Che legame c'è tra le potenze pari di base 2 o 3 e la sommatoria di n numeri dispari ?

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
alessandro3172l
Nuovo utente
Nuovo utente
Messaggi: 2
Iscritto il: mar ago 21, 2018 11:32 am

Che legame c'è tra le potenze pari di base 2 o 3 e la sommatoria di n numeri dispari ?

Messaggio da alessandro3172l »

2^2= 1+3
2^4= 1+3+5+7 (4 termini)
2^6= 1+3+5+7+9+11+13+15+ (8 termini)
2^8= 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31 (16 termini)
2^10= 1+3+5............................................ (32 termini)
n termini presi in considerazione radice quadrata di 2^2n
con 3
3^2= 1+3+5
3^4= 1+3+5+7+9+11+13+15+ 17 (9 termini)
3^6= 1+3+5+7+9+11+13+15+17 .... (27 termini)
3^8= 1+3+5+................. (81 termini)

Bruno
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1377
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Re: Che legame c'è tra le potenze pari di base 2 o 3 e la sommatoria di n numeri dispari ?

Messaggio da Bruno »

Ciao, Alessandro :D

C'è, certamente, un legame.

Partiamo dalle potenze pari di $2$.
Consideriamo la somma di tutti i numeri dispari da $1$ a $2^n - 1$.
Per una nota proprietà, la somma dei numeri dispari da $1$ a $2\cdot m-1$ è uguale a un quadrato, in questo caso è $m^2$.
Se poniamo $m = 2^{n-1}$, la somma considerata fornisce $2^{2\cdot(n-1)}$.
Così abbiamo, per $n=5$, $\;2^{2 \cdot 4} = 1+3+5+7+ ... +27+29+31\,$ ($31 = 2^5-1$).

Passiamo adesso alle potenze pari di $3$.
Similmente a quanto visto prima, consideriamo la somma di tutti i numeri dispari da $1$ a $2\cdot 3^n-1$.
Se poniamo $m = 3^n$, la somma considerata porge $3^{2\cdot n}$.
Abbiamo dunque, per $n=4$, $\;3^{2\cdot 4} = 1+3+5+7+ ... +157+159+161\,$ ($161 =2\cdot 3^4-1$).


Più in generale, è:
$\sum_{i=1}^{b^n} {\small (2\cdot i-1)} = b^{2\cdot n}$.
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
(Biagio Marin)

Rispondi