Intermezzi.

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Bruno
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Intermezzi.

Messaggio da Bruno »

B5 - Intermezzi.jpg
B5 - Intermezzi.jpg (15.55 KiB) Visto 454 volte



♦♦♦ ˅˄˅ : ☼ : ˄˅˄ : ☼ : ˄˅˄ : ☼ : ˅˄˅ ♦♦♦



Quali sono le due cifre terminali della seguente potenza?

$\LARGE 2^{2^{2222222}}$
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
(Biagio Marin)

delfo52
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Re: Intermezzi.

Messaggio da delfo52 »

se il segno tra AC e CD vale UGUALE, il conto non è difficile.
Enrico

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Re: Intermezzi.

Messaggio da Bruno »

Congruente, sì.

Quindi?

In particolare: come?
Invisibile un vento
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sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
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Gianfranco
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Re: Intermezzi.

Messaggio da Gianfranco »

$DE=\sqrt{(5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cdot(4/5))}=4,24$ circa.


In sintesi estrema:
$2^{222...} = 4 \mod 100$

$2^{2^{222...}} = 2^4 = 16 \mod 100$
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Intermezzi.

Messaggio da Bruno »

Gianfranco ha scritto:
mar set 29, 2020 5:10 pm
$DE=\sqrt{(5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cdot(4/5))}=4,24$ circa.
Gianfranco, so che tu puoi fare a meno della trigonometria ed essere agile come una gazzella :D


Gianfranco ha scritto:
mar set 29, 2020 5:10 pm
In sintesi estrema:
Estremissima :mrgreen:
Invisibile un vento
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Gianfranco
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Re: Intermezzi.

Messaggio da Gianfranco »

Non usando la trigonometria si può dire che il risultato è:
$DE=3\cdot \sqrt{2}$
Non riporto la costruzione.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Intermezzi.

Messaggio da Bruno »

Ottimo :D

Naturalmente è interessante dire come arrivarci :wink:
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
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e la bola iridessente gera 'ndagia.
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delfo52
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Re: Intermezzi.

Messaggio da delfo52 »

la mia strada, usando solo pitagora e niente trigonometria.
il triangolo ABC è pitagorico coi lati 3-4-5
gli angoli opposti in C sono uguali
su CE prendo H, tale che CH = 4
il triangolo CHD è speculare a ABC, e quindi DH= 3
HE= 3 per costruzione (7-4)
il triangolo DHE è rettangolo perché CHD è retto e quindi lo è anche DHE
DE=radice di 18
che, guarda caso è uguale a 3volte radice di 2
Enrico

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Re: Intermezzi.

Messaggio da Bruno »

Ottimo, Enrico, e grazie :D

Il 'trucco' sta proprio nella tua costruzione e nell'osservare che DHE è la metà di un quadrato con diagonale in DE.

Sono certo che l'abbia pensata così anche Gianfranco.
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Re: Intermezzi.

Messaggio da Gianfranco »

delfo52 ha scritto:
mer set 30, 2020 8:53 am
la mia strada, usando solo pitagora e niente trigonometria.
il triangolo ABC è pitagorico coi lati 3-4-5
gli angoli opposti in C sono uguali
su CE prendo H, tale che CH = 4
il triangolo CHD è speculare a ABC, e quindi DH= 3
HE= 3 per costruzione (7-4)
il triangolo DHE è rettangolo perché CHD è retto e quindi lo è anche DHE
DE=radice di 18
che, guarda caso è uguale a 3volte radice di 2
Enrico, ottima soluzione che usa le simmetrie. Molto moderna, direbbe Coxeter.

Io ho tracciato la perpendicolare DH da D a CE, ottenendo due triangoli congruenti ABC e CHD.
intermezzo.png
intermezzo.png (40.87 KiB) Visto 382 volte
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Intermezzi.

Messaggio da Bruno »

Perfetto.
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Re: Intermezzi.

Messaggio da Bruno »

Gianfranco ha scritto:
mar set 29, 2020 5:10 pm
In sintesi estrema:
$2^{222...} = 4 \mod 100$

$2^{2^{222...}} = 2^4 = 16 \mod 100$

Sarò meno sintetico e più artigianale, spiego passo passo quello che ho visto e fatto :D

Osservo che:
76·76 = 5776 = 57·100+76
76·76·76 = 438976 = 4389·100+76
...
76ᵐ = q·100+76
per un certo q, ossia:
76ᵐ ≡ 76 (mod 100).
Ora:
16⁵ = 1048576 ≡ 76 (mod 100)
e:
16⁵ᵗ ≡ 76ᵗ ≡ 76 (mod 100),
cioè:
16⁵ᵗ⁺¹ ≡ 76·16 ≡ 16 (mod 100).
Pertanto:
2⁴ᵏ = 16ᵏ ≡ 16 (mod 100) quando k ≡ 1 (mod 5).
Allora, più in particolare, poiché il numero 2²²²²²²² è del tipo 4·k:
2²²²²²²² = 4¹¹¹¹¹¹¹ = 4·4¹¹¹¹¹¹⁰,
dove 4¹¹¹¹¹¹⁰ = (5-1)¹¹¹¹¹¹⁰ ≡ 1 (mod 5),
concludo che la potenza data termina con 16 :wink:
Naturalmente, potrei 'allungare' l'esponente 222222··· a piacere.
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