AB·(C+D) = (A+B)·CD.

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AB·(C+D) = (A+B)·CD.

Messaggio da Bruno »

A, B, C e D sono numeri naturali di due cifre, diversi fra loro e in ordine decrescente.
A è divisibile per D e B è divisibile per C.
AB è la concatenazione di A e B, cioè è il numero di quattro cifre ottenuto scrivendo B di seguito ad A.
Trovare tutte le soluzioni dell'equazione AB·(C+D) = (A+B)·CD.
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franco
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Re: AB·(C+D) = (A+B)·CD.

Messaggio da franco »

Direi tutte le combinazioni per cui A×D=B×C :D
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Re: AB·(C+D) = (A+B)·CD.

Messaggio da panurgo »

$\left\{
\begin{array}{lC}
\text{A} = 90 \\ \text{B} = 60 \\ \text{C} = 15 \\ \text{D} = 10
\end{array}
\right.$
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Re: AB·(C+D) = (A+B)·CD.

Messaggio da panurgo »

panurgo ha scritto:
dom set 06, 2020 11:32 pm
$\left\{
\begin{array}{lC}
\text{A} = 90 \\ \text{B} = 60 \\ \text{C} = 15 \\ \text{D} = 10
\end{array}
\right.$
L’equazione di Bruno, scritta in termini un po’ più usuali, è

$\displaystyle \left(100\,\text{A}+\text{B}\right)\left(\text{C}+\text{D}\right) = \left(\text{A}+\text{B}\right)\left(100\,\text{C}+\text{D}\right)$

da cui si ricava facilmente, franco dixit, $\text{A}\times\text{D}=\text{B}\times\text{C}$.

$100>\text{A}>\text{B}>\text{C}>\text{D}>9$ sono quattro numeri di due cifre e sono $\text{A}$ multiplo di $\text{D}$ e $\text{B}$ multiplo di $\text{C}$: dunque sarà

$\left\{
\begin{array}{lC}
\text{A} = p\,\text{D} \\ \text{B} = q\,\text{C} \\ p\,\text{D}^2 = q\,\text{C}^2
\end{array}
\right.$

Dall’ultima uguaglianza ricaviamo

$\displaystyle \frac{p}{q}=\frac{\text{C}^2}{\text{D}^2}$

La frazione $p/q$ altro non è che la frazione $\text{C}^2/\text{D}^2$ ridotta ai minimi termini e, poiché la scomposizione in numeri primi di un quadrato ha tutti gli esponenti pari, anche $p$ e $q$ devono avere tutti gli esponenti pari e sono perciò dei quadrati.

Il prodotto di due numeri naturali di due cifre va da un minimo di $10\times10=100$ ad un massimo di $99\times99=9801$ quindi, essendo $\text{A}=p\,\text{D}$ e $\text{B}=q\,\text{C}$ numeri di due cifre, ne consegue che $p$ e $q$ devono essere quadrati di una sola cifra.

Ma $100>p\,\text{D}>q\text{C}>\text{C}>\text{D}>9$ implica che $p$ e $q$ non possono essere ne $0$ ne $1$ dunque sarà $p=9$ e $q=4$: infatti

$\left\{
\begin{array}{lC}
\text{C}>\text{D} \\ p\,\text{D}^2 = q\,\text{C}^2
\end{array}
\right.\;\Longrightarrow\;p>q$

Il fatto che sia $p=9$ e $\text{A}$ sia un numero di due cifre restringe i possibili valori di $\text{D}$ a $10$ e $11$: nel primo caso

$\left\{
\begin{array}{lC}
\text{A} = 90 \\ 900=4\,\text{C}^2
\end{array}
\right.
\;\Longrightarrow\;
\left\{
\begin{array}{lC}
\text{C} = 15 \\ \text{B} = 60
\end{array}
\right.$

Nel secondo caso, $p\,\text{D}^2=1089\neq4\,\text{C}^2$ perché $1089$ è dispari e quindi non è divisibile per $4$: non ci resta che l’unica soluzione

$\left\{
\begin{array}{lC}
\text{A} = 90 \\ \text{B} = 60 \\ \text{C} = 15 \\ \text{D} = 10
\end{array}
\right.$
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Re: AB·(C+D) = (A+B)·CD.

