Parentesi mobili.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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Parentesi mobili.

Messaggio da Bruno »

A, B, C e D sono numeri naturali di una cifra, diversi fra loro.
A·B·C·D è un quadrato perfetto.
Trovare tutte le soluzioni dell'equazione (A+B)·C+D = A+B·(C+D).
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panurgo
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Re: Parentesi mobili.

Messaggio da panurgo »

La risposta dipende dalla definizione di “numeri naturali”.

Per prima cosa semplifichiamo l’equazione, $a\cdot c+d=a+b\cdot d$, e osserviamo che essa è simmetrica rispetto allo scambio $\left\{a,b,c,d\right\}\leftrightarrow\left\{d,c,b,a\right\}$.

La strategia che adottiamo consiste nel cercare le soluzioni nelle quali uno dei quattro numeri è nullo (e quindi $0\in\mathbf{N}$) indi nel cercare le soluzioni con $a,b,c,d\neq 0$, come deve essere se $0\notin\mathbf{N}$.

Solo uno dei quattro numeri può essere nullo (condizione 1) e non può essere ne $b$ ne $c$ perché $a\cdot c+d\neq a$ e (per la simmetria di cui sopra) $d\neq a+b\cdot d$. Inoltre, la condizione 2 è sempre verificata perché il prodotto dei quattro numeri è nullo e $0=0^2$.

Se $a=0$ segue $d=b\cdot d$ e quindi $b=1$ (simmetria: $d=0$, $c=1$) e l’equazione è soddisfatta da qualunque valore di $d$ e $c$ ($a$ e $b$): abbiamo le due famiglie di soluzioni $\left\{0,1,c,d\right\}$ e $\left\{a,b,1,0\right\}$.

Se $a,b,c,d\neq 0$ e $a\cdot b\cdot c\cdot d=n^2$ allora o tutti e quattro i numeri (diversi tra loro) sono quadrati oppure i loro fattori primi sono tali da essere tutti in numero pari. Ma ci sono solo tre quadrati di una cifra non nulli: $1=1^2$, $4=2^2$ e $9=3^2$.

Gli altri numeri di una cifra sono $2$, $3$, $5$, $6=2\cdot 3$, $7$ e $8=2^3$: il $5$ e il $7$ vanno esclusi perché sono numeri primi che compaiono una volta sola; il $2$, il $6$ e l’$8$ se sono presenti devono essere sempre in coppia e lo stesso vale per $3$ e $6$: quindi $\left\{2,3,6\right\}$ e $\left\{3,6,8\right\}$ con un quadrato qualsiasi, e $\left\{2,8\right\}$ con due quadrati qualsiasi.

I possibili valori di $n^2$ sono

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|r|C}
\hline
& a & b & c & d & n^2 \\
\hline
2,3,6 & 1 & 2 & 3 & 6 & 6^2 \\
\hline
2,3,6 & 2 & 3 & 4 & 6 & 12^2 \\
\hline
2,3,6 & 2 & 3 & 6 & 9 & 18^2 \\
\hline
3,6,8 & 1 & 3 & 6 & 8 & 12^2 \\
\hline
3,6,8 & 3 & 4 & 6 & 8 & 24^2 \\
\hline
3,6,8 & 3 & 6 & 8 & 9 & 36^2 \\
\hline
2,8 & 1 & 2 & 4 & 8 & 8^2 \\
\hline
2,8 & 1 & 2 & 8 & 9 & 12^2 \\
\hline
2,8 & 2 & 4 & 8 & 9 & 24^2 \\
\hline
\end{array}$

Dato che il prodotto non dipende dall’ordine dovremo testare anche le permutazioni di queste quadruple.


continua...
Ultima modifica di panurgo il gio set 10, 2020 2:10 pm, modificato 1 volta in totale.
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Bruno
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Re: Parentesi mobili.

Messaggio da Bruno »

panurgo ha scritto:
gio set 10, 2020 12:36 pm
La strategia che adottiamo consiste nel cercare le soluzioni nelle quali uno dei quattro numeri è nullo (e quindi $0\in\mathbf{N}$) indi nel cercare le soluzioni con $a,b,c,d\neq 0$, come deve essere se $0\notin\mathbf{N}$.
Ottimo :D
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panurgo
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Re: Parentesi mobili.

Messaggio da panurgo »

panurgo ha scritto:
gio set 10, 2020 12:36 pm
Dato che il prodotto non dipende dall’ordine dovremo testare anche le permutazioni di queste quadruple.


continua...
...segue

Dato che il prodotto non dipende dall’ordine dovremmo testare anche le permutazioni di queste quadruple, per un totale di $216$ ma la verifica dell’equazione per tutti questi casi è una cosa banale: io, se devo salire sulla Marmolada, preferisco fare la ferrata sulla cresta Ovest piuttosto che prendere la funivia.

Riscriviamo l’equazione esplicitando $d$

$\displaystyle d=\frac{a\left(c-1\right)}{b-1}$

essendo $d$ intero, delle due una: o $b-1$ divide $a$ oppure divide $c-1$ (via! Non siate pignoli: se divide entrambi lo conteremo due volte).

Nel primo caso

$\displaystyle b=ka+1\quad\Longrightarrow\quad d=\frac{c-1}k\quad\Longrightarrow\quad c=kd+1$

ovvero

$\displaystyle \left\{\begin{array}{lC} b=ka+1 \\ c=kd+1 \end{array}\right.\quad\Longrightarrow\quad a\left(c-1\right)=\left(b-1\right)d$

Cerchiamo nelle nostre quadruple le possibili coppie $\left\{a,b\right\}$, per diversi valori di $k$, e vediamo se le corrispondenti coppie $\left\{c,d\right\}$ soddisfano $c=kd+1$.
Osserviamo che $a\in\left\{1,2,3,4,6,8,9\right\}$ e che $b$ è in una progressione aritmetica di ragione $k$.

