Buongiorno, avrei un dubbio. Su alcuni testi di geometria (es. STOKA) la congruenza è definita come una isometria diretta, cioè concorde. Su altri è definita come una isometria (indipendentemente dall'orientamento).
Come ci si deve regolare?
Mille grazie
roberta
dubbio: definizione di congruenza
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Non sono sicuro di aver capito la domanda.
Può sembrare “strano”, ma sono molto ignorante (per essere un insegnante), in particolare sulla nomenclatura.
Ho capito che una isometria diretta esclude “il ribaltamento”.
Se è così provo a risponderti, ma io non ti do le risposte “ufficiali” (di cui sono davvero ignorante”), ma solo la mia interpretazione.
Innanzi tutto “generalmente” in ambito di “geometria euclidea” la congruenza precede la definizione di isometria (due figure “f” e “g” sono congruenti sse, per definizione, esiste un movimento rigido tale che l'immagine di “f” sia “g”, e il movimento rigido è un concetto primitivo).
Quindi la domanda penso dovrebbe eventualmente riguardare gli assiomi che "definiscono" il movimento rigido.
Comunque questo non cambia il senso della domanda.
Io credo che ci siano due aspetti, uno “pratico” ed uno “teorico”. Può sembrare strano, ma questo vale anche in matematica, oltre che in fisica.
Per esempio quando si parla di angoli, si ha che secondo la geometria euclidea si preferirebbe non “scadere” nelle misure, se non come frazione di angolo piatto (un po' come con i segmenti: dato un segmento AB non se ne da mai la misura, ma si possono considerare AB/2, AB/3, ecc.; analogamente con un qualunque angolo BAC).
Sempre riguardo lo stesso argomento: in matematica gli angoli si misurano “naturalmente” in radianti, e una conferma di questo si ha dalla teoria del calcolo differenziale, però generalmente la loro misura viene introdotta in gradi. Questo credo che sia in gran parte dovuto al fatto che nella vita pratica si usano i gradi, oltre al fatto che è molto più comprensibile un numero come “30” (gradi) rispetto a un “pigreco/6”.
Quindi se si insegna a misurare ad un livello più elementare si insegna ad usare i gradi, se invee si arriva a dover usare il calcolo differenziale si introducono i radianti.
Poi le differenze fra i due tipi di impostazione non sono oggetto di moti approfondimenti.
Ma e ne sono, visto che da un punto di vista fisico il radiante è adimensionale, cioè è un numero, mentre un grado è un angolo (è la 180ª parte di un angolo piatto), quindi non è un numero.
Analogamente il “problema” di cui parli tu: nel “nostro mondo”, che consideriamo tridimensionale, il ribaltamento è possibile per le figure piane, ma non quelle solide.
Quindi quando introduciamo la geometria euclidea ai “bimbi” delle superiori gli diamo gli assiomi più semplici per la geometria piana e per permettere loro di lavorare nel modo reale, in cui il ribaltamento delle figure piane è possibile, da cui la definizione di congruenza come isometria.
Poi però si accenna anche alle figure tridimensionali, che nel nostro mondo non sono ribaltabili (ma possono esserlo in un universo di dimensione maggiore di 3), e “quindi” si dala definizione di congruenza come isometria diretta.
Probabilmente qualcuno si pone il problema se sia “più generale” delle due definizioni, o meglio: delle due situazioni, e ne da una definizione unica in tutto il testo, ... solo che qualcuno opta per la prima e qualcun altro per la seconda.
Io personalmente generalmente ai miei alunni presento il problema, e poi scelgo la definizione del testo, ma resta inteso che si applicheranno i concetti che SI VEDE “CON GLI OCCHI” che sono veri. Questo non genera nessun problema, visto che tutti gli esercizi del testo sono stati pensati con la/le definizioni che ha adottato.
(Il problema semmai è un altro: i ragazzi sono poco capaci di gestire definizioni aleatorie, capiscono relativamente quello che io intendo, ed io non sono molto bravo a chiarire concetti su cui non ho sufficienti domande)
Tu mi chiedi «Come ci si deve regolare?»
Non so risponderti, anche perché questo tipo di domande non le accetto nemmeno in classe.
Per esempio alla domanda «Per andare da qui (Capannori – il comune della nostra scuola) a lì (Sant'Anna), dove DEVO passare?»
