AB·(C+D) = (A+B)·CD.
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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AB·(C+D) = (A+B)·CD.
A, B, C e D sono numeri naturali di due cifre, diversi fra loro e in ordine decrescente.
A è divisibile per D e B è divisibile per C.
AB è la concatenazione di A e B, cioè è il numero di quattro cifre ottenuto scrivendo B di seguito ad A.
Trovare tutte le soluzioni dell'equazione AB·(C+D) = (A+B)·CD.
A è divisibile per D e B è divisibile per C.
AB è la concatenazione di A e B, cioè è il numero di quattro cifre ottenuto scrivendo B di seguito ad A.
Trovare tutte le soluzioni dell'equazione AB·(C+D) = (A+B)·CD.
(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Re: AB·(C+D) = (A+B)·CD.
Direi tutte le combinazioni per cui A×D=B×C
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
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Re: AB·(C+D) = (A+B)·CD.
$\left\{
\begin{array}{lC}
\text{A} = 90 \\ \text{B} = 60 \\ \text{C} = 15 \\ \text{D} = 10
\end{array}
\right.$
\begin{array}{lC}
\text{A} = 90 \\ \text{B} = 60 \\ \text{C} = 15 \\ \text{D} = 10
\end{array}
\right.$
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Re: AB·(C+D) = (A+B)·CD.
L’equazione di Bruno, scritta in termini un po’ più usuali, è
$\displaystyle \left(100\,\text{A}+\text{B}\right)\left(\text{C}+\text{D}\right) = \left(\text{A}+\text{B}\right)\left(100\,\text{C}+\text{D}\right)$
da cui si ricava facilmente, franco dixit, $\text{A}\times\text{D}=\text{B}\times\text{C}$.
$100>\text{A}>\text{B}>\text{C}>\text{D}>9$ sono quattro numeri di due cifre e sono $\text{A}$ multiplo di $\text{D}$ e $\text{B}$ multiplo di $\text{C}$: dunque sarà
$\left\{
\begin{array}{lC}
\text{A} = p\,\text{D} \\ \text{B} = q\,\text{C} \\ p\,\text{D}^2 = q\,\text{C}^2
\end{array}
\right.$
Dall’ultima uguaglianza ricaviamo
$\displaystyle \frac{p}{q}=\frac{\text{C}^2}{\text{D}^2}$
La frazione $p/q$ altro non è che la frazione $\text{C}^2/\text{D}^2$ ridotta ai minimi termini e, poiché la scomposizione in numeri primi di un quadrato ha tutti gli esponenti pari, anche $p$ e $q$ devono avere tutti gli esponenti pari e sono perciò dei quadrati.
Il prodotto di due numeri naturali di due cifre va da un minimo di $10\times10=100$ ad un massimo di $99\times99=9801$ quindi, essendo $\text{A}=p\,\text{D}$ e $\text{B}=q\,\text{C}$ numeri di due cifre, ne consegue che $p$ e $q$ devono essere quadrati di una sola cifra.
Ma $100>p\,\text{D}>q\text{C}>\text{C}>\text{D}>9$ implica che $p$ e $q$ non possono essere ne $0$ ne $1$ dunque sarà $p=9$ e $q=4$: infatti
$\left\{
\begin{array}{lC}
\text{C}>\text{D} \\ p\,\text{D}^2 = q\,\text{C}^2
\end{array}
\right.\;\Longrightarrow\;p>q$
Il fatto che sia $p=9$ e $\text{A}$ sia un numero di due cifre restringe i possibili valori di $\text{D}$ a $10$ e $11$: nel primo caso
$\left\{
\begin{array}{lC}
\text{A} = 90 \\ 900=4\,\text{C}^2
\end{array}
\right.
