Dado gratta i dadi

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
franco
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1172
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Dado gratta i dadi

Messaggio da franco »

Corrado (Dado per gli amici) sta impazzendo per un nuovo gratta e vinci.

Il biglietto, che costa 8€, raffigura 12 dadi da grattare.
Se ne possono grattare un numero a piacere scoprendo sotto ognuno una cifra compresa fra 1 e 6 (presenti in modo totalmente casuale).
Se grattando si scopre un 1 la partita è persa; altrimenti si vince un importo in euro pari alla somma dei numeri scoperti.
Evidentemente, gratta gratta aumenta la somma ma aumentano anche le probabilità di trovare un 1.

Quanti dadi bisogna grattare per massimizzare le vincite (o minimizzare le perdite ...)?

www.diophante.fr
G1914
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1486
Iscritto il: mer mag 25, 2005 4:19 pm
Località: bologna

Re: Dado gratta i dadi

Messaggio da delfo52 »

non so se l'approccio è corretto, ma possiamo certamente dire che
-se il gioco non termina, ogni dado tirato (o grattato) rende , in media, 4 euro.
-ad ogni grattata (o lancio) di dado, abbiamo 5 probabilità su 6 di mantenere vivo il gioco
A questo punto, grattando un dado, ci attendiamo 4 x 5/6 = 3,333
Se gratto due dadi, incasserò solo 25 volte su 36 , ma incasserò in media 8 = 5,555
Se gratto tre volte, incasserò solo 125/216 di 12 = quasi 7

se faccio sei tentativi, il valore atteso scende a meno di 6,7

sempre che il ragionamento sia giusto
Enrico

franco
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1172
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Re: Dado gratta i dadi

Messaggio da franco »

il ragionamento è, a mio parere, giusto e concordo con le "aspettative" riferite a 1, 2 o 3 dadi grattati.
Il numero successivo invece non mi torna.

Il problema è piuttosto sempice ma mi è piaciuto farci qualche ragionamento in più che magari condividerò fra qualche giorno ...
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1486
Iscritto il: mer mag 25, 2005 4:19 pm
Località: bologna

Re: Dado gratta i dadi

Messaggio da delfo52 »

errore. con sette lanci, l'aspettativa viene 7,81...
Enrico

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1486
Iscritto il: mer mag 25, 2005 4:19 pm
Località: bologna

Re: Dado gratta i dadi

Messaggio da delfo52 »

passando da un gradino al successivo, il valore va moltiplicato per 5/6 e per il rapporto tra il numero di lanci.
Per cui, a prescindere dal valore, passando da 5 a 6 lanci, il valore (moltiplicandosi per 5/6 e per 6/5) resta invariato. poi, cala
Enrico

franco
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1172
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Re: Dado gratta i dadi

Messaggio da franco »

delfo52 ha scritto:
gio lug 09, 2020 4:54 pm
passando da un gradino al successivo, il valore va moltiplicato per 5/6 e per il rapporto tra il numero di lanci.
Per cui, a prescindere dal valore, passando da 5 a 6 lanci, il valore (moltiplicandosi per 5/6 e per 6/5) resta invariato. poi, cala
:D
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

panurgo
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1329
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Re: Dado gratta i dadi

Messaggio da panurgo »

La probabilità di vincere grattando $k$ dadi è $\left(\frac56\right)^k$ e l'expectation per ogni grattata vincente è $4$ per cui grattando $k$ dadi vinciamo in media $4k\left(\frac56\right)^k$.
In tabella

$\begin{array}{|r|c|c|}
\hline
k & E & \\
\hline
0 & 0 & 0 \\
1 & \frac{10}3 & 3,333\ldots \\
2 & \frac{50}9 & 5,555\ldots \\
3 & \frac{125}{18} & 6,944\ldots \\
4 & \frac{625}{81} & 7,716\ldots \\
5 & \frac{15625}{1944} & 8,037\ldots \\
6 & \frac{15625}{1944} & 8,037\ldots \\
7 & \frac{546875}{69984} & 7,814\ldots \\
8 & \frac{390625}{52488} & 7,442\ldots \\
9 & \frac{1953125}{279936} & 6,977\ldots \\
10 & \frac{48828125}{7558272} & 6,460\ldots \\
11 & \frac{537109375}{90699264} & 5,921\ldots \\
12 & \frac{244140625}{45349632} & 5,383\ldots \\
\hline
\end{array}$

Tra il $5$ e il $6$ il giochino è che $4\cdot 6\left(\frac56\right)^6=4\cdot 6\cdot\frac56\left(\frac56\right)^5=4\cdot 5\left(\frac56\right)^5$.

