Una piramide di sfere

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franco
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Una piramide di sfere

Messaggio da franco »

Un modellista ha deciso di costruire una piramide a base quadrata utilizzando sfere di legno che misurano 30 mm di diametro e pesano 13 g ciascuna.
Per tenere salda la piramide mette una goccia di colla in ogni punto di contatto fra le sfere.
Al termine della costruzione ha contato di aver usato 30.000 gocce di colla per un peso complessivo (di colla) pari a 1,175 kg.
Determinare l'altezza della piramide (arrotondata al mm) e il suo peso complessivo.

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Franco

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panurgo
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Re: Una piramide di sfere

Messaggio da panurgo »

Consideriamo lo strato di sfere di lato $k$:
UnaPiramideDiSfere.01.480x480.png
UnaPiramideDiSfere.01.480x480.png (29.66 KiB) Visto 276 volte
ogni riga è tenuta insieme da $k-1$ gocce di colla (in rosso) e ci sono $k$ righe per un totale di $k\left(k-1\right)$ gocce; per simmetria, ciò vale anche per le colonne con altre $k\left(k-1\right)$ gocce di colla (in verde). Inoltre ciascuna sfera dello strato superiore tocca quattro sfere quindi servono altre $4\left(k-1\right)^2$ gocce di colla (in giallo).
Il numero di gocce totale per lo strato di lato $k$ è

$\displaystyle 2k\left(k-1\right)+4\left(k-1\right)^2=\left(k-1\right)\left(6k-4\right)=6k^2-10k+4$

Il numero totale di gocce sarà

$\displaystyle \sum_{k=1}^n\left(6k^2-10k+4\right)=6\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}6-10\frac{n\left(n+1\right)}2+4n=2n^2\left(n-1\right)$

(Possiamo sommare da $1$ a $n$, anche se lo strato con $k=1$ non ha ne sfere adiacenti ne sfere sovrastanti e quindi zero gocce di colla, per via del fattore $k-1$).
Abbiamo dunque $2n^2\left(n-1\right)=30000$ ovvero $n^2\left(n-1\right)=15000=25^2\cdot 24$.
Il numero complessivo di sfere è

$\displaystyle \frac{25\left(25+1\right)\left(2\cdot 25+1\right)}6=5525$

e il peso complessivo della piramide è $73\text{ kg}$.
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

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