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Intermezzi.

Messaggio da Bruno »

B5 - Intermezzi.jpg
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♦♦♦ ˅˄˅ : ☼ : ˄˅˄ : ☼ : ˄˅˄ : ☼ : ˅˄˅ ♦♦♦



Quali sono le due cifre terminali della seguente potenza?

$\LARGE 2^{2^{2222222}}$
(Bruno)

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l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
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Re: Intermezzi.

Messaggio da delfo52 »

se il segno tra AC e CD vale UGUALE, il conto non è difficile.
Enrico

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Re: Intermezzi.

Messaggio da Bruno »

Congruente, sì.

Quindi?

In particolare: come?
(Bruno)

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Re: Intermezzi.

Messaggio da Gianfranco »

$DE=\sqrt{(5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cdot(4/5))}=4,24$ circa.


In sintesi estrema:
$2^{222...} = 4 \mod 100$

$2^{2^{222...}} = 2^4 = 16 \mod 100$
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Intermezzi.

Messaggio da Bruno »

Gianfranco ha scritto:
mar set 29, 2020 5:10 pm
$DE=\sqrt{(5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cdot(4/5))}=4,24$ circa.
Gianfranco, so che tu puoi fare a meno della trigonometria ed essere agile come una gazzella :D


Gianfranco ha scritto:
mar set 29, 2020 5:10 pm
In sintesi estrema:
Estremissima :mrgreen:
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Re: Intermezzi.

Messaggio da Gianfranco »

Non usando la trigonometria si può dire che il risultato è:
$DE=3\cdot \sqrt{2}$
Non riporto la costruzione.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Intermezzi.

Messaggio da Bruno »

Ottimo :D

Naturalmente è interessante dire come arrivarci :wink:
(Bruno)

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Re: Intermezzi.

Messaggio da delfo52 »

la mia strada, usando solo pitagora e niente trigonometria.
il triangolo ABC è pitagorico coi lati 3-4-5
gli angoli opposti in C sono uguali
su CE prendo H, tale che CH = 4
il triangolo CHD è speculare a ABC, e quindi DH= 3
HE= 3 per costruzione (7-4)
il triangolo DHE è rettangolo perché CHD è retto e quindi lo è anche DHE
DE=radice di 18
che, guarda caso è uguale a 3volte radice di 2
Enrico

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Re: Intermezzi.

Messaggio da Bruno »

Ottimo, Enrico, e grazie :D

Il 'trucco' sta proprio nella tua costruzione e nell'osservare che DHE è la metà di un quadrato con diagonale in DE.

Sono certo che l'abbia pensata così anche Gianfranco.
(Bruno)

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Re: Intermezzi.

Messaggio da Gianfranco »

delfo52 ha scritto:
mer set 30, 2020 8:53 am
la mia strada, usando solo pitagora e niente trigonometria.
il triangolo ABC è pitagorico coi lati 3-4-5
gli angoli opposti in C sono uguali
su CE prendo H, tale che CH = 4
il triangolo CHD è speculare a ABC, e quindi DH= 3
HE= 3 per costruzione (7-4)
il triangolo DHE è rettangolo perché CHD è retto e quindi lo è anche DHE
DE=radice di 18
che, guarda caso è uguale a 3volte radice di 2
Enrico, ottima soluzione che usa le simmetrie. Molto moderna, direbbe Coxeter.

Io ho tracciato la perpendicolare DH da D a CE, ottenendo due triangoli congruenti ABC e CHD.
intermezzo.png
intermezzo.png (40.87 KiB) Visto 1144 volte
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Re: Intermezzi.

Messaggio da Bruno »

Perfetto.
(Bruno)

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Re: Intermezzi.

Messaggio da Bruno »

Gianfranco ha scritto:
mar set 29, 2020 5:10 pm
In sintesi estrema:
$2^{222...} = 4 \mod 100$

$2^{2^{222...}} = 2^4 = 16 \mod 100$

Sarò meno sintetico e più artigianale, spiego passo passo quello che ho visto e fatto :D

Osservo che:
76·76 = 5776 = 57·100+76
76·76·76 = 438976 = 4389·100+76
...
76ᵐ = q·100+76
per un certo q, ossia:
76ᵐ ≡ 76 (mod 100).
Ora:
16⁵ = 1048576 ≡ 76 (mod 100)
e:
16⁵ᵗ ≡ 76ᵗ ≡ 76 (mod 100),
cioè:
16⁵ᵗ⁺¹ ≡ 76·16 ≡ 16 (mod 100).
Pertanto:
2⁴ᵏ = 16ᵏ ≡ 16 (mod 100) quando k ≡ 1 (mod 5).
Allora, più in particolare, poiché il numero 2²²²²²²² è del tipo 4·k:
2²²²²²²² = 4¹¹¹¹¹¹¹ = 4·4¹¹¹¹¹¹⁰,
dove 4¹¹¹¹¹¹⁰ = (5-1)¹¹¹¹¹¹⁰ ≡ 1 (mod 5),
concludo che la potenza data termina con 16 :wink:
Naturalmente, potrei 'allungare' l'esponente 222222··· a piacere.
(Bruno)

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Re: Intermezzi.

Messaggio da infinito »

Bruno ha scritto:
mer set 30, 2020 8:58 am
Sono certo che l'abbia pensata così anche Gianfranco.
Gianfranco l'ha pensata diversa, ed anch'io (ed anch'io ero convinto che la mia strada fosse quella ovvia ....)
Io ho semplicemente costruito il triangolo CKE rettangolo in k (in realtà al posto di K avevo pensato H, ma è già stato usato da28/5 voi), che ovviamente è simile al rettangolo CBA, di cui conosciamo i lati: 3, 5, 4 (terna pitagorica).
Poiché il lato CE è 7 (cioè 5·7/5), il lato EKè 3·7/5= 21/5 e il lato CK è 4·7/5=28/5, ed infine il segmento DK è CK-CD=28/5-5=3/5.
Quindi conosciamo i due cateti del triangolo rettangolo EKD, e possiamo calcolarci l'ipotenusa DE:
DE²=(21/5)²+(3/5)²=(3/5)²(7²+1)=(3/5)²(25·2)=3²·2, da cui si ricava la risposta di Gianfranco.

Ossevazioni:
1ª) Non ho riportato le figure per due motivi: io per la risoluzione non le ho usate, ma soprattutto perché non mi riesce.
2ª) "Noi matematici" (e non solo) continuiamo a dire "CE=7", anche se è inesatto (Sì, lo so ceh voi non lo fate, ma io sì), e "la lunghezza di CE è 7", ma questo non mi pare così chiaro: io non conosco nessun "segmento" che abbia per lunghezza un numero, ma la lunghezza può essere 7cm, 7 metri, sette pollici, sette u, con u lunghezza ...
3ª) Ribadisco che a me sembrava che la mia idea fosse quella "ovvia", che a tutti i risolutori sarebbe venuta per prima, invece ci sono teste diverse, e soprattutto la matematica è decisamente più varia e organica di quanto possiamo anche lontanamente immaginare.
Gaspero

Bruno
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Re: Intermezzi.

Messaggio da Bruno »

Osservazioni puntualissime, Gaspero (bentornato :D): quello schema, in effetti, l'ho preso da un gruppo social di appassionati di matematica ricreativa.
(Bruno)

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