Due triangoli simili
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Due triangoli simili
Due triangoli simili, a lati interi, hanno due lati uguali mentre la differenza degli altri due è $20141$: trovare tutti i lati.
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Re: Due triangoli simili A'B'C'
Pardon, non mi è chiaro il testo.
Indicando con ABC ed A'B'C' i due triangoli, possiamo dire ad esempio che AB=A'B' e BC = B'C' e che in tal caso la differenza 20141 si riferisce a quella fra AC ed A'C'' o viceversa? Oppure ho interpretato male?
Indicando con ABC ed A'B'C' i due triangoli, possiamo dire ad esempio che AB=A'B' e BC = B'C' e che in tal caso la differenza 20141 si riferisce a quella fra AC ed A'C'' o viceversa? Oppure ho interpretato male?
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Re: Due triangoli simili A'B'C'
Credo che si intenda una cosa così, con $d-c=20141$ Ma non è detto che la figura rispecchi la soluzione esatta, serve solo a dare l'idea.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Due triangoli simili A'B'C'
Due triangoli sono simili quando $\text{AB}:\text{A}^\prime\text{B}^\prime=\text{AC}:\text{A}^\prime\text{C}^\prime=\text{BC}:\text{B}^\prime\text{C}^\prime=k$. Questo significa che, se $\text{AB}=\text{A}^\prime\text{B}^\prime$ segue un rapporto di similitudine $k=1$ e i triangoli sono congruenti.
Invece, uno dei due triangoli e più grande e l'altro è più piccolo: evidentemente i due lati più corti del triangolo grande dovranno essere uguali ai due lati più lunghi del triangolo piccolo e la differenza è tra il lato più lungo del triangolo grande e il lato più corto di quello piccolo, come indicato nelle figure di Gianfranco.
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Re: Due triangoli simili
Va bene.
Dati i due triangoli simili ABC ed A'B'C', in cui AB:A'B' = BC:B'C' = AC:A'C' = 1,57894736842105..........
se:
AB = 27.000, BC = 17.100; AC = 10.830 e
A'B' = 17.100; B'C' = 10.830; A'C' = 6.859
notiamo che:
AB = A'C' + 20.141 = 27.000;
BC = A'B' = 17.100
AC = B'C' = 10.830
Aggiungo il procedimento semimatematico adottato, aggiungendo una figura solo indicativa, non conforme alle misure dei lati ed alle angolazioni dei due triangoli:
1) AB = A'C' + 20141 ; misure: $a_1 = c_2 + 20141$
2) BC = A'B '; misure: $b_1 = a_2$
3) AC = B'C': misure: $c_1 = b_2$
4)$ \frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac {AB}{A'B'} ]$; in numeri:$\frac{c_1}{c_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{a_1}{a_2}$
Sostituendo nella 4) i valori di cui alle 1), 2) e 3), si pervienne alla:
5)$ \frac{B'C'}{A'C'} = \frac{A'B'}{B'C'} = \frac {A'C'+20141}{A'B'}$; in numeri: $\frac{b_2}{c_2} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{c_2+20141}{a_2}$
Dall'ultima eguaglianza:
$a_2^2 =b_2 \cdot (c_2+20141)$ e quindi: $a_2 = \sqrt{b_2 \cdot (c_2+20141)}$
$a_2$ deve essere un intero e dunque ho chiesto una mano al Sign. Decimal:
FOR b2=1 TO 21000
FOR c2=1 TO 21000
LET ra=b2*(c2+20141) !'radicando
LET a2=SQR(ra)
IF a2=INT(a2) THEN
LET a1=c2+20141
LET b1=a2
LET c1=b2
LET r1=a1/a2
LET r2=b1/b2
LET r3=c1/c2
IF r1=r2 AND r1=r3 THEN PRINT a1;b1;c1;a2;b2;c2
END IF
NEXT C2
NEXT B2
PRINT "FINE"
END
Da cui si perviene all'unica soluzione :
$a_1 = 27.000$
$b_1 = 17.100$
$c_1 = 10.830$
$a_2 = 17.100$
$b_2 = 10.830$
$c_2 = 6.859$
Dati i due triangoli simili ABC ed A'B'C', in cui AB:A'B' = BC:B'C' = AC:A'C' = 1,57894736842105..........
