lanciare una moneta può essere pericoloso

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franco
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lanciare una moneta può essere pericoloso

Messaggio da franco »

Scommettete 100 euro su una moneta.
Se esce testa vincete il 50% di quanto scommesso (ricevete 150 euro, per una vincita di 50 euro); se esce croce perdete il 40% di quanto scommesso (ricevete 60 euro, per una perdita di 40 euro).
Ripetete il gioco 200 volte scommettendo ogni volta quanto ricevuto dalla giocata precedente.

Giochereste a questo gioco?



La fonte è in questo articolo da leggere dopo aver valutato la risposta
https://www.ilpost.it/robertoplaja/2020 ... o-parte-i/
Franco

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delfo52
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Re: lanciare una moneta può essere pericoloso

Messaggio da delfo52 »

interessante.
forse controintuitivo.
ma senza arrivare a 200 lanci, basta provare con 2 (uno vinto e uno perso); e fare una controprova con tre vinte di fila seguite da tre sconfitte e viceversa.
Enrico

franco
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Re: lanciare una moneta può essere pericoloso

Messaggio da franco »

delfo52 ha scritto:
mer set 09, 2020 12:42 pm
interessante.
forse controintuitivo.
ma senza arrivare a 200 lanci, basta provare con 2 (uno vinto e uno perso); e fare una controprova con tre vinte di fila seguite da tre sconfitte e viceversa.
Infatti!
Un ingenuo potrebbe pensare che avendo come risultato un +50% con testa, -40% con croce e una moneta "onesta" ci sia una bella convenienza a giocare.
Franco

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Gianfranco
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Re: lanciare una moneta può essere pericoloso

Messaggio da Gianfranco »

In sintesi, il mio ragionamento è questo.

In MEDIA mi aspetto 50% teste e 50% croci, nel nostro caso 100 T e 100 C

Ora esamino due casi (anche se il problema ne chiede uno)

1) Se la puntata fosse fissa, punto in tutto 20.000 monete e ne incasso 21.000. Guadagno 1.000 monete.

Nota: secondo me non è un tasso d'interesse atteso del 5%, come dice l'articolo, ma è di più. Infatti, per fare questo gioco investo meno di 20.000 monete perché durante il gioco utilizzo gli incassi che ci sono sempre.

2) Se parto con sole 100 monete e punto di volta in volta quello che ho, allora osservo che IN QUALUNQUE MODO siano distribuite le 100 TESTE (vincite) e le 100 CROCI (perdite), il risultato è sempre lo stesso, cioè mi ritrovo alla fine con 0,002656139... monete.
Questo è il risultato MEDIO che mi aspetto.
Siccome ho investito un capitale di 100 monete e dopo 200 cicli ho 0,002656139... monete, concludo che il tasso è del -5% circa. Cioè ad ogni ciclo perdo circa il 5% di ciò che mi è rimasto.

Nota: il risultato finale con 100T e 100C è indipendente dalla distribuzione delle T e C per la proprietà commutativa della moltiplicazione e si calcola così:
$r=100 \cdot 1.5^{100} \cdot 0.6^{100}=0.002656139...$

Salvo errori e omissioni.

P.S. Tutto il discorso sui punti di vista della popolazione e dell'individuo... non l'ho capito.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: lanciare una moneta può essere pericoloso

Messaggio da delfo52 »

giocando le partite in sequenza, è chiaro.
se a giocare fossero 200 persone in contemporanea, la cosa sarebbe diversa; e il "banco" perderebbe un migliaio di euro.
Il problema allora è trovare un varco spazio-temporale per giocare sempre al tempo zero

Questo è "laterale"...quasi "fuori" di testa!
Enrico

Gianfranco
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Re: lanciare una moneta può essere pericoloso

Messaggio da Gianfranco »

delfo52 ha scritto:
gio set 10, 2020 8:48 am
se a giocare fossero 200 persone in contemporanea, la cosa sarebbe diversa; e il "banco" perderebbe un migliaio di euro.
Il problema allora è trovare un varco spazio-temporale per giocare sempre al tempo zero
[ho modificato leggermente la versione originale]
Io la vedo così: se a giocare fossero 200 persone in contemporanea a 200 banchi indipendenti allora il "banco globale" perderebbe un migliaio di euro AL PRIMO LANCIO.
Ma se queste 200 persone giocassero 200 partite (di 200 lanci) secondo le regole date dal gioco, il banco vincerebbe alla grande.

