I seguenti numeri possono essere primi?
a) $\;3^{535}-10$
b) $\;6^{123}-7$
c) $\;7^{345}-2$
Perché?
Può essere?
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Può essere?
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Re: Può essere?
Comincio da $\text{c)}$: dato che
$\displaystyle 7\equiv 2\;\left(\text{mod}\;5\right)$
segue che
$\displaystyle 7^{345}\equiv 2^{345}\;\left(\text{mod}\;5\right)$
La cifra delle unità delle potenze di due è $2,\ 4,\ 8,\ 6,\ 2,\ldots$, ovvero è $2$ per le potenze di due della forma $4k+1$: da tutto ciò segue che
$\displaystyle 7^{345} - 2\equiv 2^{345} - 2\equiv 0\;\left(\text{mod}\;5\right)$
cioè $7^{345} - 2$ è divisibile per $5$
$\displaystyle 7\equiv 2\;\left(\text{mod}\;5\right)$
segue che
$\displaystyle 7^{345}\equiv 2^{345}\;\left(\text{mod}\;5\right)$
La cifra delle unità delle potenze di due è $2,\ 4,\ 8,\ 6,\ 2,\ldots$, ovvero è $2$ per le potenze di due della forma $4k+1$: da tutto ciò segue che
$\displaystyle 7^{345} - 2\equiv 2^{345} - 2\equiv 0\;\left(\text{mod}\;5\right)$
cioè $7^{345} - 2$ è divisibile per $5$
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
-
- Supervisore del sito
- Messaggi: 1714
- Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
- Località: Sestri Levante
- Contatta:
Re: Può essere?
La domanda è se i numeri dati "possono" (o "potrebbero"?) essere numeri primi.
Il numero $\;6^{123}-7$ potrebbe essere primo perché è del tipo $6n-1$
Anche il numero $\;3^{535}-10$.
Ma probabilmente nessuno dei due numeri è primo.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Può essere?
$\displaystyle \text{a)}$
Dimostriamo che $3^{535}-10\propto 7$: infatti
$\displaystyle 10\equiv 3\quad\left(\text{mod}\;7\right)$
quindi
$\displaystyle 3^{535}-10\equiv 3\left(3^{534}-1\right)\quad\left(\text{mod}\;7\right)$
e non ci resta che dimostrare che
$\displaystyle 3^{534}\equiv 1\quad\left(\text{mod}\;7\right)$
Osserviamo i resti modulo sette delle potenze di $3$
$\left. \begin{array}{lC}
3^1\equiv 3 \\
3^2\equiv 3\times 3^1\equiv 9\equiv 2 \\
3^3\equiv 3\times 3^2\equiv 6 \\
3^4\equiv 3\times 3^3\equiv 18\equiv 4 \\
3^5\equiv 3\times 3^4\equiv 12\equiv 5 \\
3^6\equiv 3\times 3^5\equiv 15\equiv 1 \\
3^3\equiv 3\times 3^6\equiv 3 \\
\vdots \\
\end{array}\right\} \qquad \left(\text{mod}\;7\right)$
e ricaviamo che
$\displaystyle 3^{6k}\equiv 1\quad\left(\text{mod}\;7\right)$
Poiché $534=6\times 89$ segue la tesi.
$\displaystyle \text{b)}$
Osserviamo i resti modulo undici delle potenze di $6$
$\left.\begin{array}{lC}
6^1\equiv 6 \\
6^2\equiv 6\times 6^1\equiv 36\equiv 3 \\
6^3\equiv 6\times 6^2\equiv 18\equiv 7 \\
6^4\equiv 6\times 6^3\equiv 42\equiv 9 \\
6^5\equiv 6\times 6^4\equiv 54\equiv 10 \\
6^6\equiv 6\times 6^5\equiv 60\equiv 5 \\
6^7\equiv 6\times 6^6\equiv 30\equiv 8 \\
6^8\equiv 6\times 6^7\equiv 48\equiv 4 \\
6^9\equiv 6\times 6^8\equiv 24\equiv 2 \\
6^{10}\equiv 6\times 6^9\equiv 12\equiv 1 \\
6^{11}\equiv 6\times 6^{10}\equiv 6 \\
\vdots \\
\end{array}\right\}\qquad \left(\text{mod}\;11\right)$
e ricaviamo che
$\displaystyle 6^{10k+3}\equiv 7\quad\left(\text{mod}\;11\right)$
quindi $6^{123}-7\propto 11$.
Dimostriamo che $3^{535}-10\propto 7$: infatti
$\displaystyle 10\equiv 3\quad\left(\text{mod}\;7\right)$
quindi
$\displaystyle 3^{535}-10\equiv 3\left(3^{534}-1\right)\quad\left(\text{mod}\;7\right)$
e non ci resta che dimostrare che
$\displaystyle 3^{534}\equiv 1\quad\left(\text{mod}\;7\right)$
Osserviamo i resti modulo sette delle potenze di $3$
$\left. \begin{array}{lC}
3^1\equiv 3 \\
3^2\equiv 3\times 3^1\equiv 9\equiv 2 \\
3^3\equiv 3\times 3^2\equiv 6 \\
3^4\equiv 3\times 3^3\equiv 18\equiv 4 \\
3^5\equiv 3\times 3^4\equiv 12\equiv 5 \\
3^6\equiv 3\times 3^5\equiv 15\equiv 1 \\
3^3\equiv 3\times 3^6\equiv 3 \\
\vdots \\
\end{array}\right\} \qquad \left(\text{mod}\;7\right)$
e ricaviamo che
$\displaystyle 3^{6k}\equiv 1\quad\left(\text{mod}\;7\right)$
Poiché $534=6\times 89$ segue la tesi.
