(a - b)² - 2·b² = c².

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Bruno
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(a - b)² - 2·b² = c².

Messaggio da Bruno »

L'equazione nel titolo fa parte di un problema trattato da Pierre de Fermat.
Ne ho "ritagliato" questa porzione perché è molto meno impegnativa e mi ha divertito trovare alcune soluzioni.
a, b, c sono numeri naturali e a > b.
Con carta e penna, sapreste trovare infiniti a e b che soddisfacciano il problema?
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franco
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Re: (a - b)² - 2·b² = c².

Messaggio da franco »

Intanto farei una sostituzione di variabile:
d = (a - b)
(se a e b sono numeri naturali e a > b allora anche d è un numero naturale)

L'espressione quindi diventa
d² - 2·b² = c²

ossia
d² - c² = 2·b²

a questo punto vado di carta e penna ...
per b=1 --> d² - c² = 2 --> evidentemente non ci sono soluzioni valide fra i numeri naturali
per b=2 --> d² - c² = 8 --> d = 3 (quindi a = d + b = 5) e c = 1
per b=3 --> d² - c² = 18 --> niente da fare
per b=4 --> d² - c² = 32 --> d = 6 (quindi a = 10) e c = 2
per b=5 --> d² - c² = 50 --> niente da fare
per b=6 --> d² - c² = 72 --> d = 9 (quindi a = 15) e c = 3

si intravede uno schema regolare ... :)
b = 2k
c = k
d = 3k --> a = 5k

provo a sostituire nell'espressione originale:
(a - b)² - 2·b² = c²
(5k - 2k)² - 2(2k)² = k²
9k² - 8k² = k²

bingo!


P.S.
Dove ho scritto "niente da fare", significa che con carta e penna non ho trovato al volo nulla che facesse al mio caso.
Non significa necessariamente che non ci siano altre soluzioni oltre a quella generale che ho trovato, ma il problema non chiedeva di dimostrare che le soluzioni trovate fossero uniche!
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Bruno
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Re: (a - b)² - 2·b² = c².

Messaggio da Bruno »

franco ha scritto:
ven giu 19, 2020 9:09 am
si intravede uno schema regolare ... :)
b = 2k
c = k
d = 3k --> a = 5k

provo a sostituire nell'espressione originale:
(a - b)² - 2·b² = c²
(5k - 2k)² - 2(2k)² = k²
9k² - 8k² = k²

bingo!
Bravo, Franco :D

franco ha scritto:
ven giu 19, 2020 9:09 am
P.S.
Dove ho scritto "niente da fare", significa che con carta e penna non ho trovato al volo nulla che facesse al mio caso.
Non significa necessariamente che non ci siano altre soluzioni oltre a quella generale che ho trovato, ma il problema non chiedeva di dimostrare che le soluzioni trovate fossero uniche!
Sì, si possono trovare altri tipi di soluzioni, sempre infinite.

Quello che mi piace in questo problema è il lavoro artigianale stimolato dall'osservazione, come hai ben fatto tu :wink:
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Pasquale
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Re: (a - b)² - 2·b² = c².

Messaggio da Pasquale »

Al di fuori della specifica richiesta di lavoro manuale, volendo trarne una stupida routine che fa da sola, si potrebbe similmente procedere come segue.

Sviluppando l'eguaglianza di cui trattasi, si giunge in pochi passi all'equazione:

$a^2 -2ba - (b^2+c^2) = 0$, da cui discende come valore accettabile:

$a = b + \sqrt {2b^2+c^2}$

Si ritorna all'origine del problema , ma si vede chiaramente che se il radicando è un quadrato, è sufficiente aggiungere "b" per ottenere "a".

In sostanza, per b e c interi positivi, tali che il radicando sia un quadrato, automaticamente si trova un "a" intero positivo, maggiore di b,come richiesto.