Ciò detto, non so se l'expecatation sia sufficiente: credo che la strategia di gioco possa dipendere dai valori effettivamente trovati.

Visto che l'expecatation per $5$ (o $6$) dadi è lievemente superiore a $8$ il gioco è favorevole (in media) me, se stessi giocando una schedina e avessi grattato due $6$ mi fermerei lì...
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

franco
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1172
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Re: Dado gratta i dadi

Messaggio da franco »

Il problema, è stato abbondantemente sviscerato.
Posto comunque quanto avevo scritto prima ancora di postare il problema sul forum.
dadodadi1.PNG
dadodadi1.PNG (20.27 KiB) Visto 1024 volte
dadodadi2.PNG
dadodadi2.PNG (27.52 KiB) Visto 1024 volte
dadodadi3.PNG
dadodadi3.PNG (31.41 KiB) Visto 1024 volte
E' interessante anche l'ultimo concetto espresso da Guido: se valga la pena o meno di smettere di grattare (e rischiare) quando si raggiunge una somma superiore all'aspettativa media.
Forse però in tal caso è più semplice fare un programmino si simulazione per vedere se alla lunga conviene fafre così!
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

panurgo
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1329
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Re: Dado gratta i dadi

Messaggio da panurgo »

panurgo ha scritto:
gio lug 09, 2020 8:09 pm
Ciò detto, non so se l'expecatation sia sufficiente: credo che la strategia di gioco possa dipendere dai valori effettivamente trovati.
Prendiamo in considerazione la quantità

$\displaystyle\left\langle S_{n+k}\middle|S_n\wedge k\wedge\top\right\rangle=\left(S_n+4k\right)\left(\frac56\right)^k$

dove

$\begin{array}{|l|l|C}
\hline
S_n & \text{somma vinta finora} \\
\hline
n & \text{numero di dadi grattati} \\
\hline
k & \text{numero di dadi da grattare} \\
\hline
\top & \text{universo del discorso} \\
\hline
\end{array}$

ovvero l’expectation dopo $n$ dadi, nei suoi casi particolari:

Expectation a priori ($n=0$ e $S_n=0$)

$\displaystyle\left\langle S\middle|k\wedge\top\right\rangle=4k\left(\frac56\right)^k$

l’expectation che abbiamo considerato finora, utilissima per la SISAL: nel caso in cui ci siano milioni di giocate permette di calcolare con accuratezza le somme in gioco.
A chi sta giocando una schedina (e non avrà mai la possibilità di giocarne un Grande Numero) torna più utile l’expectation di una grattata in più

$\displaystyle\left\langle S_{n+1}\middle|S_n\wedge\top\right\rangle=\frac{5\left(S_n+4\right)}6$

che scorporariamo in expectation di una grattata in più, in caso di vincita ($V$)

$\displaystyle\left\langle S_{n+1}\middle|S_n\wedge V\wedge\top\right\rangle=S_n+4$

con differenza tra quanto è già nostro e quanto possiamo sperare di avere grattando un altro dado, $\Delta S=4$, ed expectation di una grattata in più, in caso di perdita ($P$)

$\displaystyle\left\langle S_{n+1}\middle|S_n\wedge P\wedge\top\right\rangle=0$

con differenza $\Delta S=-S_n$.
In soldoni, quando giochiamo grattiamo un dado alla volta, il che significa che, per la grattata successiva, l’expectation è $+4$ in caso di vincita e $-S_n$ in caso di perdità: indipendentemente da quanto ci è costato giocare dobbiamo decidere se rischiare la somma già vinta ($S_n$) per vincere $4\text{ Eur}$ in più.
L’expectation

$\displaystyle\left\langle S_{n+1}\middle|S_n\wedge\top\right\rangle=\frac56\left\langle S_{n+1}\middle|S_n\wedge V\wedge\top\right\rangle+\frac16\left\langle S_{n+1}\middle|S_n\wedge P\wedge\top\right\rangle$

è peggio che inutile per una giocata singola: o vinciamo $4\text{ Eur}$ in più o perdiamo tutto.
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Rispondi