se:
AB = 27.000, BC = 17.100; AC = 10.830 e
A'B' = 17.100; B'C' = 10.830; A'C' = 6.859
notiamo che:
AB = A'C' + 20.141 = 27.000;
BC = A'B' = 17.100
AC = B'C' = 10.830
Aggiungo il procedimento semimatematico adottato, aggiungendo una figura solo indicativa, non conforme alle misure dei lati ed alle angolazioni dei due triangoli:
1) AB = A'C' + 20141 ; misure: $a_1 = c_2 + 20141$
2) BC = A'B '; misure: $b_1 = a_2$
3) AC = B'C': misure: $c_1 = b_2$
4)$ \frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac {AB}{A'B'} ]$; in numeri:$\frac{c_1}{c_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{a_1}{a_2}$
Sostituendo nella 4) i valori di cui alle 1), 2) e 3), si pervienne alla:
5)$ \frac{B'C'}{A'C'} = \frac{A'B'}{B'C'} = \frac {A'C'+20141}{A'B'}$; in numeri: $\frac{b_2}{c_2} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{c_2+20141}{a_2}$
Dall'ultima eguaglianza:
$a_2^2 =b_2 \cdot (c_2+20141)$ e quindi: $a_2 = \sqrt{b_2 \cdot (c_2+20141)}$
$a_2$ deve essere un intero e dunque ho chiesto una mano al Sign. Decimal:
FOR b2=1 TO 21000
FOR c2=1 TO 21000
LET ra=b2*(c2+20141) !'radicando
LET a2=SQR(ra)
IF a2=INT(a2) THEN
LET a1=c2+20141
LET b1=a2
LET c1=b2
LET r1=a1/a2
LET r2=b1/b2
LET r3=c1/c2
IF r1=r2 AND r1=r3 THEN PRINT a1;b1;c1;a2;b2;c2
END IF
NEXT C2
NEXT B2
PRINT "FINE"
END
Da cui si perviene all'unica soluzione :
$a_1 = 27.000$
$b_1 = 17.100$
$c_1 = 10.830$
$a_2 = 17.100$
$b_2 = 10.830$
$c_2 = 6.859$
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Re: Due triangoli simili
Io lo ho risolto così...
In generale, il primo triangolo ha lati $a>b>c$; il secondo ha lati $ka>kb>kc$, dove $k>1$, la costante di proporzionalità, è un razionale perché $\left\{a,b,c,ka,kb,kc\right\}\in\mathbf{N}$ e, se $a$ e $ka$ sono interi allora $k$ non può essere irrazionale.
Poiché $ka>a$ deve essere $ka>a=kb>b=kc>c$, cioè
$\left\{\begin{array}{lC}
ka=c+20141 \\
kb=a \\
kc=b
\end{array}\right.$
Riscriviamo sostituendo
$\left\{\begin{array}{lC}
b=kc \\
a=k^2 c \\
ka=k^3 c=c+20141
\end{array}\right.$
da cui ricaviamo $\left(k^3-1\right)c=20141$.
Esplicitiamo che $k$ è razionale, cioè $k=p/q$: dal fatto che $k^3 c\in\mathbf{N}$ segue che $c$ deve essere proporzionale a $q^3$ e quindi $\left(k^3-1\right)c=\left(p^3-q^3\right)n=20141$, con $c=q^3n$.
Fattorizziamo entrambi i membri e otteniamo
$\displaystyle \left(p-q\right)\left(p^2+pq+q^2\right)n=11\cdot 1381$
Il termine a sinistra ha tre fattori, quello a destra due: uno dei tre fattori a sinistra deve essere uguale a $1$; il fattore più grande è $p^2+pq+q^2$ per cui deve essere $p^2+pq+q^2=1831$. Abbiamo dunque due possibilità
$\left\{\begin{array}{lC}
p-q=1 \\
n=11 \\
p^2+pq+q^2=1831
\end{array}\right.$
e
$\left\{\begin{array}{lC}
n=1 \\
p-q=11 \\
p^2+pq+q^2=1831
\end{array}\right.$
Dal primo set ricaviamo
$\left\{\begin{array}{lC}
p=q+1 \\
3q^2+3q-1830=0
\end{array}\right.$
ovvero
$\displaystyle q=\frac{\sqrt{2441}-1}2\notin\mathbf{N}$
Dal secondo set ricaviamo
$\left\{\begin{array}{lC}
p=q+11 \\
3q^2+33q-1710=0
\end{array}\right.$
ovvero
$\left\{\begin{array}{lC}
q=19 \\
p=30
\end{array}\right.$
Quindi, i lati sono
$\left\{\begin{array}{lC}
c=6859 \\
b=10830 \\
a=17100 \\
ka=27000
\end{array}\right.$
In generale, il primo triangolo ha lati $a>b>c$; il secondo ha lati $ka>kb>kc$, dove $k>1$, la costante di proporzionalità, è un razionale perché $\left\{a,b,c,ka,kb,kc\right\}\in\mathbf{N}$ e, se $a$ e $ka$ sono interi allora $k$ non può essere irrazionale.
