Sui numeri triangolari

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Pasquale
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Sui numeri triangolari

Messaggio da Pasquale »

Fra vecchi appunti ho trovato:
dimostrare che 19+49k o anche 19+121k possono essere uguali alla somma di due numeri triangolari.
Non ne ricordo la provenienza e non saprei se sia stata effettuata una dimostrazione delle suddette “possibilità”, o se comunque ne sia stato mostrato un esempio concreto.
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\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Bruno
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Re: Sui numeri triangolari

Messaggio da Bruno »

Allora, Pasquale, d'emblée direi questo.

In nessuno dei due casi è possibile la rappresentazione che tu indichi.

Il problema può essere infatti portato un piano più su, quello dei quadrati, più facili da maneggiare.

Consideriamo il primo caso: 19 + 49·k = ½·x·(x+1) + ½·y·(y+1).
Moltiplicando entrambi i membri per 8 si ottiene: 152 + 392·k = 4·x·(x+1) + 4·y·(y+1) → 154 + 392·k = 7·(22 +7·8·k ) = (2·x+1)² + (2·y+1)².
Questo cosa ci dice? Che al primo membro abbiamo un intero divisibile solo una volta per 7, cioè un numero di tipo 4·m+3, mentre dall'altra parte c'è una somma di due quadrati interi.
Esiste un noto teorema (eccolo, testo in corsivo) per il quale l'uguaglianza ottenuta non è ammissibile.

Similmente si può trattare l'altro caso, dove anziché 7 troveremo 11 = 4·2+3.
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
(Biagio Marin)

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