Facile, facile

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Pasquale
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Facile, facile

Messaggio da Pasquale »

480 rappresenta anche la media aritmetica fra due numeri primi. Quali ?
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franco
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Re: Facile, facile

Messaggio da franco »

In effetti è facile facile :)

Dando un'occhiata alla tabella dei numeri primi <1000 salta subito all'occhio la coppia 7 - 953.

Ma subito dopo sbuca anche la coppia 13 - 947 ...

ciao

Franco
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Gianfranco
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Re: Facile, facile

Messaggio da Gianfranco »

Buongiorno a tutti e grazie Pasquale!
E' bello, ogni mattina, dopo la colazione, trovare un problema facile ma non troppo per far carburare i neuroni.
Anche dopo aver visto le soluzioni di Franco ho cercato una certa soluzione che mi aspettavo da un problema di Pasquale, ma non c'è.
Perciò rilancio:

600 rappresenta anche la media aritmetica fra due numeri primi. Quali ?

Tutti i numeri pari >0 sono (forse) la media di due numeri primi, ma 600 ha una caratteristica speciale. Ce l'hanno anche 6 e 60 ma non 6000.

Altra domanda: è vero che ogni numero naturale >1 pari maggiore di 2 è la media di due numeri primi?
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Facile, facile

Messaggio da Pasquale »

Un momento: tornando al 480, vedo che Franco ha concluso con un " ... ", che forse vuol dire qualcosa, o no?
Potrebbe aver lasciato ad altri l'interpretazione di tale conclusione, oppure è altro il significato?
Per me: ...... :)
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Pasquale
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Re: Facile, facile

Messaggio da Pasquale »

Va bene, lasciamo stare. E' evidente che .... di Franco vuole dire eccetera.

Qual è la particolarità del 600 rispetto al 6000? Mi sa che entriamo nel difficile.
Per quanto riguarda la seconda domanda di Gianfranco, non saprei dimostrarlo, ma si può osservare che a partire dalla media 6, più alto è il numero assunto come media, tante più sono le coppie di primi le cui medie corrispondono a tale numero (pari a partire da 6).
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Re: Facile, facile

Messaggio da Gianfranco »

Pasquale ha scritto:
ven dic 18, 2020 2:11 am
Qual è la particolarità del 600 rispetto al 6000? Mi sa che entriamo nel difficile.
$\large 6=\frac{5+7}{2}=\frac{6 \cdot 2}{2}$

$\large 60=\frac{59+61}{2}=\frac{60 \cdot 2}{2}$

---
Se prendiamo un qualunque numero naturale >1, per esempio15:

$\large 15=\frac{15 \cdot 2}{2}=\frac{30}{2}=\frac{23+7}{2}$

In generale:

$\large n=\frac{2n}{2}=\frac{p_1+p_2}{2}$
dove p1 e p2 sono due numeri primi non necessariamente distinti.

Ma l'ultima proposizione è sempre vera se e solo se...

Salvo errori e omissioni.
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Re: Facile, facile

Messaggio da Bruno »

Gianfranco ha scritto:
gio dic 17, 2020 9:28 am
Altra domanda: è vero che ogni numero naturale >1 pari maggiore di 2 è la media di due numeri primi?

Gianfranco, intendi questo?


Gianfranco ha scritto:
ven dic 18, 2020 8:33 am
$\large 6=\frac{5+7}{2}=\frac{6 \cdot 2}{2}$

$\large 60=\frac{59+61}{2}=\frac{60 \cdot 2}{2}$

:roll: non ho capito qual è la caratteristica speciale... :|
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Re: Facile, facile

Messaggio da Gianfranco »

6, 60, 600 e tanti altri numeri sono la media di due primi gemelli. Quando la congettura dei primi gemelli sarà dimostrata, saremo certi che ce ne sono infiniti.

Invece la proposizione che "ogni numero naturale >1 sarebbe la media di due numeri primi" deriva dalla congettura di Goldbach, anch'essa ancora da dimostrare.

A volte faccio dei percorsi mentali contorti e dico soltanto il punto d'arrivo, che dopo un po' risulta oscuro anche a me stesso.
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Re: Facile, facile

Messaggio da Bruno »

Gianfranco ha scritto:
ven dic 18, 2020 10:31 am
6, 60, 600 e tanti altri numeri sono la media di due primi gemelli. Quando la congettura dei primi gemelli sarà dimostrata, saremo certi che ce ne sono infiniti.

