Numeri quadrati perfetti che contengono solo due cifre distinte

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Gianfranco
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Numeri quadrati perfetti che contengono solo due cifre distinte

Messaggio da Gianfranco »

Cari amici, propongo anche qui un problema che si trova nella home per chi vuole discuterne.

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Versione facile.
Immagina un numero di duecento cifre formato da cento "2" e cento "4".
Dimostra che, in qualunque modo siano disposte le cifre, tale numero non sarà mai un quadrato perfetto.
Questo problema si può risolvere a mente con le nozioni matematiche che si imparano in prima media.

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Versione difficile.
$6661661161 = 81619^2$
Il numero 6661661161 è il più grande numero conosciuto che sia un quadrato, contenga soltanto due cifre distinte e non termini per 0.
Trova un numero più grande che abbia le stesse caratteristiche oppure dimostra che non esiste.
Questo è un problema non ancora risolto.
Vedi la sequenza A018884 - Squares using at most two distinct digits, not ending in 0 su OEIS.
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Re: Numeri quadrati perfetti che contengono solo due cifre distinte

Messaggio da Bruno »

Gianfranco ha scritto:
dom ago 23, 2020 9:11 pm
Immagina un numero di duecento cifre formato da cento "2" e cento "4".
Dimostra che, in qualunque modo siano disposte le cifre, tale numero non sarà mai un quadrato perfetto.
Questo problema si può risolvere a mente con le nozioni matematiche che si imparano in prima media.

Vero :wink:

In effetti, detto $\displaystyle \,d\,$ il numero dei 2, se a $\displaystyle \,4\cdot d\,$ sommo 2, 3, 5, 6 oppure 8 e al valore ottenuto aggiungo o tolgo un multiplo di 9 (purché il risultato sia positivo), trovo quanti 4 posso assumere per non avere con immediata certezza un quadrato perfetto.

Resta poi da vedere se un numero formato solo di 2 e 4 possa essere un quadrato perfetto.

Una piccola curiosità: possiamo trovare infiniti quadrati che terminano con ...44444444444444|222222222222222224, inserendo a piacere (o togliendo, finché è possibile) dei 42 in corrispondenza di "|".
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Re: Numeri quadrati perfetti che contengono solo due cifre distinte

Messaggio da Gianfranco »

Bruno ha scritto:
lun ago 24, 2020 10:10 am
Resta poi da vedere se un numero formato solo di 2 e 4 possa essere un quadrato perfetto.

Una piccola curiosità: possiamo trovare infiniti quadrati che terminano con ...44444444444444|222222222222222224, inserendo a piacere dei 42 in corrispondenza di "|".
1) Giusta osservazione, ma non ho sparato due cifre a caso: un risultato di Chai Wah Wu del 2019 elenca le coppie possibili, tra le quali c'è (2,4).
Tuttavia tale coppia non compare tra i quadrati attualmente conosciuti (vedi https://oeis.org/A018884)
Perciò si potrebbe cambiare il testo del problema usando la coppia (4,9) oppure (5,2) per le quali il problema si risolve allo stesso modo.

2) Bella la curiosità.
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Re: Numeri quadrati perfetti che contengono solo due cifre distinte

Messaggio da Bruno »

Gianfranco ha scritto:
lun ago 24, 2020 11:22 am
...ma non ho sparato due cifre a caso: un risultato di Chai Wah Wu del 2019 elenca le coppie possibili, tra le quali c'è (2,4).

Lo so :wink:
Vedremo se esistono quadrati di quel tipo, se qualcuno li troverà.
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Re: Numeri quadrati perfetti che contengono solo due cifre distinte

Messaggio da Gianfranco »

Bruno ha scritto:
lun ago 24, 2020 11:36 am
Vedremo se esistono quadrati di quel tipo, se qualcuno li troverà.
Riguardo al testo del problema, ci sto ripensando e forse lo modificherò, nel sito.
Si potrebbe usare la coppia (4,0) per la quale si può verificare mentalmente e facilmente che esistono dei (infiniti) quadrati contenenti soltanto quelle due cifre.
Ma non sono sicuro, perché volevo escludere lo 0.
Oppure la coppia (1,4) per cui esistono due quadrati "facili" 144, 441.
Sono indeciso...

Riguardo alla tua soluzione, devo ammettere che non l'ho capita, anche se ho verificato che per d=100 non si ha un quadrato perfetto.
La soluzione che conosco è molto più semplice e immediata.
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Re: Numeri quadrati perfetti che contengono solo due cifre distinte

Messaggio da Bruno »

Gianfranco ha scritto:
lun ago 24, 2020 12:14 pm
Riguardo alla tua soluzione, devo ammettere che non l'ho capita, anche se ho verificato che per d=100 non si ha un quadrato perfetto.
La soluzione che conosco è molto più semplice e immediata.

Gianfranco, mi sono spinto verso qualcosa di più generale :wink:

Nel caso da te proposto, abbiamo che 2·100+4·100 = 600 è la somma delle cifre di tutti i naturali componibili con le quantità fissate di 2 e 4. Ma 6 (la radice numerica, ossia il resto della divisione per 9) non è 1, 4, 7 o 9 (0), cioè una delle possibili radici numeriche dei quadrati perfetti.
Questo è quanto ho visto a mente.

Da qui, ho valutato altre possibilità oltre alla scelta di "100 e 100", includendo tutte le radici numeriche vietate, vale a dire 2, 3, 5, 6 e 8. In definitiva, ho cercato x, y tali che 2·x + 4·y fornisse un numero caratterizzato da una delle radici numeriche appena scritte.

Spero di essere stato un po' più chiaro :D
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Re: Numeri quadrati perfetti che contengono solo due cifre distinte

Messaggio da Gianfranco »

Ora ho capito perfettamente il tuo ragionamento, grazie Bruno.

Nella scuola media probabilmente i ragazzi non sanno delle possibili radici numeriche dei numeri quadrati.
Ma possono notare che la somma delle cifre del nostro numero è 2·100+4·100 = 600 e dedurre che esso è divisibile per 3 ma non per 9, quindi non può essere un quadrato.
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Re: Numeri quadrati perfetti che contengono solo due cifre distinte

Messaggio da Bruno »

Perfetto :D
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Re: Numeri quadrati perfetti che contengono solo due cifre distinte

Messaggio da Bruno »

Altri singolari quadrati, aggiungendo un 6, si possono trovare in questo modo:

(64,)
4624,
446224,
44462224,
4444622224,
444446222224,
44444462222224,
4444444622222224, e così via.


Un'altra carina figura aritmetica di quadrati:

(1444,)
114244,
11142244,
1111422244,
111114222244,
11111142222244,
1111111422222244,
111111114222222244,
11111111142222222244, etc.


Un quadrato terminante con tre 4 deve avere la quart'ultima cifra dispari, quindi non può essere 2.
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