$\displaystyle \text{b)}$
Osserviamo i resti modulo undici delle potenze di $6$
$\left.\begin{array}{lC}
6^1\equiv 6 \\
6^2\equiv 6\times 6^1\equiv 36\equiv 3 \\
6^3\equiv 6\times 6^2\equiv 18\equiv 7 \\
6^4\equiv 6\times 6^3\equiv 42\equiv 9 \\
6^5\equiv 6\times 6^4\equiv 54\equiv 10 \\
6^6\equiv 6\times 6^5\equiv 60\equiv 5 \\
6^7\equiv 6\times 6^6\equiv 30\equiv 8 \\
6^8\equiv 6\times 6^7\equiv 48\equiv 4 \\
6^9\equiv 6\times 6^8\equiv 24\equiv 2 \\
6^{10}\equiv 6\times 6^9\equiv 12\equiv 1 \\
6^{11}\equiv 6\times 6^{10}\equiv 6 \\
\vdots \\
\end{array}\right\}\qquad \left(\text{mod}\;11\right)$
e ricaviamo che
$\displaystyle 6^{10k+3}\equiv 7\quad\left(\text{mod}\;11\right)$
quindi $6^{123}-7\propto 11$.
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
-
- Supervisore del sito
- Messaggi: 1714
- Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
- Località: Sestri Levante
- Contatta:
Re: Può essere?
Prima di tutto, applausi a Panurgo...
Poi la mia modesta dimostrazione che $6^{123}-7$ è divisibile per 11.Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Può essere?
Eccomi qui
Molto bene.
Riguardo a b), per dimostrare la divisibilità per 11, osservo che 6¹²³ - 7 = (6³)⁴¹ - 7.
Ora, si trova facilmente che 6³ = 11·19 + 7, vale a dire: 6³ ≡ 7 (mod 11); inoltre: 7¹⁰ ≡ 1 (mod 11), grazie a Fermat, per cui 7⁴¹ ≡ 7 (mod 11).
Tornando a (6³)⁴¹ - 7, ho immediatamente (11·19 + 7)⁴¹ ≡ 7⁴¹ ≡ 7 (mod 11) e dunque 6¹²³ - 7 ≡ 0 (mod 11).
Riguardo ad a), per dimostrare la divisibilità per 7, osservo che 3⁶ = 729 ≡ 1 (mod 7), perciò 3⁵³⁵ ≡ 3 (mod 7), dal momento che 535 = 6·89 +1.
La conclusione cercata, a questo punto, è immediata.
Molto bene.
PuntualeGianfranco ha scritto: ↑sab ago 29, 2020 11:30 am
La domanda è se i numeri dati "possono" (o "potrebbero"?) essere numeri primi.
Il numero $\;6^{123}-7$ potrebbe essere primo perché è del tipo $6n-1$
Anche il numero $\;3^{535}-10$.
Ma probabilmente nessuno dei due numeri è primo.
Riguardo a b), per dimostrare la divisibilità per 11, osservo che 6¹²³ - 7 = (6³)⁴¹ - 7.
Ora, si trova facilmente che 6³ = 11·19 + 7, vale a dire: 6³ ≡ 7 (mod 11); inoltre: 7¹⁰ ≡ 1 (mod 11), grazie a Fermat, per cui 7⁴¹ ≡ 7 (mod 11).
Tornando a (6³)⁴¹ - 7, ho immediatamente (11·19 + 7)⁴¹ ≡ 7⁴¹ ≡ 7 (mod 11) e dunque 6¹²³ - 7 ≡ 0 (mod 11).
Riguardo ad a), per dimostrare la divisibilità per 7, osservo che 3⁶ = 729 ≡ 1 (mod 7), perciò 3⁵³⁵ ≡ 3 (mod 7), dal momento che 535 = 6·89 +1.
La conclusione cercata, a questo punto, è immediata.
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Re: Può essere?
Relativamente a 7^345-2 , Decimal Basic non ci credeva ed ha voluto quindi verificare a modo suo, cercando il valore dell'ultima cifra dell'espressione:
LET a=7
FOR m=1 TO 344
LET b=a*7
LET b$=right \$(STR\$(b),1)
LET a=VAL(b\$)
next M
PRINT "ultima cifra ="; a-2
END
LET a=7
FOR m=1 TO 344
LET b=a*7
LET b$=right \$(STR\$(b),1)
LET a=VAL(b\$)
next M
PRINT "ultima cifra ="; a-2
END
_________________
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
Re: Può essere?
Esatto, Pasquale.
Infatti, per dimostrare la divisibilità per 5 di 7ⁿ - 2, è sufficiente osservare le sue cifre finali, senz'altro cicliche essendo notoriamente cicliche quelle di 7ⁿ. In particolare, per n ≥ 1, abbiamo: 5, 7, 1, 9, 5, 7, 1, 9, ..., e il gioco è fatto
Infatti, per dimostrare la divisibilità per 5 di 7ⁿ - 2, è sufficiente osservare le sue cifre finali, senz'altro cicliche essendo notoriamente cicliche quelle di 7ⁿ. In particolare, per n ≥ 1, abbiamo: 5, 7, 1, 9, 5, 7, 1, 9, ..., e il gioco è fatto
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}