Da qui: è possibile trovare tutte le soluzioni che occorressero in un certo intervallo.
Poniamo ad esempio, che nell'intervallo scelto si cerchino soluzioni, magari con a > c > b, allora:

FOR b= 1 TO 1000
FOR c=b+1 TO 1000
LET R=2*b^2+c^2
LET x=SQR(R)
IF x=INT(x) THEN
LET a=b+x
PRINT a;b;c
END IF
NEXT c
next b
_________________

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Re: (a - b)² - 2·b² = c².

Messaggio da panurgo »

Osserviamo che se $\left(a,b,c\right)$ è una soluzione dell'equazione allora lo è anche $\left(ka,kb,kc\right)$: infatti

$\displaystyle\left(ka - kb\right)^2-2\left(kb\right)^2-\left(kc\right)^2=k^2\left[\left(a-b\right)^2-2b^2-c^2\right]=0$

Quindi quello che dobbiamo fare è la ricerca delle "terne primitive": ecco a voi una prima famiglia infinita di tali terne

$\left\{\begin{array}{lC} a = 2n^2 + 2nk + k^2 \\ b = 2nk \\ c = 2n^2 - k^2 \end{array}\right.$
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Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
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Bruno
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Re: (a - b)² - 2·b² = c².

Messaggio da Bruno »

Ottimo, Guido :D

Che passi hai fatto per ottenerla?
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Re: (a - b)² - 2·b² = c².

Messaggio da panurgo »

Ora sono al lavoro: stasera posto. :wink:

P.S.: la mia congettura è che non ce ne siano altri oltre a questi...
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Re: (a - b)² - 2·b² = c².

Messaggio da Bruno »

A differenza di Franco, a me è capitato di immaginare questa sostituzione:
[1] (a - b)² - 2·b² = (k·b - a)².

Quindi ho fatto variare k da 2 a 10, scoprendo facilmente le seguenti soluzioni numeriche:
k=2: a=5, b=2;
k=3: a=5, b=2;
k=4: a=17, b=6;
k=5: a=13, b=4;
k=6: a=37, b=10;
k=7: a=25, b=6;
k=8: a=65, b=14;
k=9: a=41, b=8;
k=10: a=101, b=18.

A questo punto ho osservato i valori e li ho divisi in due coppie di sequenze:
. a per k pari: 5, 17, 37, 65, 101,
. b per k pari: 2, 6, 10, 14, 18;
. a per k dispari: 5, 13, 25, 41,
. b per k dispari: 2, 4, 6, 8.

Ho intravisto alcune regolarità in questi numeri (non è affatto difficile ipotizzarle) e le ho interpretate con le seguenti formule:
. per k = 2·t: a = 4·t² + 1, b = 2·(2·t - 1);
. per k = 2·t+1: a = t² + (t + 1)² = 2·t² + 2·t + 1, b = 2·t .

Sostituendole in [1], effettivamente, ho trovato in entrambi i casi delle identità e ciò ha confermato le mie ipotesi.

Le formule trovate nel secondo caso possono essere generalizzate per (a - b)² - 2·b² = c², aggiungendo una variabile ad a e b, come ha indicato Guido:
(a, b, c) = (2·t² + 2·t·u + u², 2·t·u, 2·t² - u²).
Naturalmente, anche k dovrebbe essere riparametrizzato.

Ma pure nell'altro caso si può ricavare una versione più generale, aggiungendo una variabile ad a e b:
(a, b, c) = (t² + u², 2·u·(t - u), t² - 2·t·u - u²).
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Re: (a - b)² - 2·b² = c².

Messaggio da Bruno »

franco ha scritto:
ven giu 19, 2020 9:09 am
Intanto farei una sostituzione di variabile:
d = (a - b)
(se a e b sono numeri naturali e a > b allora anche d è un numero naturale)

L'espressione quindi diventa
d² - 2·b² = c²

ossia
d² - c² = 2·b²

a questo punto vado di carta e penna ...
...
per b=3 --> d² - c² = 18 --> niente da fare
...
per b=5 --> d² - c² = 50 --> niente da fare
...


P.S.
Dove ho scritto "niente da fare", significa che con carta e penna non ho trovato al volo nulla che facesse al mio caso.