Io rispondo che non c'è nessun percorso che DEVO seguire, ma che POSSO passare per qualunque parte preferisco, per esempio posso arrivarci seguendo la circovallazione di Lucca in senso orario, oppure antiorario, ma se sono a piedi mi conviene attraversare il centro di Lucca, se sono in bici mi conviene andare sopra le mura urbane, per fare prima potrei usare un aereo o un deltaplano e passare sopra Lucca, se fossi come Colombo potrei andare nella direzione opposta a quella che pensano loro (“buscar l'oriente per l'occidente”), ma che il percorso più breve è il segmento che congiunge “qui” con “lì”, che va anche sotto la superficie terrestre.
Risponderò quindi alla domanda «Come ci si può regolare?»
Te l'ho già detto, io faccio presente che cosa implicano le due definizioni (cioè le motivazioni che portano a scegliere l'una rispetto all'altra) e in quali ambiti sono più adatte per la loro descrizione.
Personalmente credo che descrivano due concetti diversi, per cui non si tratta di “scegliere quale delle due”, ma di avere due nomi diversi per i due concetti diversi.
Spero di esserti stato utile (e, per esempio, di non aver frainteso la domanda ...)
Può sembrare “strano”, ma sono molto ignorante (per essere un insegnante), in particolare sulla nomenclatura.
Ho capito che una isometria diretta esclude “il ribaltamento”.
Se è così provo a risponderti, ma io non ti do le risposte “ufficiali” (di cui sono davvero ignorante”), ma solo la mia interpretazione.
Innanzi tutto “generalmente” in ambito di “geometria euclidea” la congruenza precede la definizione di isometria (due figure “f” e “g” sono congruenti sse, per definizione, esiste un movimento rigido tale che l'immagine di “f” sia “g”, e il movimento rigido è un concetto primitivo).
Quindi la domanda penso dovrebbe eventualmente riguardare gli assiomi che "definiscono" il movimento rigido.
Comunque questo non cambia il senso della domanda.
Io credo che ci siano due aspetti, uno “pratico” ed uno “teorico”. Può sembrare strano, ma questo vale anche in matematica, oltre che in fisica.
Per esempio quando si parla di angoli, si ha che secondo la geometria euclidea si preferirebbe non “scadere” nelle misure, se non come frazione di angolo piatto (un po' come con i segmenti: dato un segmento AB non se ne da mai la misura, ma si possono considerare AB/2, AB/3, ecc.; analogamente con un qualunque angolo BAC).
Sempre riguardo lo stesso argomento: in matematica gli angoli si misurano “naturalmente” in radianti, e una conferma di questo si ha dalla teoria del calcolo differenziale, però generalmente la loro misura viene introdotta in gradi. Questo credo che sia in gran parte dovuto al fatto che nella vita pratica si usano i gradi, oltre al fatto che è molto più comprensibile un numero come “30” (gradi) rispetto a un “pigreco/6”.
Quindi se si insegna a misurare ad un livello più elementare si insegna ad usare i gradi, se invee si arriva a dover usare il calcolo differenziale si introducono i radianti.
Poi le differenze fra i due tipi di impostazione non sono oggetto di moti approfondimenti.
Ma e ne sono, visto che da un punto di vista fisico il radiante è adimensionale, cioè è un numero, mentre un grado è un angolo (è la 180ª parte di un angolo piatto), quindi non è un numero.
Analogamente il “problema” di cui parli tu: nel “nostro mondo”, che consideriamo tridimensionale, il ribaltamento è possibile per le figure piane, ma non quelle solide.
Quindi quando introduciamo la geometria euclidea ai “bimbi” delle superiori gli diamo gli assiomi più semplici per la geometria piana e per permettere loro di lavorare nel modo reale, in cui il ribaltamento delle figure piane è possibile, da cui la definizione di congruenza come isometria.
Poi però si accenna anche alle figure tridimensionali, che nel nostro mondo non sono ribaltabili (ma possono esserlo in un universo di dimensione maggiore di 3), e “quindi” si dala definizione di congruenza come isometria diretta.
Probabilmente qualcuno si pone il problema se sia “più generale” delle due definizioni, o meglio: delle due situazioni, e ne da una definizione unica in tutto il testo, ... solo che qualcuno opta per la prima e qualcun altro per la seconda.