Questo lo avevo intuito, ma non lo legavo alla "specialità" di 600, avendo visto che ci sono diversi altri numeri che soddisfano quella richiesta...
Per esempio, non abbiamo 6000, ma abbiamo 5880 e 6090, e fra 60 e 600 troviamo una ventina di casi di quel tipo.
Ero un po' confuso, ecco :wink:


Gianfranco ha scritto:
ven dic 18, 2020 10:31 am
A volte faccio dei percorsi mentali contorti e dico soltanto il punto d'arrivo, che dopo un po' risulta oscuro anche a me stesso.

Prima o poi faremo un club :D ho già quasi in mente il logo :lol:
(Bruno)

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Re: Facile, facile

Messaggio da Pasquale »

Avevo detto "facile, facile", ma qui mi si confondono le idee :?
Siamo sicuri che ogni naturale può essere espresso come media di due primi, senza specificare che debba trattarsi di un numero pari?
Inoltre, poniamo che la congettura dei primi gemelli sia stata dimostrata, la loro infinità dimostrerebbe che esistono infiniti numeri pari fra due primi gemelli, ma non vedo
il nesso col caso contrario, cioè: dato un numero pari M, cerchiamo i primi di cui è media aritmetica. In questo caso, disponendo di un elenco di primi, quindi di numeri noti "a", minori o maggiori di M, trovare un b tale che $(a+b)/2 = M$.
Salvo lo sterile procedimento, appare " facile, facile" verificare attraverso l'elenco se esiste un b = 2M - a ed anzi più grande è il numero M e più ampio l'intervallo a-b di osservazione, tanto più numerose sono le coppie di primi con media M, ma più difficoltoso il lavoro da svolgere, salvo affidare il compito ad un software di calcolo.
Appare evidente che non potendo operare l'osservazione all'infinito, anche queste affermazioni possono essere considerate "congetturose". :(
Ripensandoci, ma evidentemente non ho capito nulla , se abbiamo visto che il 6, il 60 ed il 600 sono numeri medi di gemelli primi, non essendolo invece il 6000, potremmo affermare che i gemelli non sono infiniti?

Ritornando al "facile, facile", prendendo a prestito il Goldbach, rilancio il 480 non come media, ma come somma di due primi. Quali sono?
Inoltre, mi vorrei allargare ai numeri dispari, ma devo confessare che non ancora so se è possibile e quindi anch'io mi metterò al lavoro su questo "autoquesito:

dato il n. 56788, cercare 3 numeri primi che lo esprimano come media ed altri 3 come loro somma, ammesso che esistano.
Dunque, considerato che andarsene a spasso non è tanto possibile o conveniente......al lavoro ! :mrgreen:
Ultima modifica di Pasquale il lun dic 21, 2020 12:22 am, modificato 2 volte in totale.
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Re: Facile, facile

Messaggio da Gianfranco »

Pasquale ha scritto:
ven dic 18, 2020 6:17 pm
Siamo sicuri che ogni naturale può essere espresso come media di due primi, senza specificare che debba trattarsi di un numero pari?
Ne saremo sicuri quando la congettura di Goldbach sarà dimostrata.
Ammettiamo che sia stata dimostrata e che quindi sia stata promossa a teorema.

1. Prendiamo un numero naturale n>1 qualsiasi.
2. Due numeri hanno come media n quando la loro somma è uguale a 2n (che è sicuramente pari).
3. Per il "teorema" di Goldbach, esistono 2 numeri primi tali che la loro somma è 2n.
4. Perciò la loro media è n.

Sparo un metateorema: "Ogni numero naturale n>1 è la media aritmetica di due numeri primi" è equivalente alla congettura di Goldbach. (???)
Pasquale ha scritto:
ven dic 18, 2020 6:17 pm
Ritornando al "facile, facile", prendendo a prestito il Goldbach, rilancio il 480 non come media, ma come somma di due primi. Quali sono?
Ho cercato tra i numeri primi "vicini" per difetto a 480 e ho trovato 467.
Perciò 480=467+13
Pasquale ha scritto:
ven dic 18, 2020 6:17 pm
Ripensandoci, ma evidentemente non ho capito nulla , se abbiamo visto che il 6, il 60 ed il 600 sono numeri medi di gemelli primi, non essendolo invece il 6000, potremmo affermare che i gemelli non sono infiniti?
No, non possiamo dirlo, questa è solo una particolarità e chissà quante altre ce ne sono.
Però possiamo dire che un numero può essere media di due primi gemelli se è un multiplo di 6 (condizione necessaria ma non sufficiente), perché tutti i numeri primi stanno "attaccati" ai multipli di 6.
Pasquale ha scritto:
ven dic 18, 2020 6:17 pm
dato il n. 56788, cercare 3 numeri primi che lo esprimano come media ed altri 3 come loro somma, ammesso che esistano.
Ci penso...
Pace e bene a tutti.
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Re: Facile, facile