Franco, spero di aver capito la tua precisazione:
se d² - c² = 2·b², vuol dire che (d - c)·(d + c) = 2·b², ma il secondo membro (pari) è esprimibile come prodotto di due numeri entrambi pari (non può essere altrimenti) solo se b è pari :wink:
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Re: (a - b)² - 2·b² = c².

Messaggio da Info »

ho pensato ad una cosa diversa….

partiamo dalla stessa equazione….
$(d-c)*(d+c)=d^2-c^2$
$(d-c)*(d+c)=(d-c)*(d-c+2c)$

prendo da parte $(d-c)^2$
$(d-c)^2+(d-c)*(2c)$

sempre uguale a $2b^2$
$(d-c)^2+(d-c)*(2c)-2b^2=0$

ecco una equazione di secondo grado.... provo a risolverla, arrivo a
$d-c=-2c\pm \sqrt{c^2+2b^2}$

quindi
$a-b-c=-2c\pm \sqrt{c^2+2b^2}$

per b = 2 ottengo
$a=-2c\pm \sqrt{c^2+8}+c+2$

sostituisco c all'interno, nella radice deve essere $c^2=8$ quindi $c=2\sqrt{2}$
arrivo ad avere $a=6-2\sqrt{2}$
Fai sorridere il tuo HD diventando opensource oriented, scopri come

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Re: (a - b)² - 2·b² = c².

Messaggio da Bruno »

Info, non capisco... :roll: ma a, b, c sono numeri naturali.
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Re: (a - b)² - 2·b² = c².

Messaggio da Info »

si, sono numeri razionali ma non interi…
scusami per la non comprensione…..
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Re: (a - b)² - 2·b² = c².

Messaggio da Info »

all'inizio avevo inteso che dovessero essere numeri positivi.
Per questo nell'ultima sostituzione ho tenuto solo il valore positivo,
prima di arrivare al risultato finale, che sarebbe stato
$a=-2-2\sqrt{2}$
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Re: (a - b)² - 2·b² = c².

Messaggio da Bruno »

Info mi ha fatto tornare in mente un approccio con cui trattai molti anni fa i problemi dell'Algebra di Rafael Bombelli :wink:

Scrivo:
(a - b)² - c² = (a - b - c)·(a - b + c) = 2·b².

Pongo:
a - b - c = 2·b/k (con k ≠ 0),
a - b + c = b·k.

Raccolgo b:
a - c = b·(k + 2)/k,
a + c = b·(k+1).

Esprimo a e c mediante b e k:
a = b·(k² + 2·k + 2)/(2·k),
c = b·(k² - 2)/(2·k).

Ricavo così l'identità:
(b·(k² + 2·k + 2)/(2·k) - b)² - 2·b² = (b·(k² - 2)/(2·k))²

Moltiplico entrambi i membri per (2·k/b)²:
((k² + 2·k + 2) - 2·k)² - 2·(2·k)² = (k² - 2)².

Quest'ultima identità ha la forma (α - β)² - 2·β² = γ² e quindi soddisfa il problema per k intero. Comunque abbiamo già visto più sopra tale soluzione, mutatis mutandis.

Divertente :D
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Re: (a - b)² - 2·b² = c².

Messaggio da Bruno »

La richiesta del problema è stata soddisfatta nei vari interventi, tuttavia l'argomento è tutt'altro che chiuso: esistono altri tipi di soluzioni non riconducibili alle formule fino a qui trovate :wink:

Se a e b sono i cateti di una terna pitagorica, cioè a² + b² è pari al quadrato di un numero intero, abbiamo la questione trattata da Pierre de Fermat:
  • Trovare un triangolo rettangolo in numeri, tale che il quadrato della differenza dei cateti, diminuito del doppio quadrato del cateto minore, risulti un quadrato.
La minima soluzione è 156 (b), 1517 (a) e 1343 (c), ove 156² + 1517² = 1525² e naturalmente (1517 - 156)² - 2·156² = 1343².
Un'altra soluzione, trovata in OEIS, è questa: 1453978915260300 (b), 7518954988589021 (a) e 5705771236038721 (c).
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