D )
Assimilando il concetto della scorciatoia a quello della sintesi, nel senso che chi si contenta gode, direi che:
$a^2 + b^2 = 4,6855...$
Navigando qua e là.
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Re: Navigando qua e là.
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
Re: Navigando qua e là.
Caro e sintetico Pasquale quasi.
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Re: Navigando qua e là.
Quasi il risultato o il sintetico?
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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Re: Navigando qua e là.
Naturalmente, il risultato ...riguardo al "sintetico", nulla da aggiungere, anzi: tanto da aggiungere
(Bruno)
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Re: Navigando qua e là.
Giusto, correggo il tiro con:
$a^2+b^2 = 4,6831305981$.......
A breve piazzerò qui sotto la giustificazione meno sintetica.
Eccoci:
1) $a^4 + b^4 - 6a^2b^2 = 15$
2) $a^3b - b^3a = 4$
Dalla 2):
$ab(a^2 - b^2) = 4$
$a^2b^2(a^2-b^2)^2 = 16$
$a^2b^2(a^4 - 2a^2b^2 + b^4) =16$
$a^4 - 2a^2b^2 + b^4 = \frac{16}{a^2b^2}$
3) $a^4 + b^4 = \frac{2a^4b^4 + 16}{a^2b^2}$
Dunque, confrontando la 1) con la 3). si ottiene:
$6a^2b^2 + 15 = \frac{2a^4b^4 + 16}{a^2b^2}$ e quindi: $6a^4b^4 + 15a^2b^2 = 2a^4b^4 + 16$, da cui:
4) $4a^4b^4 + 15a^2b^2 - 16 = 0$ e, ponendo $x = a^2b^2$ :
5) $4x^2 + 15x -16 = 0$, da cui : $x = \frac{-15 + \sqrt{481}}{8}$
Tornando alla 1) $a^4 + b^4 - 6a^2b^2 = 15$, ovvero: $a^4 + b^4 = 6a^2b^2 + 15$, pongo nella stessa:
$a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2$, da cui discende che: $(a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2 = 6a^2b^2 + 15$ e $(a^2 + b^2)^2 = 8a^2b^2 + 15$
quindi: $a^2 + b^2 = \sqrt{8x + 15} = 4.68313059816414993991....$, calcolato con Decimal Basic in doppia precisione
$a^2+b^2 = 4,6831305981$.......
A breve piazzerò qui sotto la giustificazione meno sintetica.
Eccoci:
1) $a^4 + b^4 - 6a^2b^2 = 15$
2) $a^3b - b^3a = 4$
Dalla 2):
$ab(a^2 - b^2) = 4$
$a^2b^2(a^2-b^2)^2 = 16$
$a^2b^2(a^4 - 2a^2b^2 + b^4) =16$
$a^4 - 2a^2b^2 + b^4 = \frac{16}{a^2b^2}$
3) $a^4 + b^4 = \frac{2a^4b^4 + 16}{a^2b^2}$
Dunque, confrontando la 1) con la 3). si ottiene:
$6a^2b^2 + 15 = \frac{2a^4b^4 + 16}{a^2b^2}$ e quindi: $6a^4b^4 + 15a^2b^2 = 2a^4b^4 + 16$, da cui:
4) $4a^4b^4 + 15a^2b^2 - 16 = 0$ e, ponendo $x = a^2b^2$ :
5) $4x^2 + 15x -16 = 0$, da cui : $x = \frac{-15 + \sqrt{481}}{8}$
Tornando alla 1) $a^4 + b^4 - 6a^2b^2 = 15$, ovvero: $a^4 + b^4 = 6a^2b^2 + 15$, pongo nella stessa:
$a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2$, da cui discende che: $(a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2 = 6a^2b^2 + 15$ e $(a^2 + b^2)^2 = 8a^2b^2 + 15$
quindi: $a^2 + b^2 = \sqrt{8x + 15} = 4.68313059816414993991....$, calcolato con Decimal Basic in doppia precisione
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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E' la somma che fa il totale (Totò)
Re: Navigando qua e là.
