Un modellista ha deciso di costruire una piramide a base quadrata utilizzando sfere di legno che misurano 30 mm di diametro e pesano 13 g ciascuna.
Per tenere salda la piramide mette una goccia di colla in ogni punto di contatto fra le sfere.
Al termine della costruzione ha contato di aver usato 30.000 gocce di colla per un peso complessivo (di colla) pari a 1,175 kg.
Determinare l'altezza della piramide (arrotondata al mm) e il suo peso complessivo.
www.diophante.fr
G2966
Una piramide di sfere
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Una piramide di sfere
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
Re: Una piramide di sfere
Consideriamo lo strato di sfere di lato $k$:
Il numero di gocce totale per lo strato di lato $k$ è
$\displaystyle 2k\left(k-1\right)+4\left(k-1\right)^2=\left(k-1\right)\left(6k-4\right)=6k^2-10k+4$
Il numero totale di gocce sarà
$\displaystyle \sum_{k=1}^n\left(6k^2-10k+4\right)=6\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}6-10\frac{n\left(n+1\right)}2+4n=2n^2\left(n-1\right)$
(Possiamo sommare da $1$ a $n$, anche se lo strato con $k=1$ non ha ne sfere adiacenti ne sfere sovrastanti e quindi zero gocce di colla, per via del fattore $k-1$).
Abbiamo dunque $2n^2\left(n-1\right)=30000$ ovvero $n^2\left(n-1\right)=15000=25^2\cdot 24$.
Il numero complessivo di sfere è
$\displaystyle \frac{25\left(25+1\right)\left(2\cdot 25+1\right)}6=5525$
e il peso complessivo della piramide è $73\text{ kg}$.
ogni riga è tenuta insieme da $k-1$ gocce di colla (in rosso) e ci sono $k$ righe per un totale di $k\left(k-1\right)$ gocce; per simmetria, ciò vale anche per le colonne con altre $k\left(k-1\right)$ gocce di colla (in verde). Inoltre ciascuna sfera dello strato superiore tocca quattro sfere quindi servono altre $4\left(k-1\right)^2$ gocce di colla (in giallo).Il numero di gocce totale per lo strato di lato $k$ è
$\displaystyle 2k\left(k-1\right)+4\left(k-1\right)^2=\left(k-1\right)\left(6k-4\right)=6k^2-10k+4$
Il numero totale di gocce sarà
$\displaystyle \sum_{k=1}^n\left(6k^2-10k+4\right)=6\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}6-10\frac{n\left(n+1\right)}2+4n=2n^2\left(n-1\right)$
(Possiamo sommare da $1$ a $n$, anche se lo strato con $k=1$ non ha ne sfere adiacenti ne sfere sovrastanti e quindi zero gocce di colla, per via del fattore $k-1$).
Abbiamo dunque $2n^2\left(n-1\right)=30000$ ovvero $n^2\left(n-1\right)=15000=25^2\cdot 24$.
Il numero complessivo di sfere è
$\displaystyle \frac{25\left(25+1\right)\left(2\cdot 25+1\right)}6=5525$
e il peso complessivo della piramide è $73\text{ kg}$.
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Re: Una piramide di sfere
In ogni strato ci sono $n^2$ sfere a partire dalla cima fino alla base.
Il totale delle sfere sarà
$\displaystyle\sum_{1}^{s}{n^2}=\frac{s}{6}(2s^2+3s+1)=5525$
dove s è il numero di strati.
La primamide avrà pertanto 25 strati.
L'altezza di ogni strato (da centro a centro delle sfere) è $\displaystyle\sqrt{2}\,r$ con $r=\frac{d}{2}=15\,\text{mm}$
L'altezza totale della piramide è di $\displaystyle24\sqrt{2}\,r+d\approx411\,\text{mm}$
SE&O
Il totale delle sfere sarà
$\displaystyle\sum_{1}^{s}{n^2}=\frac{s}{6}(2s^2+3s+1)=5525$
dove s è il numero di strati.
La primamide avrà pertanto 25 strati.
L'altezza di ogni strato (da centro a centro delle sfere) è $\displaystyle\sqrt{2}\,r$ con $r=\frac{d}{2}=15\,\text{mm}$
L'altezza totale della piramide è di $\displaystyle24\sqrt{2}\,r+d\approx411\,\text{mm}$
SE&O
[Sergio] / $17$