Secondo me non è corretto confrontare:
a) una singola persona che segue fedelmente le regole del gioco (cioè gioca 200 lanci in sequenza etc.)
con
b) una popolazione che fa sempre e solo il primo lancio.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

panurgo
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Re: lanciare una moneta può essere pericoloso

Messaggio da panurgo »

Gianfranco, il quesito è un po’ ambiguo ma il discorso a senso se una “partita” è composta di duecento “lanci ” e quindi la "popolazione" è una distribuzione statistica di "partite" e non di "lanci”.

Con questa interpretazione, supponiamo di avere una sequenza di lanci con $k$ teste e $n-k$ croci: di sequenze con la stessa composizione ve ne sono ${n \choose k}$; considerando la metafora della "moneta onesta" (oppure in base al Principio di Indifferenza) ognuna di queste ${n\choose k}$ sequenze ha uguale probabilità: $2^{-n}$.

Mettendo insieme tutte queste cose otteniamo una distribuzione binomiale

$\displaystyle \Pr\left(k\middle| n\right)={n\choose k}\left(\frac12\right)^n$

Nel problema è specificato che il capitale iniziale, $C_0$, viene moltiplicato per $p=\frac32$ quando esce testa e per $q=\frac35$ quando esce croce: dopo la nostra sequenza il capitale sarà

$\displaystyle C=p^k q^{n-k}C_0$

La media, o expectation, sarà

$\displaystyle \left\langle C\middle| n\right\rangle =\sum_{k=0}^n C\times\Pr\left(k\middle| n\right) = \sum_{k=0}^n p^k q^{n-k}C_0\times {n\choose k}\left(\frac12\right)^n = \left(\frac12\right)^n C_0 \sum_{k=0}^n {n\choose k} p^k q^{n-k} =\left(\frac{p+q}2\right)^n C_0$

Nel caso specifico, $n=200$,

$\displaystyle \left\langle C\middle| 200\right\rangle =\left(\frac{21}{20}\right)^{200} C_0=17292,58\ldots C_0$

In media si vince circa $17000$ volte il capitale iniziale, come quando il capo del villaggio ha mille polli e tutti gli altri novecentonovantanove abitanti non ne hanno nessuno: in media un pollo a testa.

Osservando il grafico del premio in funzione di $k$
LUMPEP.01.480x480.png
LUMPEP.01.480x480.png (8.52 KiB) Visto 485 volte
vediamo che la maggior parte dei valori è sostanzialmente nulla a confronto gli ultimi (è un’esponenziale).

Il problema sorge perché la media è una statistica sensibile alla presenza di valori estremi ed è per questo che gli statistici in casi come questo preferiscono usare la mediana ovvero il valore che lascia alla sua sinistra metà della distribuzione (la mediana viene definita una statistica “robusta” che, in realtà, significa “insensibile ai valori estremi”).

La distribuzione binomiale è simmetrica e la sua mediana è $n/2$ se $n$ è pari: il premio corrispondente vale $\left(\frac32\right)^{100} \left(\frac35\right)^{100}C_0\approx 2\times 10^{-5}C_0$ (più in linea con il numero di polli posseduto da chi non è capo del villaggio).

Ne consegue che il giocatore è quasi sicuro di perdere quello che gioca con una piccola speranza di fare una vincita favolosa ($\sim 10^{30} C_0$, considerando la media degli ultimi cinque valori); viceversa, il banco è abbastanza sicuro di perdere, se il numero delle partite è alto.

Se consideriamo il Superenalotto, osserviamo che il giocatore spende 2 Eur con una speranza esigua di vincerne milioni che la Sisal è sicura di dover pagare (prima o poi): il gioco è interessante per il giocatore (fino a che gioca 2 Eur) perché passa dall’impossibilità di vincere alla possibilità, per quanto esigua, di vincere ed è conveniente per la Sisal che fa in modo da mettere in palio una frazione fissa di quello che ricava dalle giocate.
Ultima modifica di panurgo il gio set 10, 2020 12:18 pm, modificato 1 volta in totale.
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Re: lanciare una moneta può essere pericoloso

Messaggio da Gianfranco »

panurgo ha scritto:
gio set 10, 2020 11:44 am
Gianfranco, il quesito è un po’ ambiguo ma il discorso a senso se una “partita” è composta di duecento “lanci ” e quindi la "popolazione" è una distribuzione statistica di "partite" e non di "lanci”.
Grazie Panurgo, ora ho capito meglio anche se mi rimangono dei dubbi, ma non voglio insistere.
Ho fatto qualche correzione terminologica al mio post precedente.
Magari rimangono gli stessi errori concettuali ma almeno sono più chiari... :D
Eh sì, il calcolo delle probabilità è insidioso...
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: lanciare una moneta può essere pericoloso

Messaggio da franco »

Nel caso fosse stati interessati, qui sotto il link alla seconda parte dell'articolo.

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