Tra le potenze di 2 e i numeri triangolari.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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Tra le potenze di 2 e i numeri triangolari.

Messaggio da Bruno »

Può

$\large 2^n = \triangle_r - \triangle_s$

per qualche n, r ed s ?
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
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Pasquale
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Re: Tra le potenze di 2 e i numeri triangolari.

Messaggio da Pasquale »

$2^n = \frac {2^n \cdot (2^n+1)}{2} - \frac {(2^n-1) \cdot 2^n}{2}$
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\text {     }ciao Immagine ciao
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Bruno
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Re: Tra le potenze di 2 e i numeri triangolari.

Messaggio da Bruno »

Cos'altro possiamo dire, Pasquale?

Il secondo membro dell'equazione proposta può essere inteso come una somma di numeri interi consecutivi :wink:
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Pasquale
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Re: Tra le potenze di 2 e i numeri triangolari.

Messaggio da Pasquale »

Pardon, non ho capito il commento.
Intanto, chiarisco come ho tradotto la soluzione nella formula riportata:
praticamente, ho trasformato tutto in funzione di n, avendo trovato per ogni $2^n$ due nuneri triangolari espressi in funzione della stessa n del 2, la cui differenza risultasse appunto pari a $2^n$.
Se la s e la t, si riferiscono all'ultimo numero degli interi consecutivi a partire da 1 (la cui somma costituisce un numero triangolare), allora le stesse si possono ricavare dal primo numero di cui al numeratore di ciascuna delle due frazioni riportate nella formula, le quali ultime costituiscono le sommatorie $\triangle_r \ e \ \triangle_s$ fra cui effettuare la differenza richiesta.
Mi pare di aver capito che la soluzione possa essere espressa come somma in luogo della differenza (?)
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Bruno
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Re: Tra le potenze di 2 e i numeri triangolari.

Messaggio da Bruno »

Pasquale, la tua è un'identità che vale naturalmente per qualsiasi numero intero: $\;{\large \triangle_m - \triangle_{m-1}} = m$.

Volendo, potremmo scriverla anche per pi greco :mrgreen:

Comunque la risposta è corretta :D anche se la questione, in un più ampio respiro, è meno immediata.


Pasquale ha scritto:
ven giu 26, 2020 5:00 am
Mi pare di aver capito che la soluzione possa essere espressa come somma in luogo della differenza (?)
Infatti. Come puoi interpretare la differenza di due numeri triangolari non contigui?
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Re: Tra le potenze di 2 e i numeri triangolari.

Messaggio da Pasquale »

Nel senso che lo stesso $2^n$ può risultare dalla differenza fra due triangolari contigui o anche non contigui ?
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Bruno
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Re: Tra le potenze di 2 e i numeri triangolari.

Messaggio da Bruno »

In buona sostanza, Pasquale: le potenze di 2 possono essere la somma di numeri naturali consecutivi :?:
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Re: Tra le potenze di 2 e i numeri triangolari.

Messaggio da Gianfranco »

r-esimo numero triangolare:
$$T_r=\frac{r\cdot(r+1)}{2}$$
s-esimo numero triangolare:
$$T_s=\frac{s\cdot(s+1)}{2}$$
Supponendo che r>s>0:
$$T_r-T_s=\frac{\left( r-s\right) \, \left( r+s+1\right) }{2}$$
I due fattori:
$$\left( r-s\right) \, \left( r+s+1\right)$$
hanno parità diversa perciò il loro prodotto non può essere una potenza di 2.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Tra le potenze di 2 e i numeri triangolari.

Messaggio da Gianfranco »

Bruno ha scritto:
ven giu 26, 2020 8:49 am
Come puoi interpretare la differenza di due numeri triangolari non contigui?
Per esempio?
Oppure, qualche indizio?
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Bruno
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Re: Tra le potenze di 2 e i numeri triangolari.

Messaggio da Bruno »

Gianfranco ha scritto:
mar giu 30, 2020 12:01 pm
I due fattori:
$$\left( r-s\right) \, \left( r+s+1\right)$$
hanno parità diversa perciò il loro prodotto non può essere una potenza di 2.
Perfetto :D
Il caso r=s+1 (che rientra in r>s>0) conduce all'identità stabilita all'inizio da Pasquale.

La somma di numeri naturali consecutivi ha almeno un divisore dispari.
Di questo teoremino si è occupato Miquel Albertí in "La creatività matematica".


Gianfranco ha scritto:
mar giu 30, 2020 1:05 pm
Per esempio?
Oppure, qualche indizio?
Il riferimento, come dicevo sopra anche a Pasquale, è alla somma di numeri naturali consecutivi :wink:
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