Sequenza per futuri veterinari

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Gianfranco
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Sequenza per futuri veterinari

Messaggio da Gianfranco »

Cari amici, questa è una fedele riproduzione di un quesito tratto dai test di ammissione a veterinaria, anno accademico 2018-2019.

---
seq_veterinaria.png
seq_veterinaria.png (11.64 KiB) Visto 1438 volte
---

a) Voi come lo risolvereste? Siete liberi di inventare anche soluzioni diverse da quelle indicate.

b) La risposta "ufficiale" mi lascia alquanto perplesso. La riporterò fra qualche giorno. Come si potrebbe correggere la risposta "ufficiale" cambiando poche parole?
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Sequenza per futuri veterinari

Messaggio da Bruno »

Convince poco anche me la risposta 'ufficiale' :roll:

Comunque, questo segmento iniziale di sequenza è abbastanza noto nel mondo delle partizioni e c'è un bel modo di riprodurlo, utilizzando una sequenza fondamentale, ma il termine richiesto non compare fra quelli proposti.

Proverò a cercare qualche soluzione 'alternativa' :D
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Re: Sequenza per futuri veterinari

Messaggio da panurgo »

Io direi $42$ perchè la sequenza $1,\,2,\,4,\,7,\,12,\,19,\,30,\,42$ è l'unica delle cinque che compare nell'OEIS un numero dispari di volte...
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Re: Sequenza per futuri veterinari

Messaggio da franco »

Immagino che la risposta ufficiale sia 43, nel qual caso lascerebbe perplesso anche me ...

In ogni caso 42 è la risposta per eccellenza! :D
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Re: Sequenza per futuri veterinari

Messaggio da panurgo »

Ça va sans dire...
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Re: Sequenza per futuri veterinari

Messaggio da Info »

Risposta 43 perchè ogni volta somma il numero primo successivo, quindi 19+11=30 e, in successione, 30+13=43
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Bruno
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Re: Sequenza per futuri veterinari

Messaggio da Bruno »

:D

Ecco infatti queste somme parziali che riproducono, in modo abbastanza semplice, i numeri dati:

$ \lfloor \left (\frac{3}{2} \right)^0\rfloor,
\lfloor \left (\frac{3}{2} \right)^0\rfloor + \lfloor \left (\frac{3}{2} \right)^1\rfloor,\,
\lfloor \left (\frac{3}{2} \right)^0\rfloor + \lfloor \left (\frac{3}{2} \right)^1\rfloor + \lfloor \left (\frac{3}{2} \right)^2\rfloor,\,
\lfloor \left (\frac{3}{2} \right)^0\rfloor + \lfloor \left (\frac{3}{2} \right)^1\rfloor + \lfloor \left (\frac{3}{2} \right)^2\rfloor+ \lfloor \left (\frac{3}{2} \right)^3\rfloor,\, ...{\small \, = \, 1,\, 2,\, 4,\, 7,\, 12,\, 19,\, 30,\, \underline{47},\, 72,\, ...} $
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Re: Sequenza per futuri veterinari

Messaggio da Bruno »

45 (nuova soluzione) con operazioni simili :wink:

Prendo le potenze di 2 ripetute due volte: 1, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 8, 16, 16, ...

Ora calcolo queste somme:
1,
1 +1 = 2,
2 + 1 = 3,
3 + 2 = 5,
5 + 2 = 7,
7 + 4 = 11,
11 + 4 = 15,
15 + 8 = 23, etc.

Così ottengo: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 23, 31, ...

Ripeto il procedimento:
1,
1 + 1 = 2
2 + 2 = 4,
4 + 3 = 7,
7 + 5 = 12,
12 + 7 = 19,
19 + 11 = 30,
30 + 15 = 45,
45 + 23 = 68, etc.


------------------
Poscritto.
Gianfranco, circa dieci giorni fa ti ho mandato una mail su gmail.com: ti è capitato di leggerla?
Non rispondermi qui, cancellerò questo ps, l'ho scritto solo per avvisarti :wink:
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Re: Sequenza per futuri veterinari

Messaggio da franco »

Info ha scritto:
ven lug 24, 2020 10:25 pm
Risposta 43 perchè ogni volta somma il numero primo successivo, quindi 19+11=30 e, in successione, 30+13=43
Molti "professionisti" affermano che 1 non è un numero primo.

E proprio per quel motivo che il 43 non mi convinceva completamente ...
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Re: Sequenza per futuri veterinari

Messaggio da Info »

1 rimane divisibile solo per 1, non per 1 e per se stesso.... ha solo un fattore
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Re: Sequenza per futuri veterinari

Messaggio da panurgo »

Il motivo per cui $1$ non è considerato un numero primo è che così si semplificano molti teoremi, primo fra tutti il Teorema fondamentale dell'Aritmetica.

