Due triangoli simili

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panurgo
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Due triangoli simili

Messaggio da panurgo »

Due triangoli simili, a lati interi, hanno due lati uguali mentre la differenza degli altri due è $20141$: trovare tutti i lati.
il panurgo

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Pasquale
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Re: Due triangoli simili A'B'C'

Messaggio da Pasquale »

Pardon, non mi è chiaro il testo.
Indicando con ABC ed A'B'C' i due triangoli, possiamo dire ad esempio che AB=A'B' e BC = B'C' e che in tal caso la differenza 20141 si riferisce a quella fra AC ed A'C'' o viceversa? Oppure ho interpretato male?
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Gianfranco
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Re: Due triangoli simili A'B'C'

Messaggio da Gianfranco »

Pasquale ha scritto:
mar nov 03, 2020 12:35 am
Pardon, non mi è chiaro il testo.
Credo che si intenda una cosa così, con $d-c=20141$
triangoli_simili.png
triangoli_simili.png (7.85 KiB) Visto 670 volte
Ma non è detto che la figura rispecchi la soluzione esatta, serve solo a dare l'idea.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

panurgo
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Re: Due triangoli simili A'B'C'

Messaggio da panurgo »

Pasquale ha scritto:
mar nov 03, 2020 12:35 am
Pardon, non mi è chiaro il testo.
Indicando con ABC ed A'B'C' i due triangoli, possiamo dire ad esempio che AB=A'B' e BC = B'C' e che in tal caso la differenza 20141 si riferisce a quella fra AC ed A'C'' o viceversa? Oppure ho interpretato male?
Due triangoli sono simili quando $\text{AB}:\text{A}^\prime\text{B}^\prime=\text{AC}:\text{A}^\prime\text{C}^\prime=\text{BC}:\text{B}^\prime\text{C}^\prime=k$. Questo significa che, se $\text{AB}=\text{A}^\prime\text{B}^\prime$ segue un rapporto di similitudine $k=1$ e i triangoli sono congruenti.

Invece, uno dei due triangoli e più grande e l'altro è più piccolo: evidentemente i due lati più corti del triangolo grande dovranno essere uguali ai due lati più lunghi del triangolo piccolo e la differenza è tra il lato più lungo del triangolo grande e il lato più corto di quello piccolo, come indicato nelle figure di Gianfranco.
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Pasquale
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Re: Due triangoli simili

Messaggio da Pasquale »

Va bene.

Dati i due triangoli simili ABC ed A'B'C', in cui AB:A'B' = BC:B'C' = AC:A'C' = 1,57894736842105..........

se:
AB = 27.000, BC = 17.100; AC = 10.830 e
A'B' = 17.100; B'C' = 10.830; A'C' = 6.859

notiamo che:
AB = A'C' + 20.141 = 27.000;
BC = A'B' = 17.100
AC = B'C' = 10.830

Aggiungo il procedimento semimatematico adottato, aggiungendo una figura solo indicativa, non conforme alle misure dei lati ed alle angolazioni dei due triangoli:
2triangoli.jpg
2triangoli.jpg (8.88 KiB) Visto 600 volte
1) AB = A'C' + 20141 ; misure: $a_1 = c_2 + 20141$
2) BC = A'B '; misure: $b_1 = a_2$
3) AC = B'C': misure: $c_1 = b_2$
4)$ \frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac {AB}{A'B'} ]$; in numeri:$\frac{c_1}{c_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{a_1}{a_2}$

Sostituendo nella 4) i valori di cui alle 1), 2) e 3), si pervienne alla:

5)$ \frac{B'C'}{A'C'} = \frac{A'B'}{B'C'} = \frac {A'C'+20141}{A'B'}$; in numeri: $\frac{b_2}{c_2} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{c_2+20141}{a_2}$

Dall'ultima eguaglianza:

$a_2^2 =b_2 \cdot (c_2+20141)$ e quindi: $a_2 = \sqrt{b_2 \cdot (c_2+20141)}$

$a_2$ deve essere un intero e dunque ho chiesto una mano al Sign. Decimal:

FOR b2=1 TO 21000
FOR c2=1 TO 21000
LET ra=b2*(c2+20141) !'radicando
LET a2=SQR(ra)
IF a2=INT(a2) THEN
LET a1=c2+20141
LET b1=a2
LET c1=b2
LET r1=a1/a2
LET r2=b1/b2
LET r3=c1/c2
IF r1=r2 AND r1=r3 THEN PRINT a1;b1;c1;a2;b2;c2
END IF
NEXT C2
NEXT B2
PRINT "FINE"
END

Da cui si perviene all'unica soluzione :

$a_1 = 27.000$
$b_1 = 17.100$
$c_1 = 10.830$
$a_2 = 17.100$
$b_2 = 10.830$
$c_2 = 6.859$
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panurgo
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Re: Due triangoli simili

Messaggio da panurgo »

Io lo ho risolto così...