Io personalmente generalmente ai miei alunni presento il problema, e poi scelgo la definizione del testo, ma resta inteso che si applicheranno i concetti che SI VEDE “CON GLI OCCHI” che sono veri. Questo non genera nessun problema, visto che tutti gli esercizi del testo sono stati pensati con la/le definizioni che ha adottato.
(Il problema semmai è un altro: i ragazzi sono poco capaci di gestire definizioni aleatorie, capiscono relativamente quello che io intendo, ed io non sono molto bravo a chiarire concetti su cui non ho sufficienti domande)
Tu mi chiedi «Come ci si deve regolare?»
Non so risponderti, anche perché questo tipo di domande non le accetto nemmeno in classe.
Per esempio alla domanda «Per andare da qui (Capannori – il comune della nostra scuola) a lì (Sant'Anna), dove DEVO passare?»
Io rispondo che non c'è nessun percorso che DEVO seguire, ma che POSSO passare per qualunque parte preferisco, per esempio posso arrivarci seguendo la circovallazione di Lucca in senso orario, oppure antiorario, ma se sono a piedi mi conviene attraversare il centro di Lucca, se sono in bici mi conviene andare sopra le mura urbane, per fare prima potrei usare un aereo o un deltaplano e passare sopra Lucca, se fossi come Colombo potrei andare nella direzione opposta a quella che pensano loro (“buscar l'oriente per l'occidente”), ma che il percorso più breve è il segmento che congiunge “qui” con “lì”, che va anche sotto la superficie terrestre.
Risponderò quindi alla domanda «Come ci si può regolare?»
Te l'ho già detto, io faccio presente che cosa implicano le due definizioni (cioè le motivazioni che portano a scegliere l'una rispetto all'altra) e in quali ambiti sono più adatte per la loro descrizione.
Personalmente credo che descrivano due concetti diversi, per cui non si tratta di “scegliere quale delle due”, ma di avere due nomi diversi per i due concetti diversi.
Spero di esserti stato utile (e, per esempio, di non aver frainteso la domanda ...)
Ciao Infinito, mille grazie per avermi risposto.
Supponiamo di avere il seguente problema:
ho due triangoli (non equilateri) su un piano, perfettamente sovrapponibili, i cui vertici letti ad esempio in senso orario sono ABC e CBA (con A angoli sovrapponibili, B angoli sovrapp., C angoli sovrapp.).
Supponiamo che mi venga chiesto "i due triangoli sono congruenti?"
Cominciamo:
1) se l'interrogatore è il sig. Euclide allora rispondo SI
2) se l'interrogatore è il sig. STOKA (un boss della geometria superiore) allora rispondo NO, ma se è il sig. HILBERT allora rispondo SI'
3) se l'interrogatore è uno dei tanti autori di testi di geometria di scuola superiore allora rispondo SI
4) e se l'interrogatore è un commissario di concorso ordinario???????? (qui si rischia)
Ho fiorito un pochino il problema, ma il dubbio mi resta. Qual è la DEFINIZIONE UFFICIALE di congruenza?
Ho fatto ricerca anche su Internet: c'è chi la definisce "isometria diretta" e chi "isometria". C'è addirittura chi scrive: anni fa la congruenza era definita come isometria diretta, ora, per motivi di chiarezza didattica, si è preferito definirla isometria. Devo forse accettare questa giustificazione? Eppure il sig. STOKA non è così vecchio (in confronto ad Euclide). In università la definizione ufficiale di congruenza era per noi "isometria diretta". E quindi? Il problema resta aperto.
Grazie mille a chi vorrà intervenire per chiarirmi le idee (accetto anche tirate d'orecchie)
roberta
Supponiamo di avere il seguente problema:
ho due triangoli (non equilateri) su un piano, perfettamente sovrapponibili, i cui vertici letti ad esempio in senso orario sono ABC e CBA (con A angoli sovrapponibili, B angoli sovrapp., C angoli sovrapp.).
Supponiamo che mi venga chiesto "i due triangoli sono congruenti?"
Cominciamo:
1) se l'interrogatore è il sig. Euclide allora rispondo SI
2) se l'interrogatore è il sig. STOKA (un boss della geometria superiore) allora rispondo NO, ma se è il sig. HILBERT allora rispondo SI'
3) se l'interrogatore è uno dei tanti autori di testi di geometria di scuola superiore allora rispondo SI
4) e se l'interrogatore è un commissario di concorso ordinario???????? (qui si rischia)
Ho fiorito un pochino il problema, ma il dubbio mi resta. Qual è la DEFINIZIONE UFFICIALE di congruenza?