\;\Longrightarrow\;
\left\{
\begin{array}{lC}
\text{C} = 15 \\ \text{B} = 60
\end{array}
\right.$
Nel secondo caso, $p\,\text{D}^2=1089\neq4\,\text{C}^2$ perché $1089$ è dispari e quindi non è divisibile per $4$: non ci resta che l’unica soluzione
$\left\{
\begin{array}{lC}
\text{A} = 90 \\ \text{B} = 60 \\ \text{C} = 15 \\ \text{D} = 10
\end{array}
\right.$
il panurgo
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Re: AB·(C+D) = (A+B)·CD.
Bene, Guido, una soluzione l'abbiamo portata a casa
Esistono altre tre quadruple.
Esistono altre tre quadruple.
Infatti, p e q possono anche non essere ridotti ai minimi terminipanurgo ha scritto: ↑lun set 07, 2020 8:32 amLa frazione $p/q$ altro non è che la frazione $\text{C}^2/\text{D}^2$ ridotta ai minimi termini e, poiché la scomposizione in numeri primi di un quadrato ha tutti gli esponenti pari, anche $p$ e $q$ devono avere tutti gli esponenti pari e sono perciò dei quadrati.
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Re: AB·(C+D) = (A+B)·CD.
... anche 99-33-30-10 è una soluzione che risponde alla condizione AxD=BxC (era la prima che mi era venuta in mente ...)
oppure 90-45-20-10
oppure 80-40-20-10
oppure 60-40-30-20
...
oppure 90-45-20-10
oppure 80-40-20-10
oppure 60-40-30-20
...
Franco
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Re: AB·(C+D) = (A+B)·CD.
Di queste quattro, Franco, solo una risponde correttamente al problema
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Re: AB·(C+D) = (A+B)·CD.
Mi sono messo un vincolo in più: togliendo questo vincolo $p$ e $q$ non devono più essere obbligatoriamente dei quadrati ma numeri di una cifra.
Se poniamo $q=2$, deve essere $p=2n$ in modo che sia $2n\,\text{D}^2=2\,\text{C}^2$ e la frazione ridotta ai minimi termini sia $n/1$ con $n$ quadrato.
L’unico valore di $n$ possibile è $4$, cioè $p=8$: questo consente per $\text{D}$ i valori $10$, $11$ e $12$, da cui ricaviamo
$
\left\{\begin{array}{lC}
A=80 \\ B=40 \\ C=20 \\ D=10
\end{array}\right.
\qquad
\left\{\begin{array}{lC}
A=88 \\ B=44 \\ C=22 \\ D=11
\end{array}\right.
\qquad
\left\{\begin{array}{lC}
A=96 \\ B=48 \\ C=24 \\ D=12
\end{array}\right.
$
Se poniamo $q=3$ dovrebbe essere $p=3n$ con $n$ quadrato: ma $n=4\;\Longrightarrow\;p=12$.
Per $q>4$ (che funziona perché è un quadrato, come abbiamo visto precedentemente) non vi sono altre soluzioni a più forte ragione...
il panurgo
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Re: AB·(C+D) = (A+B)·CD.
hai ragione
non avevo tenuto conto del criterio della divisibilità
Franco
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Re: AB·(C+D) = (A+B)·CD.
Bravissimo, Guido, adesso la risposta è completa
Quando ho inventato il problema, avevo in mente di individuare facilmente infiniti termini per AB·(C+D) = (A+B)·CD, con pochissimi calcoli, in modo possibilmente diretto.
E così ho trovato questa cosa simpatica:
84·(2+1) = (8+4)·21,
8844·(22+11) = (88+44)·2211,
888444·(222+111) = (888+444)·222111,
88884444·(2222+1111) = (8888+4444)·22221111, etc.
Quando ho inventato il problema, avevo in mente di individuare facilmente infiniti termini per AB·(C+D) = (A+B)·CD, con pochissimi calcoli, in modo possibilmente diretto.
E così ho trovato questa cosa simpatica:
84·(2+1) = (8+4)·21,
8844·(22+11) = (88+44)·2211,
888444·(222+111) = (888+444)·222111,
88884444·(2222+1111) = (8888+4444)·22221111, etc.
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