Una collezione di pesi in ottone

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franco
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Una collezione di pesi in ottone

Messaggio da franco »

Zommaria ha una collezione di pesi in ottone, di quelli usati per le vecchie bilancie a piatti.
Questi pesi, non necessariamente tutti di massa distinta, possono essere divisi in 4 lotti oppure in 5 lotti oppure in 6 lotti in modo che per ciascuna suddivisione i lotti abbiano la stessa massa.
Determinare il numero minimo di pesi della collezione spiegando la risposta.

www.diophante.fr
A638

Z. dispose d’une collection de poids en laiton de masses pas nécessairement distinctes qui peut être divisée en quatre lots ou bien en cinq lots ou bien en six lots et pour chaque répartition les lots sont de même masse.
Déterminez le nombre minimal de poids dans cette collection.Justifiez votre réponse.
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

panurgo
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Re: Una collezione di pesi in ottone

Messaggio da panurgo »

I pesi possono essere (unità di misura, per esempio, grammi) $1$, $2$, $5$, $10$, $20$ ecc.; poiché devono poter essere divisi in $4$, $5$ e $6$ gruppi di ugual massa, la massa totale deve essere

$\displaystyle m = 4\cdot m_4 = 5\cdot m_5 = 6\cdot m_6$

Il valore minimo di $m$ è il minimo comune multiplo di $4$, $5$ e $6$: $60$

$\displaystyle 60 = 4\cdot 15 = 5\cdot 12 = 6\cdot 10$

Cominciamo con formare sei gruppi da $10$

$\displaystyle 10\quad 10\quad 10\quad 10\quad 10\quad 10$

uno di questi gruppi deve essere suddiviso per formare cinque gruppi da dodici

$\displaystyle 10\quad 10\quad 10\quad 10\quad 10\quad 2+2+2+2+2 \quad\Longrightarrow \quad 10+2\quad 10+2\quad 10+2\quad 10+2\quad 10+2$

mentre per arrivare a quattro gruppi da $15$ dobbiamo suddividerne due

$\displaystyle 10\quad 10\quad 10\quad 5+5\quad 5+5\quad 2+2+2+2+2 \quad\Longrightarrow \quad 10+5\quad 10+5\quad 10+5\quad 5+2+2+2+2+2$

per un totale di dodici pesi.

Non è strano che franco faccia riferimento ad un sito francese: se il problema fosse stato postato su un ipotetico www.diophantus.co.uk avremmo avuto dei pesi imperiali
UnaCollezioneDiPesiInOttone.01.JPG
UnaCollezioneDiPesiInOttone.01.JPG (47.34 KiB) Visto 278 volte
Ogni peso è la meta del peso immediatamente più grande (ovvero il doppio di quello immediatamente più piccolo): poiché il peso da $16$ (once) è troppo grande per entrare in gruppi da $10$ abbiamo a disposizione pesi da $1$, $2$, $4$ e $8$.

Per fare $15$ con questi pesi è necessario averne almeno uno di ciascuno: quattro gruppi da quindici sono dunque

$\displaystyle 8+4+2+1\quad 8+4+2+1\quad 8+4+2+1\quad 8+4+2+1$

per un totale di sedici pesi.

Cinque gruppi da dodici sono

$\displaystyle 8+4\quad 8+2+2\quad 8+2+1+1\quad 8+2+1+1\quad 4+4+4$

mentre sei gruppi da dieci sono

$\displaystyle 8+2\quad 8+2\quad 8+2\quad 8+2\quad 4+4+1+1\quad 4+4+1+1$

:wink:
il panurgo

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