In generale, il primo triangolo ha lati $a>b>c$; il secondo ha lati $ka>kb>kc$, dove $k>1$, la costante di proporzionalità, è un razionale perché $\left\{a,b,c,ka,kb,kc\right\}\in\mathbf{N}$ e, se $a$ e $ka$ sono interi allora $k$ non può essere irrazionale.
Poiché $ka>a$ deve essere $ka>a=kb>b=kc>c$, cioè

$\left\{\begin{array}{lC}
ka=c+20141 \\
kb=a \\
kc=b
\end{array}\right.$

Riscriviamo sostituendo

$\left\{\begin{array}{lC}
b=kc \\
a=k^2 c \\
ka=k^3 c=c+20141
\end{array}\right.$

da cui ricaviamo $\left(k^3-1\right)c=20141$.
Esplicitiamo che $k$ è razionale, cioè $k=p/q$: dal fatto che $k^3 c\in\mathbf{N}$ segue che $c$ deve essere proporzionale a $q^3$ e quindi $\left(k^3-1\right)c=\left(p^3-q^3\right)n=20141$, con $c=q^3n$.
Fattorizziamo entrambi i membri e otteniamo

$\displaystyle \left(p-q\right)\left(p^2+pq+q^2\right)n=11\cdot 1381$

Il termine a sinistra ha tre fattori, quello a destra due: uno dei tre fattori a sinistra deve essere uguale a $1$; il fattore più grande è $p^2+pq+q^2$ per cui deve essere $p^2+pq+q^2=1831$. Abbiamo dunque due possibilità

$\left\{\begin{array}{lC}
p-q=1 \\
n=11 \\
p^2+pq+q^2=1831
\end{array}\right.$

e

$\left\{\begin{array}{lC}
n=1 \\
p-q=11 \\
p^2+pq+q^2=1831
\end{array}\right.$

Dal primo set ricaviamo

$\left\{\begin{array}{lC}
p=q+1 \\
3q^2+3q-1830=0
\end{array}\right.$

ovvero

$\displaystyle q=\frac{\sqrt{2441}-1}2\notin\mathbf{N}$

Dal secondo set ricaviamo

$\left\{\begin{array}{lC}
p=q+11 \\
3q^2+33q-1710=0
\end{array}\right.$

ovvero

$\left\{\begin{array}{lC}
q=19 \\
p=30
\end{array}\right.$

Quindi, i lati sono

$\left\{\begin{array}{lC}
c=6859 \\
b=10830 \\
a=17100 \\
ka=27000
\end{array}\right.$
Ultima modifica di panurgo il lun nov 09, 2020 11:02 pm, modificato 1 volta in totale.
il panurgo

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Re: Due triangoli simili

Messaggio da Pasquale »

:shock: un pianeta, sul quale non sapevo come giungere.

Approfitto per precisare meglio il valore del k, avendolo fatto malamente più su con dei semplici puntini sospensivi.
Infatti, trattasi di k=30/19, numero chiaramente razionale con periodo 578947368421052631578947368421052631, in accordo dunque con l'impostazione di base che ha condotto alla meravigliosa costruzione, qua sopra puntualmente esposta.

Ringrazio il Maestro.
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Re: Due triangoli simili

Messaggio da Bruno »

Bene, Guido, questo è l'approccio più naturale anche per me.
Nei tuoi passi iniziali hai presentato puntualmente le variabili adottate, ma qui (k³-1)·c = (p³-q³)·n = 20141 ne viede indicata una, la n, che passa per scontata, mentre descrivendola (come è stato fatto per le altre lettere) ci permetterebbe meglio di far comprendere che p²+p·q+q² è il fattore più grande.
Almeno così mi sembra :wink:
(Bruno)

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Re: Due triangoli simili

Messaggio da franco »

Bruno ha scritto:
lun nov 09, 2020 2:35 pm
Bene, Guido, questo è l'approccio più naturale anche per me.
Nei tuoi passi iniziali hai presentato puntualmente le variabili adottate, ma qui (k³-1)·c = (p³-q³)·n = 20141 ne viede indicata una, la n, che passa per scontata, mentre descrivendola (come è stato fatto per le altre lettere) ci permetterebbe meglio di far comprendere che p²+p·q+q² è il fattore più grande.
Almeno così mi sembra :wink:
Ringrazio Bruno per aver espresso anche le mie necessità di chiarimento.
Ero arrivato abbastanza facilmente anche io a (k³-1)·c = 20141 = 11·1831 ma poi non ero stato in grado di andare avanti e la spiegazione di Guido è troppo sintetica per le mie capacità :)
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Re: Due triangoli simili

Messaggio da panurgo »

panurgo ha scritto:
dom nov 08, 2020 10:39 pm
[...] dal fatto che $k^3 c\in\mathbf{N}$ segue che $c$ deve essere proporzionale a $q^3$ [...]
$c=q^3n$
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Re: Due triangoli simili

Messaggio da Bruno »

Un po' meglio :wink:
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