La x di un triangolo.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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La x di un triangolo.

Messaggio da Bruno »

B5-ABCx.jpg
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panurgo
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Re: La x di un triangolo.

Messaggio da panurgo »

Garzoncello scherzoso: ho rifatto il disegno e viene un filino diverso :roll:
LaXDiUnTtriangolo.01.480x690.png
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Intanto se $1+1=2$ allora $180^\circ-75^\circ-30^\circ=75^\circ$ quindi il triangolo $\text{ABC}$ è isoscele
LaXDiUnTtriangolo.03.480x690.png
LaXDiUnTtriangolo.03.480x690.png (31.56 KiB) Visto 252 volte
Di conseguenza lo è anche $\text{BCD}$ e, essendo $b$ la base del triangolo, abbiamo che

$\displaystyle \text{BD}:b=b:l$

con $l=\text{AB}$.
Osserviamo che $\sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$, $\cos75^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4$ e $\sin75^\circ\cdot\cos75^\circ=\frac14$. Quindi

$\displaystyle l=\frac{b}{2 \cos 75^\circ} = 2b \sin 75^\circ=b\frac{\sqrt6+\sqrt2}2$

e

$\displaystyle \text{BD}=\frac{b^2}{l} = 2b \cos 75^\circ=b\frac{\sqrt6-\sqrt2}2$

mentre

$\displaystyle \text{CE}=l-\text{BD}=\sqrt2 b$

L'angolo $\text{DCE}$ è di $45^\circ$, $\text{CD}=b$ perché $\text{BCD}$ è isoscele e il rapporto tra i due lati dell'angolo è $\sqrt2$: il triangolo $\text{CDE}$ è un mezzo quadrato e $x=45^\circ$.

Qualcuno può fornire una dimostrazione sintetica (solo geometria)?
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"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Bruno
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Re: La x di un triangolo.

Messaggio da Bruno »

panurgo ha scritto:
gio ago 06, 2020 7:44 pm
Garzoncello scherzoso: ho rifatto il disegno e viene un filino diverso :roll:

Quello è lo schema su cui ho dovuto lavorare io :D
D'altra parte, sai bene che i disegni sono facilmente ingannevoli in questi problemi e bisogna tener conto di ben altre cose.
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Bruno
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Re: La x di un triangolo.

Messaggio da Bruno »

Caro Guido, eccoti una risoluzione sintetica, la riporto come l'ho immaginata :wink:
Rileggendola, avrei potuto renderla ancora più sintetica, ma la lascio così.

Ho considerato lo schema come è stato proposto, aggiungendo solo le lettere sui punti rilevanti.

B5-LaIcsDelTriangolo.jpg
B5-LaIcsDelTriangolo.jpg (15.34 KiB) Visto 229 volte

Naturalmente, il triangolo dato è isoscele e AM è congruente a NC.
Ho creato sul lato AC un'immagine speculare del triangolo.
Ho collegato M ed M' e questo mi ha permesso di stabilire, immediatamente, che MM' misura $b$.
Poiché l'angolo MCM' ha un'ampiezza di 90° (in base ai dati forniti), il triangolo MCM' è la metà di un quadrato ed MM'
è una diagonale, perciò MC ≡ M'C misurano $\frac{b}{\sqrt{2}}$.
Guardando il triangolo MCN, con i lati $\frac{b}{\sqrt{2}}$ e $b$ e l'angolo compreso di 45°, si deduce subito che anche tale triangolo
è la metà di un quadrato ed NC è una diagonale.
Dunque: $\;x = 45°$ :D
Il tutto, a dispetto delle apparenze :wink:

A dir le cose ci si mette di più che a farle...
Chiaramente, come spesso accade, ci possono essere altri approcci.
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