(a - b)² - 2·b² = c².

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panurgo
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Re: (a - b)² - 2·b² = c².

Messaggio da panurgo »

Consideriamo le terne pitagoriche primitive

$\displaystyle\left\{\begin{array}{lC}
\alpha = m^2 - n^2 \\
\beta =2mn \\
\gamma = m^2 + n^2
\end{array}\right.$

con $m>n>0$, $m$ e $n$ primi tra loro. Queste terne sono le soluzioni dell’equazione pitagorica

$\displaystyle \alpha^2 + \beta^2 = \gamma^2$

Riscriviamo l’equazione come differenza

$\displaystyle \left(m^2 + n^2\right)^2 - \left(m^2 - n^2\right)^2 = \left(2mn\right)^2$

I tre termini di questa equazione sono simmetrici rispetto allo scambio di $m$ e $n$: un’analoga simmetria si ha nella terna pitagorica se poniamo $\alpha = \left| m^2 - n^2 \right|$ (il che ha senso in quanto l’equazione contiene $\alpha^2$, non $\alpha$).

Possiamo generalizzare l’equazione pitagorica ponendo

$\displaystyle \left(hm^2 + kn^2\right)^2 - \left(hm^2 - kn^2\right)^2 = hk\left(2mn\right)^2$

con $h$ e $k$ positivi e primi tra loro (eventuali fattori comuni si semplificherebbero): le terne primitive

$\displaystyle\left\{\begin{array}{lC}
\alpha = \left|hm^2 - kn^2\right| \\
\beta =2mn \\
\gamma = hm^2 + kn^2
\end{array}\right.$

non sono più simmetriche rispetto allo scambio di $m$ e $n$: toglieremo dunque la condizione $m>n$ ma, per garantire la primitività, imporremo che siano $h$ e $n$ da un lato, $k$ e $m$ dal’altro, primi tra loro.

Da ogni valore di $\beta/2$, ricaveremo tutte le coppie di fattori $m$ e $n$ che rendono primi tra loro gli elementi delle corrispondenti terne dalla scomposizione in fattori primi

$\displaystyle\left\{\begin{array}{lC}
\frac{\beta}2 = 2^{\beta_2}3^{\beta_3}5^{\beta_5}7^{\beta_7}\cdots \\
h = 2^{h_2}3^{h_3}5^{h_5}7^{h_7}\cdots \\
k = 2^{k_2}3^{k_3}5^{k_5}7^{k_7}\cdots
\end{array}\right.$

Per esempio, nel nostro caso $h=2$ e $k=1$,

$\displaystyle\left\{\begin{array}{lC}
a = \beta + \gamma \\
b = \beta \\
c = \alpha
\end{array}\right.$

e

$\displaystyle \left(a-b\right)^2-2b^2=c^2$

Con $\beta=12$ avremo

$\displaystyle
\left\{\begin{array}{lC}
m\in\left\{2,3\right\} \\
n\in\left\{6,1\right\}
\end{array}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{array}{lC}
\alpha\in\left\{1,71\right\} \\
\beta = 12 \\
\gamma\in\left\{17,73\right\}
\end{array}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{array}{lC}
a\in\left\{29,85\right\} \\
b = 12 \\
c\in\left\{1,71\right\}
\end{array}\right.
$

perché ci sono tre fattori primi distinti ma $h=2$ quindi il fattore primo $2$ può appartenere solo a $m$.

Con $\beta = 18$ avremo

$\displaystyle
\left\{\begin{array}{lC}
m\in\left\{1,9\right\} \\
n\in\left\{9,1\right\}
\end{array}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{array}{lC}
\alpha\in\left\{79,161\right\} \\
\beta = 18 \\
\gamma\in\left\{83,163\right\}
\end{array}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{array}{lC}
a\in\left\{101,181\right\} \\
b = 18 \\
c\in\left\{79,161\right\}
\end{array}\right.
$

perché per il fattore $2$ vale quanto detto prima e il fattore $3^2$ deve essere o "tutto" in $m$ o "tutto" in $n$.

Con $\beta = 210$ avremo

$\displaystyle
\left\{\begin{array}{lC}
m\in\left\{1,3,5,7,15,21,35,105\right\} \\
n\in\left\{105,35,21,15,7,5,3,1\right\}
\end{array}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{array}{lC}
\alpha\in\left\{11023,1207,391,127,401,857,2441,22049\right\} \\
\beta = 210 \\
\gamma\in\left\{11027,1243,491,323,499,907,2459,22051\right\}
\end{array}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{array}{lC}
a\in\left\{11237,1453,701,533,709,1117,2669,22261\right\} \\
b = 210 \\
c\in\left\{11023,1207,391,127,401,857,2441,22049\right\}
\end{array}\right.
$

Qui ci sono tre fattori primi distinti e primi rispetto ad $h$ quindi sono presenti tutte le otto possibili fattorizzazioni di $105$ in due fattori.

Saranno tutte qua, le nostre terne? :roll:
Ultima modifica di panurgo il lun giu 29, 2020 7:14 pm, modificato 1 volta in totale.
il panurgo

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Re: (a - b)² - 2·b² = c².

Messaggio da Bruno »

panurgo ha scritto:
lun giu 29, 2020 3:18 pm
Con $\beta = 18$ avremo

$\displaystyle
...
\Longrightarrow
\left\{\begin{array}{lC}
a\in\left\{101,181\right\} \\
b = 12 \\
c\in\left\{79,161\right\}
\end{array}\right.
$
Qui b=18, Guido ;)

panurgo ha scritto:
lun giu 29, 2020 3:18 pm
Saranno tutte qua, le nostre terne? :roll:
Per i $\beta$ considerati e (a,c)=1, fatto un veloce controllo, direi di sì.
Invisibile un vento
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e la bola iridessente gera 'ndagia.
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panurgo
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Re: (a - b)² - 2·b² = c².

Messaggio da panurgo »

Grazie della segnalazione.

Io ho fatto un controllo euristico per $a \leq 10000$ e sembrano non essercene altre. Spero di trovare una dimostrazione...
il panurgo

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Re: (a - b)² - 2·b² = c².

Messaggio da Bruno »

Sembra verosimile anche a me che le terne primitive abbiano quella forma e siano deducibili come hai indicato.
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