Rudi Mathematici 263, 2.2

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panurgo
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Rudi Mathematici 263, 2.2

Messaggio da panurgo »

Vi passo questo problema dei Rudi Mathematici perché è decisamente carino.

Fermo restando che a lettera diversa corrisponde cifra diversa, vi si chiede di ricavare il
numero $abcdefghij$ tale che:
· $a$ sia divisibile per $1$;
· $ab$ sia divisibile per $2$;
· $abc$ sia divisibile per $3$;
· $abcd$ sia divisibile per $4$;
· $abcde$ sia divisibile per $5$;
· $abcdef$ sia divisibile per $6$;
· $abcdefg$ sia divisibile per $7$;
· $abcdefgh$ sia divisibile per $8$;
· $abcdefghi$ sia divisibile per $9$;
· $abcdefghij$ sia divisibile per $10$.
...no, niente forza bruta: a Natale son tutti più buoni, anche gli algoritmi (forse solo un
pochino, verso la fine... Quando ormai è Santo Stefano).
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Gianfranco
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Re: Rudi Mathematici 263, 2.2

Messaggio da Gianfranco »

Necessariamente j=0
da cui: e=5
e {b,d,f,h}={2,4,6,8}
di conseguenza: {a, c, g, i}={1, 3, 7, 9}

Nonché
cd=uno di questi: 12,16,32,36,72,76,92,96
da cui
d=2 oppure 6

Inoltre
a+b+c=3h pari
d+e+f=3k dispari
g+h+i=3m dispari

Poiché
e=5
d=2 oppure d=6
d+e+f = multiplo dispari di 3
allora
f=8 oppure 4

E anche
fgh=uno di questi: 216,296,416,432,472,496,632,672,816,832,872,896 (multiplo di 8 di 3 cifre senza né 0, né 5, né doppie cifre, e con cifre pari-dispari-pari)
da cui
h=2 oppure 6

Siccome il 2 e il 6 toccano a d, h le possiamo escludere dalle altre lettere pari.
Ovvero:
{d,h}={2,6}
{b,f}={4,8}

Ma allora torniamo indietro di un passo.
fgh=uno di questi: 416,432,472,496,816,832,872,896

gh=uno di questi: 16,32,72,96

La situazione è questa:
rudi1.png
rudi1.png (5 KiB) Visto 87 volte
Poiché g+h+i deve essere un multiplo dispari di 3 si deduce che:
ghi=729

Ora la situazione è questa:
rudi2.png
rudi2.png (4.03 KiB) Visto 87 volte
Con qualche ragionamentino in più si arriva a:
$n=3816547290$


La riprova pedante con Maxima è:
(%i1) mod(3816547290, 10);
(%o1) 0
(%i2) mod(381654729, 9);
(%o2) 0
(%i3) mod(38165472, 8);
(%o3) 0
(%i4) mod(3816547, 7);
(%o4) 0
(%i5) mod(381654, 6);
(%o5) 0
(%i6) mod(38165, 5);
(%o6) 0
(%i7) mod(3816, 4);
(%o7) 0
(%i8) mod(381, 3);
(%o8) 0
(%i9) mod(38, 2);
(%o9) 0
(%i10) mod(3, 1);
(%o10) 0
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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