Se $1$ fosse primo allora ogni numero intero sarebbe rappresentabile come prodotto di numeri primi in infiniti modi. Es. $33=3\cdot 11=1\cdot3\cdot 11=1^2\cdot3\cdot 11=1^3\cdot3\cdot 11\ldots$
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Re: Sequenza per futuri veterinari

Messaggio da panurgo »

panurgo ha scritto:
dom lug 26, 2020 9:28 pm
Se $1$ fosse primo allora ogni numero intero sarebbe rappresentabile come prodotto di numeri primi in infiniti modi. Es. $33=3\cdot 11=1\cdot3\cdot 11=1^2\cdot3\cdot 11=1^3\cdot3\cdot 11\ldots$
Se escludiamo $1$ allora la rappresentazione degli interi come prodotto di numeri primi è univoca

$\begin{array}{lC}
\displaystyle 2=2^1\cdot 3^0\cdot 5^0\cdot 7^0\cdot 11^0\cdots \\
\displaystyle 3=2^0\cdot 3^1\cdot 5^0\cdot 7^0\cdot 11^0\cdots \\
\displaystyle 4=2^2\cdot 3^0\cdot 5^0\cdot 7^0\cdot 11^0\cdots \\
\displaystyle 5=2^0\cdot 3^0\cdot 5^1\cdot 7^0\cdot 11^0\cdots \\
\displaystyle 6=2^1\cdot 3^1\cdot 5^0\cdot 7^0\cdot 11^0\cdots \\
\quad\vdots
\end{array}
$

L'ordine di ciascun numero è la somma degli esponenti nel prodotto: $2$, $3$ e $5$ sono numeri primi; $4$ e $6$ sono numeri "secondi"; $12$ è un numero "terzo" ecc.

Essendo $1=2^0\cdot 3^0\cdot 5^0\cdot 7^0\cdot 11^0\cdots$ si ha che è un numero meno che primo: il numero "zeresimo" :wink:
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Re: Sequenza per futuri veterinari

Messaggio da panurgo »

Rincaro la dose: consideriamo la relazione ricorsiva

$\displaystyle a_n= c_1\,a_{n-1} + c_2\,a_{n-2} + c_3\,a_{n-3} + c_4\,a_{n-4}$

e impostiamo il sistema di equazioni

$\left\{\begin{array}{lC}
12 = 7c_1 + 4c_2+2c_3+c_4 \\
19 = 12c_1 + 7c_2+4c_3+2c_4 \\
30 = 19c_1 + 12c_2+7c_3+4c_4 \\
a_8 = 30c_1 + 19c_2+12c_3+7c_4
\end{array}\right.$

In forma matriciale

$\left(\begin{array}{cC}
7 & 4 & 2 & 1 \\
12 & 7 & 4 & 2 \\
19 & 12 & 7 & 4 \\
30 & 19 & 12 & 7
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cC}
c_1 \\
c_2 \\
c_3 \\
c_4
\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{cC}
12 \\
19 \\
30 \\
a_8
\end{array}\right)$

la cui soluzione è

$\left(\begin{array}{cC}
c_1 \\
c_2 \\
c_3 \\
c_4
\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{cC}
7 & 4 & 2 & 1 \\
12 & 7 & 4 & 2 \\
19 & 12 & 7 & 4 \\
30 & 19 & 12 & 7
\end{array}\right)^{-1}
\left(\begin{array}{cC}
12 \\
19 \\
30 \\
a_8
\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{cC}
3 & -1 & -2 & 1 \\
-4 & 1 & 4 & -2 \\
-7 & 5 & 1 & -1 \\
10 & -7 & -4 & 3
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cC}
12 \\
19 \\
30 \\
a_8
\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{cC}
a_8-43 \\
91-2a_8 \\
41-a_8 \\
3a_8-133
\end{array}\right)$

La successione $1,\,2,\,4,\,7,\,12,\,19,\,30,\,a_8$ è generata dalla relazione ricorsiva

$\displaystyle a_n= \left(a_8-43\right)a_{n-1} + \left(91-2a_8\right)a_{n-2} + \left(41-a_8\right)a_{n-3} + \left(3a_8-133\right)a_{n-4}$

con le condizioni iniziali $a_0=1$, $a_1=2$, $a_2=4$ e $a_3=7$ e con $a_8$ che può assumere qualunque valore intero.

In questo modo abbiamo dimostrato che non c'è una risposta "giusta" a questo tipo di domande.

Se volete un esempio proviamo con il famigerato $42$: la successione $1,\,2,\,4,\,7,\,12,\,19,\,30,\,42,\ldots$ è generata dalla relazione ricorsiva

$\displaystyle a_n= - a_{n-1} + 7a_{n-2} - a_{n-3} - 7a_{n-4}$

con le condizioni iniziali $a_0=1$, $a_1=2$, $a_2=4$ e $a_3=7$ quindi

$\displaystyle 42= - 30 + 7 \cdot 19 - 12 - 7\cdot 7$

provare per credere!
il panurgo

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Re: Sequenza per futuri veterinari

Messaggio da Bruno »

panurgo ha scritto:
mar lug 28, 2020 9:12 am
(...)
In questo modo abbiamo dimostrato che non c'è una risposta "giusta" a questo tipo di domande.
(...)
provare per credere!

Naturalmente è così :D

Le quattro condizioni iniziali rendono senz'altro più semplice trovare una risposta, sia pure secondo i gusti personali :wink:
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