Quindici biglie

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franco
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Quindici biglie

Messaggio da franco »

Iroxi possiede 15 biglie: 1 gialla, 2 rosse, 3 verdi, 4 azzurre e 5 viola
Le distribuisce nelle due tasche dei pantaloni in maniera tale che prendendone a caso 2 dalla tasca destra e 2 dalla sinistra la probabilità di estrarle tutte di colori diversi sia esattamente pari a 1/3.

1. Come ha distribuito le biglie nelle tasche?
2. C'è modo di distribuirle in maniera che la probabilità salga a un valore superiore a 1/2?



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Franco

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delfo52
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Re: Quindici biglie

Messaggio da delfo52 »

rispondo senza ragionare, ma solo a lume di naso.
io metterei in una tasca quella gialla e una rossa (e forse anche una verde; anzi ce la metto): così sono sicuro di estrarre sempre due diverse da quella tasca.
Nell'altra, rimangono 5 viola, 4 azzurre, 2 verdi e una rossa . con una forte probabilità che escano una viola e una azzurra. quanto forte? questo calcolatelo voi
Enrico

Pasquale
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Re: Quindici biglie

Messaggio da Pasquale »

Approfondendo, deduco che l'input di Enrico è molto vicino alla soluzione.
Per quanto mi riguarda, in prima battuta (mi perdonerà Franco) ho sostituito le 5 biglie viola con 5 Blu, per meglio lavorare con le sole iniziali dei colori, senza confondere il Verde con il Viola. Pertanto, abbiamo: 1G, 2R, 3V, 4A e 5B.

La strategia è stata quella di lavorare sulle varie combinazioni di colori distribuiti nelle tasche, fra cui, come ha fatto Enrico, quelle più semplici da esaminare ai fini del calcolo.

Quindi son partito con: 1Gialla ed una Rossa in una tasca, oltre la restante Rossa, 3 Verdi, 4 Azzurre e 5 Blu nell'altra tasca.
La scelta è caduta sul fatto che nella prima tasca certamente le palline sono diverse e certamente non v'è alcun calcolo da effettuare, il quale viene circoscritto alla situazione della seconda tasca.

Dunque, schematicamente:

1G + 1R / 1R + 3V + 4A + 5B

Calcolo delle probabilità di sortita nell'ambito della seconda tasca, di 2 colori diversi fra loro e da quelli della prima tasca, estraendo 2 palline, una alla volta,
annotando:
che la prima pallina possa essere Verde con probabilità 3/13, purché successivamente si verifichi che nella seconda estrazione venga estratta una qualsiasi fra le 4A o 5B nell'ambito delle 12 restanti dopo la prima estrazione;
oppure che la prima pallina possa essere Azzurra, con probabilità 4/13, purché la seconda venga estratta fra una delle 3V o 5B su 12;
oppure che la prima pallina sia BLU, con probabilità 5/13, purché la seconda venga estratta fra una delle 3V o 4A su 12.

In sintesi:

$p = \frac{3}{13} \cdot \frac{4+5}{12} + \frac{4}{13} \cdot \frac{3+5}{12}$ + $ \frac{5}{13} \cdot \frac{3+4}{12}$ = $\frac{47}{78} > \frac{1}{2}$ ( >60% )

Se invece vogliamo distribuire fra le due tasche:

1G + 1B / 2R + 3V + 4A + 4B, allora:

$p = \frac{2}{13} \cdot \frac{3+4}{12} + \frac{3}{13} \cdot \frac{2+4}{12} + \frac{4}{13} \cdot \frac{2+3}{12}$ = $\frac{26}{78} = \frac{1}{3}$

Altre diverse distribuzioni esaminate, ma non tutte le possibili, che comunque avrebbero complicato anche la situazione della prima tasca, non hanno dato i risultati richiesti.
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delfo52
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Re: Quindici biglie

Messaggio da delfo52 »

mi fa piacere che la mia intuizione sia risultata tutto sommato corretta.
Mi chiedo se mettere tre diverse nella prima tasca (G-R-V) possa migliorare il già buon 60% abbondante.
Dalla prima tasca estraggo sempre comunque due biglie diverse; e nella seconda le palline sono una in meno, per cui i vari denominatori dovrebbero essere più piccoli. mentre solo alcuni numeratori vengono ridotti. Come sempre, essendo "approssimativo" non approfondisco...
Enrico

Pasquale
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Re: Quindici biglie

Messaggio da Pasquale »

Sistemandone 3 nella prima tasca, è vero che 2 palline qualsiasi sono sempre valide, ma relativamente all'estrazione effettuata, abbiamo conseguenze diverse nell'altra tasca, con risultati probabilistici diversi.

Quindi, sistemando nella prima tasca i 3 colori 1G, 1R e 1V, nell''altra tasca restano sempre 1R, 2V, 4A, 5B(blu), ma alle tre estrazioni possibili di due palline dalla prima tasca, discendono 3 risultati diversi per quanto riguarda il calcolo della probabilità effettuato sugli eventi relativi alla seconda:

1) 1G + 1R / 1R + 2V + 4A + 5B; per la seconda tasca sono valide ai fini del calcolo della probabilità favorevole le seguenti valide estrazioni: 1V+(1A o 1B), o 1A+(1V o 1B), o 1B+(1V o 1A)
2) 1G + 1V / 1R + 2V + 4A + 5B; qui sono valide: 1R+(1A o 1B) o 1A+(1R o 1B) o 1B+(1R o 1A)
3) 1R + 1V / 1R + 2V + 4A + 5B; sono valide: 1A+1B o 1B+1A

Nel caso 1), la probabilità di estrarre 2 palline diverse fra loro ed anche da quelle già estratte dalla prima tasca si riferisce all'estrazione di una pallina V e poi di una qualsiasi fra le 4A e le 5B, oppure all'estrazione di una pallina A e poi di un'altra qualsiasi fra le le 2V e le 5B, oppure all'estrazione prima di una pallina B e poi di un'altra fra le 2V e 4A.
Tradotto in numeri: $p = \frac{2}{12} \cdot \frac{4+5}{11} +\frac{4}{12} \cdot \frac{2+5}{11} + \frac{5}{12} \cdot \frac{2+4}{11} = \frac{18+28+30}{132} = \frac{76}{132} = 0,575$

Per il caso 2), operando similmente si giunge a $p = \frac{1}{12} \cdot \frac{4+5}{11} + \frac{4}{12} \cdot \frac{1+5}{11} + \frac{5}{12} \cdot \frac{1+4}{11} = \frac{58}{132} = 0,439 $

Per il caso 3) risulta: $p = \frac{4}{12} \cdot \frac{5}{11} + \frac{5}{12} \cdot \frac{4}{11} = \frac{40}{132} = 0,303$

Da come si sviluppa il calcolo, salvo errori, si deduce che è meglio tenere nella prima tasca solo i 2 colori di minor presenza, sì da tenere nell'altra tasca numeri maggiori che contribuiscono nelle varie alternative in cui si sommano ad un risultato di maggior valore.

Per una verifica è sufficiente sistemare nella prima tasca 1 pallina Azzurra ed 1 Blu:

1A + 1B / 1G + 2R +3V + 3A + 4B in cui : $p = \frac{1}{13} \cdot \frac{2+3}{12} + \frac{2}{13} \cdot \frac{1+3}{12} + \frac{3}{13} \cdot \frac{1+2}{12} = \frac{22}{156} = 0,141$
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