Che cosa ha di speciale 277777788888899?

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Bruno
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Che cosa ha di speciale 277777788888899?

Messaggio da Bruno »

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Copio e incollo in un nuovo post l'argomento proposto qui da peppe.
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A proposito di curiosità numeriche e di grandi numeri, sul solito canale Youtube, Numberphile, ho trovato un video dal titolo

"What's special about 277777788888899?".
Questo è il link:

https://www.youtube.com/watch?v=Wim9WJeDTHQ

Ora giro a voi la domanda per sapere da dove arriva la particolare "specialita" di questo mastodontico numero composto da ben 19 cifre.
E' un numero davvero strano: moltiplicando tra loro tutte le 19 cifre, ripetutamente, in 11 passaggi, si ottiene zero come risultato.
E ancora più stupefacente è il numero composto da ben 29 cifre:

77777733332222222222222222222 (le cifre 2 sono diciannove)
che sottoposto allo stesso trattamento, dopo il primo "step",fornisce lo stesso numero che si ottiene moltiplicando tra loro le cifre del primo numero,ossia:
4996238671872
Trascrivo gli undici passaggi necessari in entrambi i casi:

2x7x7x7x7x7x7x8x8x8x8x8x8x9x9

4x9x9x6x2x3x8x6x7x1x8x7x2
4x3x8x9x3x9x6x4x8
4x4x7x8x9x7x6
3x3x8x6x8x8
2x7x6x4x8
2x6x8x8
7x6x8
3x3x6
5x4
2x0
0
-----
7x7x7x7x7x7x3x3x3x3x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2

4x9x9x6x2x3x8x6x7x1x8x7x2
4x3x8x9x3x9x6x4x8
4x4x7x8x9x7x6
3x3x8x6x8x8
2x7x6x4x8
2x6x8x8
7x6x8
3x3x6
5x4
2x0
0

Il programma che si vede nel filmato fornisce il numero di passaggi necessari per arrivare alla cifra finale 0, nei casi in cui li numero introdotto rispetta la
regola. Ossia arrivare a zero moltiplicando le cifre, come nel caso dell'esempio fatto con il numero piccolo 5428-->320--->0,cosa che non succede con 327 perché:
327--->42--->8 e a zero non ci si arriva mai.
Con i numeri composti da poche cifre, il calcolo è facile e per tentativi si riesce alla fine a trovare il numero giusto, ma con numeri come quelli visti sopra, mi
sembra un'impresa ardua, a meno che non esista qualche stratagemma,o qualche pragramma particolare, che facilita la scelta del numero.
Cosa ne pensate?
Saluti. peppe
---
P.S.
L'algoritmo del programma che calcola il numero dei passaggi è questo:

1 def per (n):
2 if len(str(n))==1:
3 print n
4 return "DONE"
5
6 digits = [int(i) for i in str(n)]
7
8 result = 1
9 for j in digits:
10 result *= j
11 print result
12 per(result)
Invisibile un vento
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sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
(Biagio Marin)

delfo52
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Re: Che cosa ha di speciale 277777788888899?

Messaggio da delfo52 »

Se ho capito bene, 11 sarebbe il "record" di passaggi per arrivare a zero (o per arrestare comunque la iterazione).
La cosa a mio parere controintuitiva è che esista un massimo.
Procedendo a ritroso, sembrerebbe che non debba essere impossibile risalire da uno zero, su su generando numeri acconci.
Ma se il limite c'è, perchè undici?
Enrico

Pasquale
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Re: Che cosa ha di speciale 277777788888899?

Messaggio da Pasquale »

Si, evidentemente i numeri sono stati ottenuti tramite un percorso contrario. A parte il numero di passaggi, un esercizio potrebbe consistere nel provare a costruire il numero finale, quanto più lungo possibile, anche se con un numero di righe minore di 11. Vince chi costruisce più righe. Man mano che si procede, due righe adiacenti devono avere una quantità di cifre crescente o al massimo di pari quantità.
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Bruno
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Re: Che cosa ha di speciale 277777788888899?

Messaggio da Bruno »

delfo52 ha scritto:
mer dic 23, 2020 9:48 am
La cosa a mio parere controintuitiva è che esista un massimo.
Lo è anche per me.
Sulla persistenza moltiplicativa, comunque, ci stanno ragionando in molti e nella stessa OEIS c'è una sequenza collegata dove Benjamin Chaffin annota alcuni record.
Nell'ottimo sito di Robert Munafo vien detto che non è stato ancora trovato un numero con persistenza maggiore di 11.

Pasquale ha scritto:
gio dic 24, 2020 4:18 am
Vince chi costruisce più righe.
Bene, Pasquale, allora apriamo le danze :mrgreen:
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Pasquale
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Re: Che cosa ha di speciale 277777788888899?

Messaggio da Pasquale »

Intanto volevo osservare che se da 2x7x7x7x7x7x7x8x8x8x8x8x8x9x9 e 7x7x7x7x7x7x3x3x3x3x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 deriva lo stesso numero
4996238671872, non v'è nulla di strano, perché il secondo prodotto con più cifre deriva dal primo, dopo aver trasformato ogni 9 in due 3 ed ogni 8 in tre 2.
Per il resto, trovare un numero che nel corso del procedimento di cui trattasi non produca mai uno zero, se non nell'ultimo passaggio,mi sa una cosa abbastanza difficile.
Se si trovasse un numero iniziale che giungesse al risultato finale con 6 o 7 passaggi, sarebbe già una conquista.
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Pasquale
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Re: Che cosa ha di speciale 277777788888899?

Messaggio da Pasquale »

Dunque, risalendo dal basso, si tratta per ogni numero di trovare i divisori possibili, tutti ad una sola cifra. Ben presto si resta bloccati, salvo il caso della sequenza
0 - 20 - 54 - 336 - ecc., ove l'eccetera non è facile da individuare, man mano che si va su, col conseguente aumento delle combinazioni di numeri e cifre da esaminare.
Direi di accontentarsi delle 11 operazioni individuate, chissà con quante ore di lavoro dei computer.
Oltre il 277777788888899 non è detto che non esista altro numero con più cifre, portando le operazioni a 12, e magari anche oltre, ma sarebbe un lavoraccio da computer con un algoritmo che gli fumi.

Ho esplorato peraltro tutte le sequenze che iniziano con 0-10, 0-30, 0-40.....0-90 ed anche 0-100, ma tutto si blocca poco dopo l'inizio.
Dunque mi fermerei qui con un bel :?:
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