Ho fatto ricerca anche su Internet: c'è chi la definisce "isometria diretta" e chi "isometria". C'è addirittura chi scrive: anni fa la congruenza era definita come isometria diretta, ora, per motivi di chiarezza didattica, si è preferito definirla isometria. Devo forse accettare questa giustificazione? Eppure il sig. STOKA non è così vecchio (in confronto ad Euclide). In università la definizione ufficiale di congruenza era per noi "isometria diretta". E quindi? Il problema resta aperto.
Grazie mille a chi vorrà intervenire per chiarirmi le idee (accetto anche tirate d'orecchie)
roberta
Mi dispiace, ma questo è proprio il genere di cose che conosco meno (o che mi interessano di meno).roberta ha scritto:Qual è la DEFINIZIONE UFFICIALE di congruenza?
Ma non credere che sia un problema "limitato", ma riguarda tutta la matematica.
"Addirittura" qualche tempo fa (un paio di anni?) ho avuto una discussione, qui su base cinque, a proposito di 0°=1, in cui si sosteneva che "secondo qualcuno" lo "0" non apparteneva all'insieme dei naturali, in che implica che secondo questi c'erano delle diverse (come concetto) definizioni di naturali.
Comunque la cosa che in ambiti diversi si usino definizioni diverse non credo eebba scandalizzarti: per rimanere in tema, fino alla scuola media (inferiore) quella che tu chiami "congruenza" si chiamava "uguaglianza", e mi pare che tu non te ne sia scandalizzata.
A questo punto, se devo dire la mia (non quella ufficiale) credo che la definizione di "isometria" sia preferibile, perché doversi limitare a rimanere "confinati" nella dimensione in cui si è non mi piace un granché.
Comunque non credo che Euclide avrebbe risposto "Sì" anche ad un'eventuale simile domanda, ma riferita ad un tetraedro "scaleno", mentre io risponderei ugualmente "Sì".
Ed il motivo è che io ho presente una generalizzazione che non credo lui conoscesse.
Resta comunque sempre da avere ben chiaro che le due definizioni si riferiscono a concetti diversi.
altrimenti si rischiano le confusioni che vediamo spesso fra "massa", "peso", "massa gravitazionale" e "massa inerziale".
Se ti accontenti della Garzantina di Scienze, allora:
"In geometria proiettiva, congruenza (o uguaglianza) è una particolare similitudine in cui il rapporto di similitudine è l'unità. Sono congruenze nel piano: l'identità, la traslazione, la rotazione, la simmetria rispetto a una retta.
(omissis)
Una congruenza si dice diretta (o movimento) se il rapporto (costante) di segmenti corrispondenti è 1, inversa se essa è -1."
Più o meno quello che Stoka dice in modo più astratto nel suo Corso di Geometria, Cedam 1995, credo.
Sicuramente tale concetto è cambiato nel tempo, difatti Jaglom [sic] nel suo Le Isometrie, Zanichelli 1972, ma pubblicato originariamente nel 1955, scriveva:
"Le isometrie che trasformano reciprocamente figure direttamente uguali si dicono congruenze (o isometrie dirette); quelle che trasformano l'una nell'altra figure inversamente uguali si chiamano simmetrie (o isometrie inverse)"
Più tardi Coxeter e Greitzer, in Geometry Revised 1967, scrivono:
"Le isometrie stanno alla base della familiare idea di congruenza: due figure sono congruenti se e solo se una può essere trasformata nell'altra da un'isometria"
Nelle righe precedenti gli autori specificano che le isometrie sono trasformazioni che preservano le lunghezze, quali la rotazione o, in particolare, il ribaltamento.
Avanti nel tempo, Sernesi in Geometria 1, Bollati Boringhieri 1990, parla solo di isometrie con linguaggio astratto:
"Sia E uno spazio euclideo su V. Un'affinità f:E->E si dice isometria di E se l'automorfismo associato fi:V->V è un operatore unitario.
(omissis)
Un'isometria f, con automorfismo associato fi, si dice diretta se det(fi) = 1, e inversa se det(fi) = -1."