Messaggio da Bruno »

Pasquale ha scritto:
ven dic 18, 2020 6:17 pm
... rilancio il 480 non come media, ma come somma di due primi. Quali sono?

Be', anche qui abbiamo un'immediata coppia di gemelli :wink:


Pasquale ha scritto:
ven dic 18, 2020 6:17 pm
dato il n. 56788, cercare 3 numeri primi che lo esprimano come media ed altri 3 come loro somma, ammesso che esistano.

Direi pure così:
56788 = (2+85133+85229)/3 = (2+85103+85259)/3 etc.
56788 = 2+28309+28477 = 2+28183+28603 etc.
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Re: Facile, facile

Messaggio da Pasquale »

Pardon, se l'8 finale fosse stato un 9 ?

Ringrazio Gianfranco per i chiarimenti relativi alle deduzioni tratte dalla iniziale formulazione della congettura di Golbach. :D

Inoltre, ho trovato altra congettura, definita debole, secondo la quale ogni numero dispari può essere espresso come somma di tre numeri dispari (o anche primi).

Dunque lo stesso numero dispari "n" può essere espresso come metà della somma di 2 primi uguale a "2n" o anche come un terzo della somma di tre primi uguale a "3n".

Avremmo pertanto che:

2n = a + b
3n = c+d+e

Sommando membro a membro, possiamo dedurre anche che ogni numero dispari può corrispondere ad un quinto della somma di 5 numeri primi uguale a 5n.

Procedendo in tal modo, tale numero dispari potrebbe essere uguale ad un settimo, un nono, un undicesimo, ecc. della somma di 7,9,11, ecc. numeri primi, adeguatamente multipla di n.

Se quanto sopra è esatto, allora che ci facciamo?

Potremmo chiedere ad esempio:

123 è la media di tre numeri primi, oppure anche di 5 numeri primi,...... : quali? :mrgreen:
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Re: Facile, facile

Messaggio da Bruno »

Pasquale ha scritto:
dom dic 20, 2020 10:46 pm
Pardon, se l'8 finale fosse stato un 9 ?

Anche qui ci si può sbizzarrire:
56789 = (18119+18899+133349)/3 = (10799+17891+141677)/3 etc.
oppure:
56789 = 8501+18899+29389 = 7177+17891+31721 etc.
(Bruno)

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Re: Facile, facile

Messaggio da Gianfranco »

Pasquale ha scritto:
dom dic 20, 2020 10:46 pm
Pardon, se l'8 finale fosse stato un 9 ?
Olè.
Teorema 1. Ogni numero naturale $n$ (sufficientemente grande) è la media di $3$ primi.

1) Ricordiamo che la somma dei tre primi deve essere uguale a $3n$

2) Moltiplico $n$ per $3$. $3n$ ha la stessa parità di $n$.

3) Se $3n$ è pari, sottraggo $2$, ottenendo un numero pari che è uguale alla somma di $2$ primi, $p_1, p_2$ (Goldbach).
perciò: $n=(2+p_1+p_2)/3$

4) se $3n$ è dispari, sottraggo $3$ ottenendo un numero pari che è uguale alla somma di $2$ primi, $p_1, p_2$ (Goldbach).
perciò: $n=(3+p_1+p_2)/3$

Teorema 2. Ogni numero naturale $n$ (sufficientemente grande) è la media di $k$ primi.
Procediamo come sopra sottraendo più volte $2$ oppure $3$ opportunamente.

Esempio
$56789$ è la media di $7$ numeri primi.
1) $56789 \cdot 7=397523$
2) $397523-3-2-2-2-2=397512$
3) $397512=397493+19$ (Goldbach)
4) $56789=(397493+19+3+2+2+2+2)/7$

Se vuoi che i primi siano distinti, allora devi sottrarre 2, 3, 5, 7, ...
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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