Poiché $ka>a$ deve essere $ka>a=kb>b=kc>c$, cioè
$\left\{\begin{array}{lC}
ka=c+20141 \\
kb=a \\
kc=b
\end{array}\right.$
Riscriviamo sostituendo
$\left\{\begin{array}{lC}
b=kc \\
a=k^2 c \\
ka=k^3 c=c+20141
\end{array}\right.$
da cui ricaviamo $\left(k^3-1\right)c=20141$.
Esplicitiamo che $k$ è razionale, cioè $k=p/q$: dal fatto che $k^3 c\in\mathbf{N}$ segue che $c$ deve essere proporzionale a $q^3$ e quindi $\left(k^3-1\right)c=\left(p^3-q^3\right)n=20141$, con $c=q^3n$.
Fattorizziamo entrambi i membri e otteniamo
$\displaystyle \left(p-q\right)\left(p^2+pq+q^2\right)n=11\cdot 1381$
Il termine a sinistra ha tre fattori, quello a destra due: uno dei tre fattori a sinistra deve essere uguale a $1$; il fattore più grande è $p^2+pq+q^2$ per cui deve essere $p^2+pq+q^2=1831$. Abbiamo dunque due possibilità
$\left\{\begin{array}{lC}
p-q=1 \\
n=11 \\
p^2+pq+q^2=1831
\end{array}\right.$
e
$\left\{\begin{array}{lC}
n=1 \\
p-q=11 \\
p^2+pq+q^2=1831
\end{array}\right.$
Dal primo set ricaviamo
$\left\{\begin{array}{lC}
p=q+1 \\
3q^2+3q-1830=0
\end{array}\right.$
ovvero
$\displaystyle q=\frac{\sqrt{2441}-1}2\notin\mathbf{N}$
Dal secondo set ricaviamo
$\left\{\begin{array}{lC}
p=q+11 \\
3q^2+33q-1710=0
\end{array}\right.$
ovvero
$\left\{\begin{array}{lC}
q=19 \\
p=30
\end{array}\right.$
Quindi, i lati sono
$\left\{\begin{array}{lC}
c=6859 \\
b=10830 \\
a=17100 \\
ka=27000
\end{array}\right.$
Ultima modifica di panurgo il lun nov 09, 2020 11:02 pm, modificato 1 volta in totale.
il panurgo
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Re: Due triangoli simili
un pianeta, sul quale non sapevo come giungere.
Approfitto per precisare meglio il valore del k, avendolo fatto malamente più su con dei semplici puntini sospensivi.
Infatti, trattasi di k=30/19, numero chiaramente razionale con periodo 578947368421052631578947368421052631, in accordo dunque con l'impostazione di base che ha condotto alla meravigliosa costruzione, qua sopra puntualmente esposta.
Ringrazio il Maestro.
Approfitto per precisare meglio il valore del k, avendolo fatto malamente più su con dei semplici puntini sospensivi.
Infatti, trattasi di k=30/19, numero chiaramente razionale con periodo 578947368421052631578947368421052631, in accordo dunque con l'impostazione di base che ha condotto alla meravigliosa costruzione, qua sopra puntualmente esposta.
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Re: Due triangoli simili
Bene, Guido, questo è l'approccio più naturale anche per me.
Nei tuoi passi iniziali hai presentato puntualmente le variabili adottate, ma qui (k³-1)·c = (p³-q³)·n = 20141 ne viede indicata una, la n, che passa per scontata, mentre descrivendola (come è stato fatto per le altre lettere) ci permetterebbe meglio di far comprendere che p²+p·q+q² è il fattore più grande.
Almeno così mi sembra
Nei tuoi passi iniziali hai presentato puntualmente le variabili adottate, ma qui (k³-1)·c = (p³-q³)·n = 20141 ne viede indicata una, la n, che passa per scontata, mentre descrivendola (come è stato fatto per le altre lettere) ci permetterebbe meglio di far comprendere che p²+p·q+q² è il fattore più grande.
Almeno così mi sembra
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Re: Due triangoli simili
Ringrazio Bruno per aver espresso anche le mie necessità di chiarimento.Bruno ha scritto: ↑lun nov 09, 2020 2:35 pmBene, Guido, questo è l'approccio più naturale anche per me.
Nei tuoi passi iniziali hai presentato puntualmente le variabili adottate, ma qui (k³-1)·c = (p³-q³)·n = 20141 ne viede indicata una, la n, che passa per scontata, mentre descrivendola (come è stato fatto per le altre lettere) ci permetterebbe meglio di far comprendere che p²+p·q+q² è il fattore più grande.
Almeno così mi sembra
Ero arrivato abbastanza facilmente anche io a (k³-1)·c = 20141 = 11·1831 ma poi non ero stato in grado di andare avanti e la spiegazione di Guido è troppo sintetica per le mie capacità
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
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See also wizard, magician
Re: Due triangoli simili
$c=q^3n$
il panurgo
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Re: Due triangoli simili
Un po' meglio
(Bruno)
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