La più piccola delle sei.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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La più piccola delle sei.

Messaggio da Bruno »

Assumendo uguale a 1 il raggio della circonferenza verde, quanto misura quello della circonferenza blu?

B5 - 6 circonferenze.jpg
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franco
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Re: La più piccola delle sei.

Messaggio da franco »

0,17157287525381 ?
Franco

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Bruno
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Re: La più piccola delle sei.

Messaggio da Bruno »

Sì.
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franco
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Re: La più piccola delle sei.

Messaggio da franco »

piccola.PNG
piccola.PNG (125.02 KiB) Visto 492 volte
Ho ruotato per comodità l'immagine di 45°.

Chiamo $r$ il raggio dei cerchi neri e $x$ quello incognito del cerchio blu.

Il diametro rosso è $4r+2x=2$
il quadrato viola ha lato pari a $2r$ e diagonale pari a $2r+2x$.

Da li in avanti i passaggi sono semplici e portano a
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Franco

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Bruno
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Re: La più piccola delle sei.

Messaggio da Bruno »

Ottimo, Franco, questa è una via :D
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Bruno
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Re: La più piccola delle sei.

Messaggio da Bruno »

Una piccola costruzione e me la sono cavata con un paio di immediate differenze :wink:
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panurgo
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Re: La più piccola delle sei.

Messaggio da panurgo »

LaPiùPiccolaDelleSei.01.480x480.png
LaPiùPiccolaDelleSei.01.480x480.png (29.31 KiB) Visto 420 volte
Mi è venuto da chiedermi quanta parte del cerchio grande sia occupata dai cerchi piccoli "concentrici"...
il panurgo

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Bruno
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Re: La più piccola delle sei.

Messaggio da Bruno »

Intanto riporto la mia risoluzione per il problema iniziale.
Con un paio di semplici differenze arrivo alla risposta.

B5 - 6 circonferenze - r blu.jpg
B5 - 6 circonferenze - r blu.jpg (18.33 KiB) Visto 411 volte


Questo schema mi permette di vedere che, se 1 è il raggio della circonferenza circoscritta alle quattro circonferenze più piccole, allora $\small\,\sqrt 2-1\,$ è il raggio di ognuna di tali circonferenze.
Per passare dalla circonferenza di raggio 1 alla circonferenza di raggio AC devo moltiplicare 1 per $\small\,3-2\cdot \sqrt 2\,$, che è $\small\,(\sqrt 2-1)^2$, e così mi ritrovo in una situazione ridotta ma simile alla precedente, dove posso considerare il secondo livello di quattro circonferenze. Il raggio di ognuna di esse è $\small (\sqrt 2-1)^2\cdot (\sqrt 2-1) = (\sqrt 2 -1 )^3$.

Di questo passo ottengo, a discesa, i seguenti raggi $\small\,\sqrt 2 -1, \, (\sqrt 2 -1 )^3, \, (\sqrt 2 -1 )^5, \, (\sqrt 2 -1 )^7, \,...$

La somma delle aree dei vari livelli di circonferenze, dovendo trattare una progressione geometrica condotta all'infinito, è di facile determinazione:
$\sum_{i=0}^\infty\, {\small 4\cdot \left [(\sqrt 2-1)^{2\cdot i+1}\right ]^2\cdot \pi} = \frac{\pi \cdot \sqrt 2}{2}$.

Pertanto, direi che il cerchio grande è occupato dagli infiniti cerchi interni per il $\; {\small 70,7 \,\% }\simeq \frac{\sqrt 2}{2}$.
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Re: La più piccola delle sei.

Messaggio da panurgo »

LaPiùPiccolaDelleSei.02.480x480.png
LaPiùPiccolaDelleSei.02.480x480.png (30.89 KiB) Visto 396 volte
L’angolo in figura vale $\frac{\pi}{n}$, dove $n$ è il numero di circonferenze tangenti alla circonferenza esterna: abbiamo

$\displaystyle r=\left(1-r\right)\sin{\frac{\pi}{n}}$

cioè

$\displaystyle r=\frac{\sin{\frac{\pi}{n}}}{1+\sin{\frac{\pi}{n}}}$
LaPiùPiccolaDelleSei.03 .480x480.png
LaPiùPiccolaDelleSei.03 .480x480.png (30.9 KiB) Visto 396 volte
La più piccola delle sei è simile alla più grande delle sei quindi è sufficiente calcolare il rapporto tra le aree nella corona circolare esterna, rapporto che rimane invariato per tutte le infinite corone circolari interne

$\displaystyle \frac{n\pi r^2}{\pi-\pi\left(1-2r\right)^2}=\frac{n}4\cdot\frac{r}{1-r}=\frac{n}4\sin\frac{\pi}{n}$
LaPiùPiccolaDelleSei.04.480x480.png
LaPiùPiccolaDelleSei.04.480x480.png (44.09 KiB) Visto 396 volte
Il risultato è valido qualunque sia il numero di circonferenze nella corona circolare esterna anche se, al crescere di $n$, la più piccola delle $n+2$ non è più la più piccola :wink:
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Re: La più piccola delle sei.

Messaggio da Bruno »

Fantastico, Guido :D
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panurgo
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Re: La più piccola delle sei.

Messaggio da panurgo »

A titolo di curiosità

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n}4\sin\frac{\pi}{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}4\left[\frac1{1!}\frac{\pi}{n} - \frac1{3!}\left(\frac{\pi}{n}\right)^3 + \frac1{5!}\left(\frac{\pi}{n}\right)^5 - \cdots\right] = \frac{\pi}4 \lim_{n\to\infty}\left[1 - \frac1{3!}\left(\frac{\pi}{n}\right)^2 + \frac1{5!}\left(\frac{\pi}{n}\right)^4 - \cdots\right] = \frac{\pi}4\approx 78,5\;\%$
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Re: La più piccola delle sei.

Messaggio da Bruno »

Infatti.
E due soli cerchi interni occupano la metà del cerchio iniziale.
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