In un triangolo, un segmento.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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In un triangolo, un segmento.

Messaggio da Bruno »

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(Bruno)

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Gianfranco
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Re: In un triangolo, un segmento.

Messaggio da Gianfranco »

Ci sono due coppie di triangoli simili, e bisogna ricordare una proprietà della bisettrice.
Con qualche passaggio algebrico si ricava che x=...
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Gianfranco

panurgo
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Re: In un triangolo, un segmento.

Messaggio da panurgo »

Io lascerei perdere le proprietà della bisettrice e mi concentrerei sulla seconda coppia – quella non evidente – di triangoli simili.
Cominciamo con la nomenclatura:
UnTriangoloUnSegmento.01.01.240x440.png
UnTriangoloUnSegmento.01.01.240x440.png (13.99 KiB) Visto 377 volte
dei vari segmenti abbiamo quelli dati, $a=4$, $b=5$ e $c=3$, e quelli incogniti, $x$, $y$, $z=?$ e $t$.
I triangoli $\text{BCD}$ e $\text{CED}$ sono simili perché hanno due angoli dati congruenti (e quindi anche il terzo): per scovare l’altra coppia di triangoli (quella evocata da Gianfranco) consideriamo il seguente teorema
UnTriangoloUnSegmento.01.05.240x440.png
UnTriangoloUnSegmento.01.05.240x440.png (9.83 KiB) Visto 377 volte
In un triangolo, l’angolo esterno al vertice è uguale alla somma degli angoli alla base. La dimostrazione è evidente: la somma degli angoli di un triangolo è uguale ad un angolo piatto quindi quello che manca ad un angolo piatto tolto l’angolo al vertice deve essere la somma degli altri due.
Ne consegue, dato che i triangoli $\text{ADC}$ e $\text{ADE}$ l’angolo in $\text{A}$ in comune e gli angoli in $\text{C}$ e in $\text{D}$, rispettivamente, congruenti e sono perciò simili
UnTriangoloUnSegmento.01.08.240x440.png
UnTriangoloUnSegmento.01.08.240x440.png (14.32 KiB) Visto 377 volte

Vale perciò le proporzioni $\text{AE}:\text{AD}=\text{AD}:\text{AC}$, ovvero $x=\sqrt{a\left(a+b\right)}$, e $\text{CD}:\text{AD}=\text{DE}:\text{AE}$, ovvero $z=\frac{cx}{a}$.
Qui avremmo finito ma approfittiamo degli altri due triangoli simili per trovare anche le altre incognite: $\text{DB}:\text{DE}=\text{DC}:\text{CE}$, ovvero $y=\frac{cz}{b}$, e $\text{BC}:\text{DC}=\text{DC}:\text{CE}$, ovvero $t=\frac{z^2}{b}$.
Raccogliamo il tutto

$
\left\{
\begin{array}{lC}
\displaystyle a=4 \\
\displaystyle b=5 \\
\displaystyle c=3 \\
\displaystyle x=\sqrt{a\left(a+b\right)}=6 \\
\displaystyle y=\frac{cz}{b}=\frac{27}{10} \\
\displaystyle z=\frac{cx}{a}=\frac92 \\
\displaystyle t=\frac{z^2}{b}=\frac{81}{20}
\end{array}
\right.
$

Osserviamo che questo è un risultato valido in generale: costruendo una bisettrice in un triangolo dato e trasportando uno degli altri angoli al piede della bisettrice stessa si costruiscono due coppie di triangoli simili. Cosa ce ne facciamo di questa generalità: niente.
Oppure qualcosa: per esempio, trovare dei triangoli con queste proprietà in cui tutti i segmenti siano numeri interi
UnTriangoloUnSegmento.04.480x480.png
UnTriangoloUnSegmento.04.480x480.png (18.72 KiB) Visto 377 volte
:wink:

P.S.: oppure
UnTriangoloUnSegmento.04.02.480x480.png
UnTriangoloUnSegmento.04.02.480x480.png (18.09 KiB) Visto 370 volte
Ultima modifica di panurgo il dom nov 15, 2020 9:07 am, modificato 1 volta in totale.
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Bruno
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Re: In un triangolo, un segmento.

Messaggio da Bruno »

Bravo, Guido, ottimo percorso :D

Chi ha inventato questo problema aveva forse in mente qualcosa del genere.
(Bruno)

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Gianfranco
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Re: In un triangolo, un segmento.

Messaggio da Gianfranco »

panurgo ha scritto:
sab nov 14, 2020 10:00 am
Io lascerei perdere le proprietà della bisettrice e mi concentrerei sulla seconda coppia – quella non evidente – di triangoli simili.
Panurgo, ottima soluzione sia per la generalizzazione, sia perché usa il minor numero possibile di proprietà. Uare anche la proprietà della bisettrice è troppo "scolastico". :D
Se non erro, t=81/20 (?)
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Gianfranco

panurgo
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Re: In un triangolo, un segmento.

Messaggio da panurgo »

Gianfranco ha scritto:
sab nov 14, 2020 10:49 pm
Se non erro, t=81/20 (?)
Non erri: è un refuso che provvedo a correggere, grazie.
il panurgo

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