Messaggio da Bruno »

Bene, Guido, una soluzione l'abbiamo portata a casa :D

Esistono altre tre quadruple.
panurgo ha scritto:
lun set 07, 2020 8:32 am
La frazione $p/q$ altro non è che la frazione $\text{C}^2/\text{D}^2$ ridotta ai minimi termini e, poiché la scomposizione in numeri primi di un quadrato ha tutti gli esponenti pari, anche $p$ e $q$ devono avere tutti gli esponenti pari e sono perciò dei quadrati.
Infatti, p e q possono anche non essere ridotti ai minimi termini :wink:
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Re: AB·(C+D) = (A+B)·CD.

Messaggio da franco »

... anche 99-33-30-10 è una soluzione che risponde alla condizione AxD=BxC (era la prima che mi era venuta in mente ...)
oppure 90-45-20-10
oppure 80-40-20-10
oppure 60-40-30-20
...
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Re: AB·(C+D) = (A+B)·CD.

Messaggio da Bruno »

franco ha scritto:
lun set 07, 2020 11:12 am
... anche 99-33-30-10 è una soluzione che risponde alla condizione AxD=BxC (era la prima che mi era venuta in mente ...)
oppure 90-45-20-10
oppure 80-40-20-10
oppure 60-40-30-20
...
Di queste quattro, Franco, solo una risponde correttamente al problema :wink:
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Re: AB·(C+D) = (A+B)·CD.

Messaggio da panurgo »

Bruno ha scritto:
lun set 07, 2020 9:14 am
Infatti, p e q possono anche non essere ridotti ai minimi termini :wink:
Mi sono messo un vincolo in più: togliendo questo vincolo $p$ e $q$ non devono più essere obbligatoriamente dei quadrati ma numeri di una cifra.

Se poniamo $q=2$, deve essere $p=2n$ in modo che sia $2n\,\text{D}^2=2\,\text{C}^2$ e la frazione ridotta ai minimi termini sia $n/1$ con $n$ quadrato.

L’unico valore di $n$ possibile è $4$, cioè $p=8$: questo consente per $\text{D}$ i valori $10$, $11$ e $12$, da cui ricaviamo

$
\left\{\begin{array}{lC}
A=80 \\ B=40 \\ C=20 \\ D=10
\end{array}\right.
\qquad
\left\{\begin{array}{lC}
A=88 \\ B=44 \\ C=22 \\ D=11
\end{array}\right.
\qquad
\left\{\begin{array}{lC}
A=96 \\ B=48 \\ C=24 \\ D=12
\end{array}\right.
$

Se poniamo $q=3$ dovrebbe essere $p=3n$ con $n$ quadrato: ma $n=4\;\Longrightarrow\;p=12$.

Per $q>4$ (che funziona perché è un quadrato, come abbiamo visto precedentemente) non vi sono altre soluzioni a più forte ragione...
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Re: AB·(C+D) = (A+B)·CD.

Messaggio da franco »

Bruno ha scritto:
lun set 07, 2020 11:35 am
franco ha scritto:
lun set 07, 2020 11:12 am
... anche 99-33-30-10 è una soluzione che risponde alla condizione AxD=BxC (era la prima che mi era venuta in mente ...)
oppure 90-45-20-10
oppure 80-40-20-10
oppure 60-40-30-20
...
Di queste quattro, Franco, solo una risponde correttamente al problema :wink:
hai ragione :oops:
non avevo tenuto conto del criterio della divisibilità
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Re: AB·(C+D) = (A+B)·CD.

Messaggio da Bruno »

Bravissimo, Guido, adesso la risposta è completa :D

Quando ho inventato il problema, avevo in mente di individuare facilmente infiniti termini per AB·(C+D) = (A+B)·CD, con pochissimi calcoli, in modo possibilmente diretto.

E così ho trovato questa cosa simpatica:

84·(2+1) = (8+4)·21,
8844·(22+11) = (88+44)·2211,
888444·(222+111) = (888+444)·222111,
88884444·(2222+1111) = (8888+4444)·22221111, etc. :wink:
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