Razionale o irrazionale?

[Gianfranco]

Carissimi amici,

ho terminato di leggere, per la terza volta, il testo di Richard Dedekind intitolato "Continuità e numeri irrazionali" e questi argomenti diventano per me ogni volta sempre più inafferrabili.
Più tento di cancellare le incrostazioni scolastiche e più mi sfuggono i numeri irrazionali. Questi oggetti, la cui ESISTENZA mi sembrava così solida, svaniscono nelle nebbie della mia mente.

Ad esempio, quali dei seguenti numeri sono razionali e quali irrazionali?

$\log_{10} 20$

$\sqr 5$

$\sqr{10}^{\log_{10} 9}$


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I numeri interi li ha creati il Demiurgo.
I numeri razionali li ha costruiti un Uomo Ragionevole.
I numeri irrazionali sono opera di quel pazzo di Ippaso

Detto attribuito a Zalmoxis, lo schiavo di Pitagora.
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Gianfranco

P.S. Se conoscete altri esercizi di questo tipo, vi prego di postarli.

[Br1]

Ad esempio, quali dei seguenti numeri sono razionali e quali irrazionali?

(1) $\;\;\log_{10} 20$

(2) $\;\;\sqr 5$

(3) $\;\;\sqr{10}^{\log_{10} 9}$

(3) $\;\;\sqr{10}^{\log_{10} 9}\/\in\/\mathbb{Q}$

Infatti:

$9\/=\/3^2 \\ \, \\ \log_{\script 10}9\/=\/2\cdot \log_{\script 10}3$

$\frac{\log_{\script 10}9}{2}\cdot\log_{\script 10}10\/=\/\log_{\script 10}3\\ \, \\ \log_{\script 10}10^{\frac{\log_{\script 10}9}{2}}\/=\/\log_{\script 10}3\\ \, \\ 10^{\frac{\log_{\script 10}9}{2}}\/=\/3$



(2) $\;\;\sqr{5}\/\not\in\/\mathbb{Q}$

Altrimenti:

$5\/=\/\frac{p^2}{q^2},\; p,\/q\/\in \mathbb{N}^+,\; \(p,\/q\)\/=\/1\;\to\;\(p+q,\/p-q\)\/=\/2$

Ossia:

$5\cdot\[\(p+q\)q-pq\]\/=\/\[\(p+q\)p-pq\] \\ \,\\ \(5q-p\)\(p+q\)\/=\/4pq\/=\/(p+q)^2-(p-q)^2 \\ \, \\ \to\; p+q\/ |\/ (p-q)^2 \;...$



(1) $\;\;\log_{\script 10} 20\/\not\in\/\mathbb{Q}$

Altrimenti:

$\log_{\script 10}20\/=\/\log_{\script 10}2\cdot 10\/=\/\log_{\script 10}2+1\/\in\/\mathbb{Q}\;\to\;\log_{\script 10}2\/=\/\frac{p}{q},\; p,\/q\/\in \mathbb{N}^+,\; \(p,\/q\)\/=\/1 \\ \, \\ \log_{\script 10}2\/=\/\frac{p}{q}\;\to\;2^q\/=\/10^p\;\to\;2^{q-p}\/=\/5^p\; ...$



... ... ... ... ...


$\;\;\forall \/ n \/\in\/\mathbb{N}-\{0,\/1,\/2\}$: $\;\log_{\script 100}\/ \sqrt[\script n]{\sqrt[\script n-1]{\sqrt[\script n-2]{\/...\/\sqrt[\script 3]{10}}}}\; \in \/ \mathbb{Q}\;$

Meno immediato: $\;\sin\/1^o\/\in\/\mathbb{Q}\;$

[infinito]

Credo che Gianfranco sappia bene che $\sqr{10}^{\log_{10} 9}=3$ e tutte le altre risposte “dirette” alla sua domanda (basta pensare che ha un sacco di “le incrostazioni scolastiche” che gli permettono di risolvere molto meglio di me un tantissimi problemi, in particolare di calcolo).

Ma allora che cosa ha in mente?

Se ho ben capito quello che intende Gianfranco (ma sarà vero? ???), il problema è che
$\sqr{10}^{\log_{10} 9}$ non appartiene all'insieme dei razionali, anche se è un numero “razionale” dell'insieme dei numeri reali, visto che nei razionali non è definita né la radice di dieci, né il logaritmo di 10.
Un po' come non è esatto dire che 6/3 o 2/1 è un numero intero, perché i numeri interi sono le coppie in cui il primo termine è uno dei due simboli “+” o “-” e il secondo è un numero naturale.
Però è corretto dire che l'insieme dei numeri naturali è omeomorfo ad un particolare sottoinsieme degli interi, uno dei razionali, uno dei reali, ecc., ed in questi omomorfismi si corrispondono
“2”, “(+2)”, “2/1” = “6/3”, “(+2)/(+,1)” e anche il “famigerato” “due” dei reali, che lascio descrivere a Gianfranco.

