi}6$, $\displaystyle\frac{\pi}3$, $\displaystyle\frac{2\pi}3$ e $\displaystyle\frac{5\pi}6$...
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Re: Tagliamo una pizza

Messaggio da panurgo »

La circonferenza è una circonferenza di raggio unitario centrata nell’origine.
TUFDT.05.01.480x480.png
TUFDT.05.01.480x480.png (22.19 KiB) Visto 1497 volte
Il triangolo curvilineo è formato da due segmenti di retta e un arco di circonferenza. Le due rette si intersecano nel punto $\mathtt{C}$ e intersecano la circonferenza nei punti $\mathtt{A}$ e $\mathtt{B}$ rispettivamente.
L’area del triangolo curvilineo è pari alla somma dell’area del triangolo $\mathtt{ABC}$ e del segmento circolare di base $\mathtt{AB}$.
Per ottenere l’area del triangolo $\mathtt{ABC}$ in funzione delle coordinate dei vertici consideriamo l’equazione della retta per $\mathtt{AB}$

$\displaystyle \frac{y-y_\mathtt{A}}{y_\mathtt{B}-y_\mathtt{A}}=\frac{x-x_\mathtt{A}}{x_\mathtt{B}-x_\mathtt{A}}$

da cui ricaviamo

$\displaystyle \left(y_\mathtt{B}-y_\mathtt{A}\right)x-\left(x_\mathtt{B}-x_\mathtt{A}\right)y-\left(x_\mathtt{A}y_\mathtt{B}- x_\mathtt{B}y_\mathtt{A}\right)=0 $

La base del triangolo è la distanza $\mathtt{AB}$

$\displaystyle b=\sqrt{\left(x_\mathtt{B}-x_\mathtt{A}\right)^2+\left(y_\mathtt{B}-y_\mathtt{A}\right)^2}$

mentre la sua altezza è la distanza del punto $\mathtt{C}$ dalla retta $\mathtt{AB}$

$\displaystyle h=\frac{\left|\left(y_\mathtt{B}-y_\mathtt{A}\right)x_\mathtt{C}-\left(x_\mathtt{B}-x_\mathtt{A}\right)y_\mathtt{C}-\left(x_\mathtt{A}y_\mathtt{B}- x_\mathtt{B}y_\mathtt{A}\right)\right|}{\sqrt{\left(x_\mathtt{B}-x_\mathtt{A}\right)^2+\left(y_\mathtt{B}-y_\mathtt{A}\right)^2}}$

L’area del triangolo è quindi

$\displaystyle \mathtt{ABC}=\frac{bh}2=\frac{\left|\left(y_\mathtt{B}-y_\mathtt{A}\right)x_\mathtt{C}-\left(x_\mathtt{B}-x_\mathtt{A}\right)y_\mathtt{C}-\left(x_\mathtt{A}y_\mathtt{B}- x_\mathtt{B}y_\mathtt{A}\right)\right|}2$

L’area del segmento circolare di base $\mathtt{AB}$ è la differenza tra l’area del settore circolare $\mathtt{ABO}$ e quella del triangolo $\mathtt{ABO}$.
L’angolo tra le rette in funzione delle coordinate dei punti $\mathtt{AB}$ è

$\displaystyle \vartheta=2\arcsin{\left\{\frac{\sqrt{\left(x_\mathtt{B}-x_\mathtt{A}\right)^2-\left(y_\mathtt{B}-y_\mathtt{A}\right)^2}}{2r}\right\}}$

e l’area del settore circolare è

$\displaystyle \frac{\vartheta r^2}2=r^2\arcsin{\left\{\frac{\sqrt{\left(x_\mathtt{B}-x_\mathtt{A}\right)^2-\left(y_\mathtt{B}-y_\mathtt{A}\right)^2}}{2r}\right\}}= \arcsin{\left\{\frac{\sqrt{\left(x_\mathtt{B}-x_\mathtt{A}\right)^2-\left(y_\mathtt{B}-y_\mathtt{A}\right)^2}}{2}\right\}}$

perché il raggio è unitario.
L’area del triangolo $\mathtt{ABO}$ è

$\displaystyle \mathtt{T}_\mathtt{ABO}=\frac{\left|\left(y_\mathtt{B}-y_\mathtt{A}\right)x_\mathtt{O}-\left(x_\mathtt{B}-x_\mathtt{A}\right)y_\mathtt{O}-\left(x_\mathtt{A}y_\mathtt{B}- x_\mathtt{B}y_\mathtt{A}\right)\right|}2=\frac{\left|x_\mathtt{A}y_\mathtt{B}- x_\mathtt{B}y_\mathtt{A}\right|}2$

perchè $\mathtt{O}$ è l’origine.
L’area del segmento circolare sarà

$\displaystyle \mathtt{SC}_\mathtt{ABO}=\arcsin{\left\{\frac{\sqrt{\left(x_\mathtt{B}-x_\mathtt{A}\right)^2-\left(y_\mathtt{B}-y_\mathtt{A}\right)^2}}2\right\}}-\frac{\left|x_\mathtt{A}y_\mathtt{B}- x_\mathtt{B}y_\mathtt{A}\right|}2$

e l’area del triangolo curvilineo sarà

$\displaystyle \mathtt{TC}_\mathtt{ABO}=\arcsin{\left\{\frac{\sqrt{\left(x_\mathtt{B}-x_\mathtt{A}\right)^2-\left(y_\mathtt{B}-y_\mathtt{A}\right)^2}}2\right\}}-\frac{\left|x_\mathtt{A}y_\mathtt{B}- x_\mathtt{B}y_\mathtt{A}\right|}2+\frac{\left|\left(y_\mathtt{B}-y_\mathtt{A}\right)x_\mathtt{C}-\left(x_\mathtt{B}-x_\mathtt{A}\right)y_\mathtt{C}-\left(x_\mathtt{A}y_\mathtt{B}- x_\mathtt{B}y_\mathtt{A}\right)\right|}2$

Armato di queste formule ho raffinato il mio massimo sempre con gli stessi angoli ma modificando le distanze dal centro in modo opportuno
TUFDT.04.02.480x480.png
TUFDT.04.02.480x480.png (34.8 KiB) Visto 1497 volte
(non ho avuto la verve di disegnare anche i segmenti circolari come avevo fatto nella figura precedente ma i numeri sono corretti).
il panurgo

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Re: Tagliamo una pizza

Messaggio da panurgo »

panurgo ha scritto:
mer gen 06, 2021 12:22 pm
Armato di queste formule ho raffinato il mio massimo sempre con gli stessi angoli [...]
In realtà gli angoli non sono $30^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$ e $150^\circ$ bensì $30^\circ$, $61^\circ$, $119^\circ$ e $150^\circ$.

Questo lascia ancora più aperta la questione se un altro set di angoli possa dare risultati migliori.
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Re: Tagliamo una pizza

Messaggio da franco »

panurgo ha scritto:
mer gen 06, 2021 4:36 pm
In realtà gli angoli non sono $30^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$ e $150^\circ$ bensì $30^\circ$, $61^\circ$, $119^\circ$ e $150^\circ$.
Quasi quasi mi dispiace questa ulteriore affinazione ...
La costruzione con tutti gli angoli multipli di 30° e un valore di S che somigliava tantissimo a 1/15 (0,06666...) aveva una certa qual eleganza :)

Comunque grande lavoro, complimenti!!
Franco

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