Partendo dal sistema
$\left\{\begin{array}{lC}
a^4+b^4-6a^2 b^2=15 \\
a^3 b-a b^3=4
\end{array}\right.$
riarrangiamo scrivendo
$\left\{\begin{array}{lC}
(a^2-b^2)^2=4a^2 b^2+15 \\
a b\left(a^2-b^2\right)=4
\end{array}\right.$
e, elevando al quadrato la seconda equazione e sostituendo
$\displaystyle a^2 b^2\left(4a^2 b^2+15\right)=16$
Effettuiamo sostituzione $t=a^2 b^2$ e otteniamo l’equazione di secondo grado
$\displaystyle 4t^2+15t-16=0$
della quale consideriamo la soluzione positiva
$\displaystyle t=\frac{\sqrt{481}-15}8$
Ancora dalla seconda equazione ricaviamo
$\displaystyle a^2-b^2=\frac4{\sqrt{t}}$
e, considerato che $a^2=t/b^2$, otteniamo l’equazione di secondo grado in $b^2$
$\displaystyle \sqrt{t} b^4+4b^2-t\sqrt{t}=0$
Anche di questa equazione consideriamo la soluzione positiva
$\displaystyle b^2=\frac{\sqrt{4+t^2}-2}{\sqrt{t}}$
Ma
$\displaystyle a^2=b^2 + \frac4{\sqrt{t}}=\frac{\sqrt{4+t^2}-2}{\sqrt{t}} + \frac4{\sqrt{t}}=\frac{\sqrt{4+t^2}+2}{\sqrt{t}}$
quindi
$\displaystyle a^2+b^2 =\frac{\sqrt{4+t^2}+2}{\sqrt{t}}+\frac{\sqrt{4+t^2}-2}{\sqrt{t}} =\frac{2\sqrt{4+t^2}}{\sqrt{t}} $
Sostituendo il valore di $t$ e semplificando si ottiene
$\displaystyle a^2+b^2 = \sqrt[4]{481}=4,6831305981641499399117468828439\ldots$
$\left\{\begin{array}{lC}
a^4+b^4-6a^2 b^2=15 \\
a^3 b-a b^3=4
\end{array}\right.$
riarrangiamo scrivendo
$\left\{\begin{array}{lC}
(a^2-b^2)^2=4a^2 b^2+15 \\
a b\left(a^2-b^2\right)=4
\end{array}\right.$
e, elevando al quadrato la seconda equazione e sostituendo
$\displaystyle a^2 b^2\left(4a^2 b^2+15\right)=16$
Effettuiamo sostituzione $t=a^2 b^2$ e otteniamo l’equazione di secondo grado
$\displaystyle 4t^2+15t-16=0$
della quale consideriamo la soluzione positiva
$\displaystyle t=\frac{\sqrt{481}-15}8$
Ancora dalla seconda equazione ricaviamo
$\displaystyle a^2-b^2=\frac4{\sqrt{t}}$
e, considerato che $a^2=t/b^2$, otteniamo l’equazione di secondo grado in $b^2$
$\displaystyle \sqrt{t} b^4+4b^2-t\sqrt{t}=0$
Anche di questa equazione consideriamo la soluzione positiva
$\displaystyle b^2=\frac{\sqrt{4+t^2}-2}{\sqrt{t}}$
Ma
$\displaystyle a^2=b^2 + \frac4{\sqrt{t}}=\frac{\sqrt{4+t^2}-2}{\sqrt{t}} + \frac4{\sqrt{t}}=\frac{\sqrt{4+t^2}+2}{\sqrt{t}}$
quindi
$\displaystyle a^2+b^2 =\frac{\sqrt{4+t^2}+2}{\sqrt{t}}+\frac{\sqrt{4+t^2}-2}{\sqrt{t}} =\frac{2\sqrt{4+t^2}}{\sqrt{t}} $
Sostituendo il valore di $t$ e semplificando si ottiene
$\displaystyle a^2+b^2 = \sqrt[4]{481}=4,6831305981641499399117468828439\ldots$
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Re: Navigando qua e là.
Ottimo
(Bruno)
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