[Br1]

Ciao, Gaspero!

Che Gianfranco conosca molto bene
le risposte a suoi tre esercizi, è fuor di
dubbio. Questo, però, non significa che
non gli facesse piacere presentarceli
anche così, per risolverli semplicemente,
ciascuno secondo le proprie "incrostazioni
scolastiche"

Comunque, trovo molto istruttive le tue
considerazioni, come sempre


...

Rispondendo all'invito di Gianfranco
riguardo a esercizi simili a quelli da lui
proposti, oltre ai due che ho indicato
sopra, scrivo anche questi:

Per quali $\/n\/\in\/\mathbb{N}^+\/$ abbiamo $\/\sqrt{\(3n^{\script 2}+4n+1\)\(3n^{\script 2}+2n\)}\; \in\; \mathbb{Q}\;$

Inoltre: $\/\sqrt[\script 3]{2}\/-\/\sqr{3}\; \in\; \mathbb{Q}\;$

[Gianfranco]

Bruno, ti ringrazio per le dimostrazioni, anche se le ho trovate un po' difficili da seguire, con tutta quella simbologia...

In particolare, quella del logaritmo, io l'avrei dimostrata così (magari è uguale alla tua!)

$\large\sqr{10}^{\log_{10} 9}=\\$

$\large=10^{\frac{1}{2}\cdot2\log_{10} 3}\\$

$\large=10^{\log_{10} 3} = \\$

E qui viene il punto: che cosa è ${\log_{10} 3}$?
Per definizione di logaritmo, è l'esponente da dare a 10 per ottenere 3.
Dunque:

$\large10^{\log_{10} 3} = 3\\$

Ma chi mi garantisce che ESISTE un tale esponente?

Più in generale, le esperessioni di questa forma:

$\large\sqr{a}^{\log_{a} b^2} = b\\$

Se b è razionale e a... allora sono numeri razionali.

Il logaritmo che tu proponi:

$\large\log_{\script 100}\/ \sqrt[\script n]{\sqrt[\script n-1]{\sqrt[\script n-2]{\/...\/\sqrt[\script 3]{10}}}}$

è del tipo:

$\large\log_{100}10^{\frac{1}{3k}}=\\$

$\large=\frac{1}{3k}\cdot\log_{100}10=\\$

$\large=\frac{1}{3k}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6k}\\$

che è un numero razionale, essendo k intero.

Riguardo a:
sen 1° razionale...
ci devo pensare ancora un po' su...

Infinito, i dubbi che mi "tormentano" non sono precisamente quelli a cui hai accennato (anche se certi testi scolastici sono un po' superficiali a riguardo). E' chiaro che se definisco ad esempio gli interi come coppie di naturali, non posso più dire che i naturali sono "tout court" un sottoinsieme degli interi, etc.

Comunque, se non erro, posso definire la radice e il logaritmo nei razionali, e anche nei naturali. Avrà un risultato soltanto in determinati casi.

I miei dubbi sono molto più "primitivi", uno ad esempio è quello a cui ho già accennato prima.
Scusa la domanda scema. Se ti chiedo quanto vale:

$\large5^{\log_{5} 2}$

che cosa mi rispondi e come lo dimostri?

Lo so, sono questioni risolte da almeno 150 anni, ma la matematica per me è un hobby e io non le ho ancora risolte.

Gianfranco

PS Bruno, grazie per gli ulteriori esercizi.

[infinito]

Dunque:

$\large10^{\log_{10} 3} = 3\\$

Ma chi mi garantisce che ESISTE un tale esponente?

Allora, guardiamo se riesco ad essere convincente (supposto di essere convinto). Cercherò di esprimermi con affermazioni “discrete”, in modo da poterle verificare (ed eventualmente correggerle) una per una.
Mi scuso se non sono semplice (... ho poco tempo – e magari non sto neppure rispondendo alla tua domanda)

Supponiamo di stare lavorando nell'insieme dei numeri reali (qui c'è il senso della mia risposta precedente).

- Nel tuo esempio usi “10”, ma avresti anche potuto usare qualunque altro numero, ed anch'io risponderò con esempi particolari, ma considero il mio discorso “generale”.

- “Si sa” che la funzione esponenziale, e quindi quella logaritmica (che ne è l'inversa), è monotona.
In particolare se la base è 10 (“10”? perché non base “5”) le due funzioni sono crescenti.

- Il nocciolo del problema, se ho ben capito, sta nel dimostrare che la funzione esponenziale va dall'insieme dei reali a TUTTO l'insieme dei reali positivi, cioè che l'immagine è un insieme connesso.

- Allora se mi chiedessi “quale «è l'esponente da dare a 10 per ottenere 3»?” inizierei con l'osservare che 10°=1 e che 10¹=10.

- Potrei quindi definire due insiemi “3B” (“più bassi di 3”) e “3A” (“più alti di 3”), tali che 3B={x reali|10^x=3}. Per il punto precedente questi insiemi sono non vuoti. (Spero di essere stato comprensibile, nonostante non usi il Tex.)