$k=1$

$\begin{array}{|l|l|l|C}
\hline
\left\{a,b\right\}&\left\{c,d\right\}&\left\{a,b,c,d\right\}\\
\hline
\left\{1,2\right\}&\left\{6,3\right\},\left\{9,8\right\}&\left\{1,2,9,8\right\}\\
\hline
\left\{2,3\right\}&\left\{6,1\right\},\left\{6,4\right\},\left\{9,6\right\}&\\
\hline
\left\{3,4\right\}&\left\{6,2\right\},\left\{8,6\right\}&\\
\hline
\left\{8,9\right\}&\left\{6,3\right\},\left\{2,1\right\},\left\{4,2\right\}&\left\{8,9,2,1\right\}\\
\hline
\end{array}$

$k=2$

$\begin{array}{|l|l|l|C}
\hline
\left\{a,b\right\}&\left\{c,d\right\}&\left\{a,b,c,d\right\}\\
\hline
\left\{1,3\right\}&\left\{6,2\right\},\left\{8,6\right\}&\\
\hline
\left\{4,9\right\}&\left\{8,2\right\}&\\
\hline
\end{array}$

$k=3$

$\begin{array}{|l|l|l|C}
\hline
\left\{a,b\right\}&\left\{c,d\right\}&\left\{a,b,c,d\right\}\\
\hline
\left\{1,4\right\}&\left\{8,2\right\}&\\
\hline
\end{array}$

$k=4$

$\begin{array}{|l|l|l|C}
\hline
\left\{a,b\right\}&\left\{c,d\right\}&\left\{a,b,c,d\right\}\\
\hline
\left\{2,9\right\}&\left\{6,3\right\},\left\{8,1\right\},\left\{8,4\right\}&\\
\hline
\end{array}$

Per $k=5$ non ci coppie $\left\{a,b\right\}$ poiché $\left\{1,5\right\}$ contiene il $5$. Abbiamo dunque trovato due soluzioni simmetriche: $\left\{1,2,9,8\right\}$ e $\left\{8,9,2,1\right\}$

Nel secondo caso abbiamo

$\displaystyle \left\{\begin{array}{lC} c=k\left(b-1\right)+1 \\ d=ka \end{array}\right.\quad\Longrightarrow\quad a\left(c-1\right)=\left(b-1\right)d$

Ora dobbiamo cercare le possibili coppie $\left\{b,c\right\}$ tenendo conto che questa volta è $c$ che segue una progressione aritmetica di ragione $k$ e osservando che $k=1$ implica $b=c$ e $c=1$ implica $b=1$ violando, in entrambi i casi, la condizione 1: quindi deve essere $c>b>1$.
Osserviamo inoltre che, in virtù dell’equazione $d=ka$, deve essere $k\notin\left\{5,7\right\}$.

$k=2$

$\begin{array}{|l|l|l|C}
\hline
\left\{b,c\right\}&\left\{a,d\right\}&\left\{a,b,c,d\right\}\\
\hline
\left\{2,3\right\}&\left\{1,6\right\},\left\{4,6\right\},\left\{6,9\right\}&\\
\hline
\end{array}$

$k=3$

$\begin{array}{|l|l|l|C}
\hline
\left\{b,c\right\}&\left\{a,d\right\}&\left\{a,b,c,d\right\}\\
\hline
\left\{2,4\right\}&\left\{3,6\right\},\left\{1,8\right\},\left\{8,9\right\}&\\
\hline
\end{array}$

$k=4$

$\begin{array}{|l|l|l|C}
\hline
\left\{b,c\right\}&\left\{a,d\right\}&\left\{a,b,c,d\right\}\\
\hline
\left\{3,9\right\}&\left\{2,6\right\},\left\{6,8\right\}&\\
\hline
\end{array}$

$k=8$

$\begin{array}{|l|l|l|C}
\hline
\left\{b,c\right\}&\left\{a,d\right\}&\left\{a,b,c,d\right\}\\
\hline
\left\{2,9)\right\}&\left\{3,6\right\},\left\{1,8\right\},\left\{4,8\right\}&\left\{1,2,9,8\right\}\\
\hline
\end{array}$

Visto? Se $b=2$ allora $b-1$ divide sia $a$ sia $c-1$ (qualunque essi siano) e ritroviamo una delle due soluzioni simmetriche.

Ricapitolando, le soluzioni sono: $\left\{1,2,9,8\right\}$, $\left\{8,9,2,1\right\}$, $\left\{0,1,c,d\right\}$ e $\left\{a,b,1,0\right\}$
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Re: Parentesi mobili.

Messaggio da Bruno »

Fantastico, Guido :D

Ipotizzare un termine nullo rende tutto più immediato.
L'ipotesi che il prodotto dei quattro termini non sia nullo cambia significativamente lo scenario; inoltre, senza la condizione che esso sia un quadrato, le soluzioni sarebbero un po' più numerose.
Osservo, marginalmente, che la quadrupla individuata da Guido permette di ottenere le seguenti infinite espressioni numeriche, dove però non vale la predetta condizione:
(88+89)·12+11 = 88+89·(12+11)
(888+889)·112+111 = 888+889·(112+111)
(88888+88889)·11112+11111 = 88888+88889·(11112+11111), o altre simili in base all'identità: [(p-1)+p]·(q+1)+q = (p-1)+p·[(q+1)+q]
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