Lanciando i dadi

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
franco
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1138
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Lanciando i dadi

Messaggio da franco »

Alenixedda lancia tre volte un normale dado a sei facce per generare un numero intero di tre cifre K.
Al primo lancio decide se usare la cifra uscita in posizione di unità, decine o centinaia.
Al secondo lancio sceglie in che posizione fra le due rimaste libere mettere la cifra e al terzo lancio mette la cifra nella posizione residua.

1. Descrivere la strategia che permette a Alenixedda di massimizzare la speranza matematica di K e calcolare tale valore.
2. Stessa domanda con un numero K di quattro cifre risultanti da quattro lanci di dado

www.diophante.fr
G1908
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

panurgo
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1279
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Re: Lanciando i dadi

Messaggio da panurgo »

Lanciando i dadi

Ci ho dovuto pensare un po’ su: se noi mettessimo sempre il risultato del primo dado nella posizione delle centinaia, quello del secondo nella posizione delle decine e quello del terzo in quella delle unità avremo, in media, il valor medio degli esiti di un dado moltiplicato per $111$, ovvero $388,5$.
La strategia migliore consiste nel mettere per ciascun dado gli esiti minori della media, $\left\{1,\,2,\,3\right\}$, più a destra possibile e gli esiti maggiori della media, $\left\{4,\,5,\,6\right\}$, più a sinistra possibile: la media dei primi tre è $2$, la media dei secondi tre è $5$ quindi, con il primo dado, o faremo $500$ oppure $2$. Raccolgo in figura i possibili esiti (medi) del secondo e del terzo dado
LanciandoIDadi.01.480x480.png
LanciandoIDadi.01.480x480.png (19.34 KiB) Visto 128 volte
La media complessiva è $500-\frac18$.

Il peggior risultato (medio) lo abbiamo se invertiamo la strategia e mettiamo i valori maggiori della media a destra e quelli inferiori a sinistra; mettiamo $5$ al posto di $2$ e $2$ al posto di $5$ nella figura precedente e otteniamo $223,5$, $240$, $240$ e $405$: media, $277+\frac18$.

Non deve stupire che

$\displaystyle \frac{\left(500-\frac18\right)+\left(277+\frac18\right)}2=388,5$

:wink:
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

franco
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1138
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Re: Lanciando i dadi

Messaggio da franco »

panurgo ha scritto:
mar giu 09, 2020 8:14 am
Lanciando i dadi

Ci ho dovuto pensare un po’ su: ...
Io ho fatto ragionamenti un po' diversi, naturalmente molto poco rigorosi viste le mie competenze approssimative.
Provo a spiegarli a parole:

Partiamo dal primo lancio:
Se esce 6 non ci son dubbi sul fatto di metterlo nelle centinaia.
Se esce 5, la probabilità che entrambi i lanci successivi diano un valore inferiore o uguale è $P=(5/6)^2=0.69$ quindi anche il 5 lo metto nelle centinaia.
Ragionamenti analoghi per 1 e 2 che andranno nelle unità.
Se invece al primo lancio esce 3 o 4 la combinazione più probabile degli eventi successivi è di avere un valore superiore (o uguale) e l'altro inferiore (o uguale); quindi il 3 o il 4 li metto sulle decine!
Tutto ciò porta a queste sei configurazioni dopo il primo lancio:
6 x x
5 x x
x 4 x
x 3 x
x x 2
x x 1

Per il secondo lancio la scelta è più semplice:
se esce 1, 2 o 3 occupo la posizione libera più a destra, se invece esce 4, 5 o 6 occupo la posizione più a sinistra.

Il terzo lancio evidentemente finisce nella posizione residua.

Ho riempito una pagina di quaderno di calcoli e, se non ho sbagliato qualcosa (possibilissimo) mi viene una "speranza" pari a 504!
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

Rispondi