- Quindi posso chiamare “3-” il sup(3B) e “3+” l'inf(3A) (perché siamo nei reali).

- Allora si hanno due casi, il primo dei quali è che “3-”=“3+”, nel qual caso “3-” (o anche “3+”, che è uguale) è l'esponente di una potenza di base 10 e di valore 3, cioè il logaritmo cercato. La mia “dimostrazione” sarebbe quindi finita qui.

- Nel secondo caso “3-”“3+”).

- Il nocciolo della dimostrazione (sì, del nocciolo del problema ...) sta nel far vedere che questo è impossibile.

- Pongo d= “3+”-“3-” e suppongo PER ASSURDO che d sia diverso da 0. Devo quindi dimostrare che d=0.

- Ovviamente 10^(“3-”)=3, e non possono sussistere contemporaneamente le due uguaglianze, altrimenti avrei dimostrato che d=0 (l'esponenziale è monotona).

- Allora considero m=10^(d/2). Ovviamente se m=3 m appartiene a “3+”,

- Per le definizioni di “inf” e di “sup” non può valere nessuna Se valesse una due disuguaglianze precedenti, e valgono quindi le uguaglianze.

- Ma se valgono le uguaglianze m coincide con “3-” e “3+”, e d=0.

- L'esponente cercato è quindi “3-” (o anche “3+” o m).

- CVD.

Se ti chiedo quanto vale:

$\large5^{\log_{5} 2}$

che cosa mi rispondi e come lo dimostri?

Qui ho capito meno il tuo dubbio (che mi dici essere diverso dal precedente), comunque ti rispondo.

Pongo $x={\log_{5} 2}$; chiaramente x esiste (si è visto sopra), e, per definizione, è l'esponente di una potenza di base 5 il cui valore è 2, cioè
$\large5^x=2$; Cioè $\large5^{\log_{5} 2}$.
A me sembra convincente: non riesco a capire che cosa ci vedi più di me.

[Br1]

Eh, sì, Gianfranco: le cose che ho scritto
hanno davvero una forma orrenda

Sia sul terzo esercizio che sul secondo,
inoltre, ho cercato di impostare le mie
giustificazioni in maniera diversa da come
spesso mi è capitato di leggere, e pure
questo ha fatto la sua parte infelice...

In effetti, conoscevo già il metodo usato
da Gaspero (e anche da te) per spiegare
la razionalità dei numeri con gli esponenti
logaritmici (che tuttavia resta il migliore),
per questo ho provato un'alternativa...
Però la minestra è la stessa!

Doverosamente, ti ho riscritto in Word le
mie tre risposte e spero di averle rese
almeno un po' più chiare (sempre che non
mi sia sfuggita qualche sciocchezza):
prima, seconda e terza.

Penso, comunque, che tutto ciò non ti
aiuti granché a dissipare i tuoi dubbi e
quindi... passo la palla, dal momento che
stacco per qualche giorno

A presto!

[Gianfranco]

Per Infinito,
ti ringrazio per la risposta che ho letto attentamente. Sto preparando la risposta alla risposta ma mi ci vorrà un po' di tempo (anch'io purtroppo ne ho poco).

Per Bruno,
BUONE VACANZE!!!

mi pare che tu avessi chieso di dimostrare che sin 1° è razionale, ma io ho l'impressione che sin 1° sia irrazionale.

Queste formule fanno parte dell'incrostazione scolastica:
$\sin(3x) = 3\sin x-4sen^3x$
$\sin(5x) = 5\sin x-20\sin^3x+16\sin^5x$

Da queste due si può dedurre, ad esempio, che:
SE sin x è razionale, ALLORA anche sin(3x) e sin (5x) sono razionali.

Procedendo con le incrostazioni, si dimostra che:

sin(nx) = un polinomio in sin x a coefficienti ed esponenti interi (se n è dispari)
vedi: http://mathworld.wolfram.com/Multiple-A ... mulas.html

Sostituendo 1° (un grado) al posto di x:
sin(n*1°) = un polinomio in sin 1° (se n è dispari)

Supponiamo per assurdo che sin 1° sia razionale.

Dunque:
SE sin 1° è razionale ALLORA il seno di un qualunque angolo ampio n dispari gradi è razionale. Ad esempio, anche sin(45°) dovrebbe essere razionale.

Ma $\sin 45 = \frac{\sqr2}{2}$è irrazionale.

Questo contraddice la supposizione.

Dunque sin 1° è irrazionale.

Quante sono le dimostrazioni di irrazionalità NON fatte per assurdo?

Gianfranco

[Br1]

Per Bruno,
BUONE VACANZE!!!

Grazie!

(...) ma io ho l'impressione che sin 1° sia irrazionale.

...è proprio quello che bisognava appurare

Di' pure quel che vuoi, caro Gianfranco, ma
le tue "incrostazioni scolastiche" sono di tutto
riguardo