Navigando qua e là.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

Pasquale
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Re: Navigando qua e là.

Messaggio da Pasquale »

D )

Assimilando il concetto della scorciatoia a quello della sintesi, nel senso che chi si contenta gode, direi che:


$a^2 + b^2 = 4,6855...$
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Bruno
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Re: Navigando qua e là.

Messaggio da Bruno »

Caro e sintetico Pasquale :D quasi.
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Pasquale
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Re: Navigando qua e là.

Messaggio da Pasquale »

Quasi il risultato o il sintetico? :?:
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Bruno
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Re: Navigando qua e là.

Messaggio da Bruno »

Naturalmente, il risultato :D ...riguardo al "sintetico", nulla da aggiungere, anzi: tanto da aggiungere :mrgreen:
(Bruno)

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Pasquale
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Re: Navigando qua e là.

Messaggio da Pasquale »

Giusto, correggo il tiro con:
$a^2+b^2 = 4,6831305981$.......

A breve piazzerò qui sotto la giustificazione meno sintetica. :D
Eccoci:

1) $a^4 + b^4 - 6a^2b^2 = 15$
2) $a^3b - b^3a = 4$

Dalla 2):

$ab(a^2 - b^2) = 4$
$a^2b^2(a^2-b^2)^2 = 16$
$a^2b^2(a^4 - 2a^2b^2 + b^4) =16$
$a^4 - 2a^2b^2 + b^4 = \frac{16}{a^2b^2}$

3) $a^4 + b^4 = \frac{2a^4b^4 + 16}{a^2b^2}$

Dunque, confrontando la 1) con la 3). si ottiene:

$6a^2b^2 + 15 = \frac{2a^4b^4 + 16}{a^2b^2}$ e quindi: $6a^4b^4 + 15a^2b^2 = 2a^4b^4 + 16$, da cui:

4) $4a^4b^4 + 15a^2b^2 - 16 = 0$ e, ponendo $x = a^2b^2$ :

5) $4x^2 + 15x -16 = 0$, da cui : $x = \frac{-15 + \sqrt{481}}{8}$

Tornando alla 1) $a^4 + b^4 - 6a^2b^2 = 15$, ovvero: $a^4 + b^4 = 6a^2b^2 + 15$, pongo nella stessa:

$a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2$, da cui discende che: $(a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2 = 6a^2b^2 + 15$ e $(a^2 + b^2)^2 = 8a^2b^2 + 15$

quindi: $a^2 + b^2 = \sqrt{8x + 15} = 4.68313059816414993991....$, calcolato con Decimal Basic in doppia precisione
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panurgo
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Re: Navigando qua e là.

Messaggio da panurgo »

Partendo dal sistema

$\left\{\begin{array}{lC}
a^4+b^4-6a^2 b^2=15 \\
a^3 b-a b^3=4
\end{array}\right.$

riarrangiamo scrivendo

$\left\{\begin{array}{lC}
(a^2-b^2)^2=4a^2 b^2+15 \\
a b\left(a^2-b^2\right)=4
\end{array}\right.$

e, elevando al quadrato la seconda equazione e sostituendo

$\displaystyle a^2 b^2\left(4a^2 b^2+15\right)=16$

Effettuiamo sostituzione $t=a^2 b^2$ e otteniamo l’equazione di secondo grado

$\displaystyle 4t^2+15t-16=0$

della quale consideriamo la soluzione positiva

$\displaystyle t=\frac{\sqrt{481}-15}8$

Ancora dalla seconda equazione ricaviamo

$\displaystyle a^2-b^2=\frac4{\sqrt{t}}$

e, considerato che $a^2=t/b^2$, otteniamo l’equazione di secondo grado in $b^2$

$\displaystyle \sqrt{t} b^4+4b^2-t\sqrt{t}=0$

Anche di questa equazione consideriamo la soluzione positiva

$\displaystyle b^2=\frac{\sqrt{4+t^2}-2}{\sqrt{t}}$

Ma

$\displaystyle a^2=b^2 + \frac4{\sqrt{t}}=\frac{\sqrt{4+t^2}-2}{\sqrt{t}} + \frac4{\sqrt{t}}=\frac{\sqrt{4+t^2}+2}{\sqrt{t}}$

quindi

$\displaystyle a^2+b^2 =\frac{\sqrt{4+t^2}+2}{\sqrt{t}}+\frac{\sqrt{4+t^2}-2}{\sqrt{t}} =\frac{2\sqrt{4+t^2}}{\sqrt{t}} $

Sostituendo il valore di $t$ e semplificando si ottiene

$\displaystyle a^2+b^2 = \sqrt[4]{481}=4,6831305981641499399117468828439\ldots$
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Bruno
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Re: Navigando qua e là.

Messaggio da Bruno »

Ottimo :D
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