Successione del Covidacci

[Pasquale]

A seguito degli ultimi richiami all'attenzione sulla studiatissima successione del Fibonacci, con le sue molteplici proprietà, m'è saltato in mente di esplorarne una nuova, se già non esistente, battezzata "del Covidacci", con l'intento di proporre un approfondito studio sulla stessa che possa disvelarne ogni possibile proprietà e metterne a nudo ogni segreto.

Posti dunque: $f_0 = 0; f_1 = 1; f_2 = 2$

esplorare e studiare la successione, a partire da $f_3$ :

$f_n = f_{n-3} + f_{n-2} - f_{n-1}$

A titolo di avvio, riporto di seguito una prima singolarità individuata, che vede la successione in grado di generare elementi $f_n$ tali che: $n = x^2 = y^3 = f_n$

Esempio:

per $n = 64 = 8^2 = 4^3, f_{64} = 64$
per $n = 4096 = 64^2 = 16^3 , f_{4096} = 4096$
per $n = 46656 = 216^2 = 36^3, f_{46656} = 46656 $
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per $n = 7529536 = 2744^2 = 196^3, f_{7529536} = 7529536 $
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[Bruno]

Caro Pasquale: fantastico

Si dimostra facilmente che il generico termine della tua successione è fn = 1+(n-1)·(-1)ⁿ.

Questo significa che, quando n è un numero pari, ci ritroviamo con fn = n, quindi la tua osservazione è confermata.

[Pasquale]

Quando invece n è dispari, $f_n = -n+2$

'Sto Covidacci ne ha combinata un'altra delle sue, procedendo di 2 in 2 in 2 direzioni diverse, secondo che n sia pari o dispari .... sarebbe stato meglio chiamarlo "Cattivaccio".

Bella invece la generalizzazione del nostro Bruno

[panurgo]

Potresti provare con $f_n=f_{n-1}+f_{n-2}-f_{n-3}$

[Pasquale]

Si, ma fra tutti gli accoppiamenti esplorati di segni positivi e negativi, m'era sembrato più meritevole l'altro.
In realtà più che l'eguaglianza fra n ed $f_n$ mi avevano interessato le concomitanze del quadrato e del cubo, da individuare con una formula in funzione di n.
Es: per quali $n = x^2, f_n=y^3$, o magari per $n=x^3$, $f_n=y^5$, oppure per n=?, n+z = ?

Insomma, un qualcosa per mettere alla prova l'integrità delle sinapsi, all'epoca del Covidacci.

[Bruno]

Pasquale, faccio un veloce passaggio sulla tua questione, spero che non sia fuori luogo.

La ricorrenza proposta da Guido produce molte sequenze di interi studiate nel tempo - oltre alla regina di tutte le sequenze, quella dei numeri naturali
Se prendiamo i valori iniziali $\,0,\, 1\,$ e $\,3\,$, otteniamo tutti gli interi non negativi che non hanno la forma $\;3\cdot k+2$.
Questi numeri, inoltre, permettono di risolvere l'equazione $\large \;\lfloor\frac{2\cdot x}{3}\rfloor = {\small 2}\cdot \lfloor \frac{x}{3}\rfloor\;$ in $\mathbb{N}$, rappresentano il numero delle partizioni di un multiplo di 3 in due parti esatte e hanno diverse altre applicazioni
La loro formula generatrice è $\;f_n = \large \frac{6\cdot n+(-1)^n-1}{4}$.
Chiedersi, per esempio, quando $\;f_{n^2}\;$ sia un cubo perfetto non è una cosa ovvia, né tantomeno agevole senza poter contare sulla formula appena scritta.
In effetti, i primi termini della sequenza che porgono la $\,x\,$ nell'equazione $\;f_{x^2}=y^3$: $ \,\;0,\,1,\,12,\,96,\,324,\,389,\,768,\,1500,\,2592,\,...\;$ non si lasciano ammansire in un'unica regola.
Però si può scoprire, con metodi di routine, che dopo $\,389\,$ quei numeri sono dodici volte un cubo.


Sia pure di corsa ho poi provato a esaminare alcuni casi del tipo di ricorrenza $f_n =-f_{n-1}+ k\cdot f_{n-2}+ k\cdot f_{n-3}$.
Produce delle sequenze interessanti, anche se con formule solitamente poco semplici e gradevoli.
Però c'è qualche simpatica, concisa eccezione. Per esempio, prendendo $\,k=9$: trattandosi di un quadrato, ha spazzato via i radicali che spesso intervengono nella cosiddetta forma chiusa.
Infatti abbiamo: $f_n = \large \frac{3^n-(-1)^n}{4}$, da cui si ottengono $\;0,\,1,\,2,\,7,\,20,\,61,\,182,\,547,\,1640,\,4921,\,14762,\,44287,\, ...$
Alla sequenza $\,f_n\,$ appena definita, in realtà, possiamo applicare una relazione ricorsiva omogenea con due soli addendi: $f_n =2\cdot f_{n-1}+ 3\cdot f_{n-2}$.
Tra l'altro, vale in questo caso un'agile ricorrenza (non omogenea): $f_n = 3\cdot f_{n-1}-(-1)^n$.
Tuttavia, non so se, rispetto a ciò che ti interessa, una sequenza così possa essere chiamata pestifera

[Pasquale]

Caspita, non pensavo di infilarmi in un tale labirinto. Bisogna che mi studi altre nuove tre-mende successioni

[Pasquale]

Dunque, dalla seguente nuova funzione vien fuori una successione abbastanza singolare di valori $f_n$, meglio leggibili a partire da n=5 ( la sequenza -2, -3, -5, -7, -3 si alterna, presumibilmente all'infinito, alla sequenza 2, 3, 5, 7, 3).

Per: $f_0=2; f_1=3; f_2=5; f_3=7$ --> $f_n = -f_{n-4} + f_{n-3} - f_{n-2} + f_{n-1}$

In quest'altra, con valori di f_n crescenti e positivi, chissà se è possibile trovare valori primi ed i valori di n per i quali sia possibile, ma non dovrebbero porsi limiti alla fantasia per altri tipi di ricerca sulla stessa sequenza:

Per: $f_0=2; f_1=3; f_2=5; f_3=7$ --> $f_n = +f_{n-4} + f_{n-3} - f_{n-2} + f_{n-1}$

[Bruno]

Ops... quest'ultima è terribilissima