L'operatore fi è rappresentato da matrici, ecco il perché di det(fi), invece V è uno spazio vettoriale.
Sembra che la parola congruenza nel suo significato geometrico sparisca, rimanendo solo come aggettivo, ma c'è ancora confusione visto che Weisstein nella sua enciclopedia, CRC Press 2002, prima dice che:
"Due figure geometriche si dicono congruenti se sono equivalenti tramite rotazione o traslazione (ovvero se e solo se una può essere trasformata nell'altra da una isometria)."
Ma, svariate pagine dopo, nella voce Isometria è compresa anche la riflessione...
Dello stesso anno è il dizionario di Sidebotham, The A to Z of Mathematics, Wiley 2002, niente congruenza ma c'è "Congruent Figures" in cui dice, riassumendo:
1) due figure sono congruenti se possono essere esattamente sovrapposte; sono direttamente congruenti se non occorre ribaltarne una, altrimenti sono inversamente congruenti;
2) rotazioni e traslazioni sono trasformazioni concordi, la riflessione è una trasformazione contraria;
3) rotazione, traslazione e riflessione sono isometrie.
Beh, forse non è esattamente quello che cercavi, ma spero che aiuti, bisogna comunque dire che sull'argomento c'è confusione.
"In geometria proiettiva, congruenza (o uguaglianza) è una particolare similitudine in cui il rapporto di similitudine è l'unità. Sono congruenze nel piano: l'identità, la traslazione, la rotazione, la simmetria rispetto a una retta.
(omissis)
Una congruenza si dice diretta (o movimento) se il rapporto (costante) di segmenti corrispondenti è 1, inversa se essa è -1."
Più o meno quello che Stoka dice in modo più astratto nel suo Corso di Geometria, Cedam 1995, credo.
Sicuramente tale concetto è cambiato nel tempo, difatti Jaglom [sic] nel suo Le Isometrie, Zanichelli 1972, ma pubblicato originariamente nel 1955, scriveva:
"Le isometrie che trasformano reciprocamente figure direttamente uguali si dicono congruenze (o isometrie dirette); quelle che trasformano l'una nell'altra figure inversamente uguali si chiamano simmetrie (o isometrie inverse)"
Più tardi Coxeter e Greitzer, in Geometry Revised 1967, scrivono:
"Le isometrie stanno alla base della familiare idea di congruenza: due figure sono congruenti se e solo se una può essere trasformata nell'altra da un'isometria"
Nelle righe precedenti gli autori specificano che le isometrie sono trasformazioni che preservano le lunghezze, quali la rotazione o, in particolare, il ribaltamento.
Avanti nel tempo, Sernesi in Geometria 1, Bollati Boringhieri 1990, parla solo di isometrie con linguaggio astratto:
"Sia E uno spazio euclideo su V. Un'affinità f:E->E si dice isometria di E se l'automorfismo associato fi:V->V è un operatore unitario.
(omissis)
Un'isometria f, con automorfismo associato fi, si dice diretta se det(fi) = 1, e inversa se det(fi) = -1."
L'operatore fi è rappresentato da matrici, ecco il perché di det(fi), invece V è uno spazio vettoriale.
Sembra che la parola congruenza nel suo significato geometrico sparisca, rimanendo solo come aggettivo, ma c'è ancora confusione visto che Weisstein nella sua enciclopedia, CRC Press 2002, prima dice che:
"Due figure geometriche si dicono congruenti se sono equivalenti tramite rotazione o traslazione (ovvero se e solo se una può essere trasformata nell'altra da una isometria)."
Ma, svariate pagine dopo, nella voce Isometria è compresa anche la riflessione...
Dello stesso anno è il dizionario di Sidebotham, The A to Z of Mathematics, Wiley 2002, niente congruenza ma c'è "Congruent Figures" in cui dice, riassumendo:
1) due figure sono congruenti se possono essere esattamente sovrapposte; sono direttamente congruenti se non occorre ribaltarne una, altrimenti sono inversamente congruenti;
2) rotazioni e traslazioni sono trasformazioni concordi, la riflessione è una trasformazione contraria;
3) rotazione, traslazione e riflessione sono isometrie.
Beh, forse non è esattamente quello che cercavi, ma spero che aiuti, bisogna comunque dire che sull'argomento c'è confusione.