Un altro senza parole...

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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panurgo
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Un altro senza parole...

Messaggio da panurgo »

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il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

franco
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Re: Un altro senza parole...

Messaggio da franco »

Le misure che indichi nell'immagine sono dell'intera bisettrice o solo del tratto fra vertice e incentro?
Franco

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panurgo
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Re: Un altro senza parole...

Messaggio da panurgo »

Intera bisettrice...
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Gianfranco
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Re: Un altro senza parole...

Messaggio da Gianfranco »

Ok, soluzione brutalmente scolastica.
Uso Pitagora e la nota proprietà delle bisettrici.
Ottengo un sistema di 5 equazioni in 5 incognite,
Tra le tante soluzioni ce n'è solo una a valori tutti positivi, ed è questa:
$a=2 \sqrt{5},b=\frac{8}{\sqrt{5}},c=\frac{9}{\sqrt{5}},d=3 \sqrt{5},e=6 \sqrt{5}$
La soluzione è: $e=6 \sqrt{5}$
triangolo_9_12.png
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Avrei desiderato trovare un modo più furbo ma non ci sono riuscito... senza offesa per gli algebristi.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

panurgo
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Re: Un altro senza parole...

Messaggio da panurgo »

Visto che Gianfranco ha postato la soluzione vi aggiungo la mia.

Ho provato due vie, una trigonometrica e una puramente algebrica: alle volte però può essere meglio una Terza via...
nick023.00.02.520.400.png
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Le proporzioni del triangolo mi sembravano stranamente familiari: usando i pollici per misurarne i lati (sul mio video) trovo

$\left\{\begin{array}{lC}
\overline{\text{AB} }\approx 4 \\
\overline{\text{BC} }\approx 5,4 \\
\overline{\text{AC} }\approx 6,8
\end{array}\right.$

cioè approssimativamente $3:4:5$!

Facciamo la falsa posizione che

$\left\{\begin{array}{lC}
\overline{\text{AB} }=3 \\
\overline{\text{BC} }=4 \\
\overline{\text{AC} }=5
\end{array}\right.$

Consideriamo il teorema evocato da Gianfranco che la bisettrice divide il lato opposto all’angolo in parti proporzionali ai lati adiacenti, ovvero

$\left\{\begin{array}{lC}
\overline{\text{BD} }:\overline{\text{BC} }=\overline{\text{AD} }:\overline{\text{AC} } \\
\overline{\text{BE} }:\overline{\text{AB} }=\overline{\text{CE} }:\overline{\text{AC} }
\end{array}\right.$

Posto $\overline{\text{BD} }=h$ e $\overline{\text{BE} }=k$ otteniamo, con facile algebra

$\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle h=\frac{ac}{a+b} =\frac43 \\
\displaystyle k=\frac{ac}{b+c}=\frac32
\end{array}\right.$

Le lunghezze delle bisettrici sono

$\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle \overline{\text{CD}} =\sqrt{a^2+h^2}\propto\frac43\sqrt{10} \\
\displaystyle \overline{\text{AE}}= \sqrt{c^2+k^2}\propto\frac32\sqrt{5}
\end{array}\right.$

Verifichiamo che il fattore di proporzionalità sia lo stesso

$\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle \frac{8\sqrt{2}}{\frac43\sqrt{10}} = \frac6{\sqrt{5}}\\
\displaystyle \frac9{\frac32\sqrt{5}} = \frac6{\sqrt{5}}
\end{array}\right.$

quindi

$\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle \overline{\text{AB} }=3\frac6{\sqrt{5}}= \frac{18}{\sqrt{5}} \\
\displaystyle \overline{\text{BC} }=4\frac6{\sqrt{5}}= \frac{24}{\sqrt{5}} \\
\displaystyle \overline{\text{AC} }=5\frac6{\sqrt{5}}= \frac{30}{\sqrt{5}}
\end{array}\right.$

(Non ho razionalizzato, $30/\sqrt5=6\sqrt5$, per rendere evidente la proporzione $3:4:5$)
il panurgo

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Bruno
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Re: Un altro senza parole...

Messaggio da Bruno »

Ottimo!

Non mi sarebbe mai saltato in mente di prendere le misure sul video, visto che i disegni associati a questo tipo di puzzle sono spesso assai imprecisi (se non proprio forvianti), ma osservando la risoluzione che hai composto mi sembra che tu sapessi già dove andare a parare :wink:

Grazie per aver ricordato il metodo della falsa posizione, di cui ho sentito parlare per la prima volta (tanti anni fa) da Boyer nella sua "Storia della matematica", se ricordo bene.
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
(Biagio Marin)

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