I sei quadrati.

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Bruno
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I sei quadrati.

Messaggio da Bruno »

Mostrare qual è l'area del triangolo.

B5-6Q.jpg
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panurgo
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Re: I sei quadrati.

Messaggio da panurgo »

ISeiQuadrati_480x373.png
ISeiQuadrati_480x373.png (13.56 KiB) Visto 572 volte
Rispondo con Pick $I + \frac{P}2 - 1 = 4$
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Re: I sei quadrati.

Messaggio da Bruno »

Ottimo, Guido :D

E questo è un modo, naturalmente il problema può essere attraversato da più vie risolutive.
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panurgo
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Re: I sei quadrati.

Messaggio da panurgo »

ISeiQuadrati.02_480x373.png
ISeiQuadrati.02_480x373.png (11.72 KiB) Visto 558 volte

La norma del prodotto vettoriale dei vettori $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$ vale

$\displaystyle\left\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right\|=\left\|\overrightarrow{AB}\right\|\cdot \left\|\overrightarrow{AC}\right\|\cdot \sin\alpha=2A_\text{ABC}$

scriviamo il prodotto vettoriale come

$\displaystyle\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=
\det\left(\begin{array}{cC}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\
x_\text{B}-x_\text{A} & y_\text{B}-y_\text{A} & 0 \\
x_\text{C}-x_\text{A} & y_\text{C}-y_\text{A} & 0
\end{array}\right)
=
\overrightarrow{k}
\det\left(\begin{array}{cC}
x_\text{B}-x_\text{A} & y_\text{B}-y_\text{A} \\
x_\text{C}-x_\text{A} & y_\text{C}-y_\text{A}
\end{array}\right)$

onde segue

$\displaystyle\left\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right\|=\det\left(\begin{array}{cC}
x_\text{B}-x_\text{A} & y_\text{B}-y_\text{A} \\
x_\text{C}-x_\text{A} & y_\text{C}-y_\text{A}
\end{array}\right)$

e

$\displaystyle A_\text{ABC}=\left|\frac{\det\left(\begin{array}{cC}
x_\text{B}-x_\text{A} & y_\text{B}-y_\text{A} \\
x_\text{C}-x_\text{A} & y_\text{C}-y_\text{A}
\end{array}\right)}2\right|=\left|\frac{\det\left(\begin{array}{cC}
-1 & -1 \\
5 & -3
\end{array}\right)}2\right| = 4$

Il valore assoluto serve perché il prodotto vettoriale cambia di segno scambiando tra loro i due vettori: in questo modo non dobbiamo preoccuparci dell’ordine con cui li consideriamo.
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Re: I sei quadrati.

Messaggio da Bruno »

Fantastico :D
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Pasquale
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Re: I sei quadrati.

Messaggio da Pasquale »

Premesso che i miei studi matematici dell'epoca che fu non giunsero al linguaggio e simbologia di cui sopra, col significato che racchiudono, ho pensato di ricavare l'area del triangolo come differenza fra l'area del rettangolo ABCD e quella dei 3 triangoli retti AEF, ECD e BDF (fermo restando il gusto di trovare ed indicare altre vie):

.
.

TRIANGOLO1.JPG
TRIANGOLO1.JPG (15.28 KiB) Visto 550 volte
.
.


Quindi: 18 - 1/2 - 6 - 15/2 = 4

(Salvo che non abbia compreso nemmeno il significato del quesito posto)
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

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Re: I sei quadrati.

Messaggio da Bruno »

Pasquale ha scritto:
mer giu 03, 2020 4:52 pm
ho pensato di ricavare l'area del triangolo come differenza fra l'area del rettangolo ABCD e quella dei 3 triangoli retti AEF, ECD e BDF (fermo restando il gusto di trovare ed indicare altre vie)

Perfetto, Pasquale :D
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Re: I sei quadrati.

Messaggio da Gianfranco »

Panurgo, Pasquale bravissimi!

area_Bruno.png
area_Bruno.png (23.77 KiB) Visto 530 volte

La mia è:
$\displaystyle A=\left (1+\frac{1}{3} \right ) \cdot (1+5) \cdot \frac{1}{2}=4$
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: I sei quadrati.

Messaggio da Bruno »

Grande :D
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Re: I sei quadrati.

Messaggio da Bruno »

Recentemente ho visto un video del mitico Giorgio Dendi su yt in cui diceva che gli piacciono i problemi che presentano più di una via per arrivare alla soluzione.

Quando ho inventato questo "quisss" (per dirla con Pasquale), pensavo proprio a questo, alla possibilità di sperimentare diversi approcci risolutivi.

Ho realizzato lo schema con GeoGebra a fantasia, sempre con GeoGebra ho determinato l'area del triangolo e infine ho cercato di verificarla analiticamente.
Ecco ciò che ho combinato :D

B5-6Q-r.jpg
B5-6Q-r.jpg (27.4 KiB) Visto 503 volte

La cosa che mi ha colpito è che il vertice esterno del triangolo potrebbe essere in qualsiasi punto della retta r.

Mi sono divertito a leggere le vostre soluzioni superbe, penso che forse potrebbe saltar fuori qualche altra idea :wink:
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Re: I sei quadrati.

Messaggio da Gianfranco »

Bruno ha scritto:
gio giu 04, 2020 9:15 am
La cosa che mi ha colpito è che il vertice esterno del triangolo potrebbe essere in qualsiasi punto della retta r.
q_Bruno_2.png
q_Bruno_2.png (16.51 KiB) Visto 483 volte

Tutti i triangoli che hanno un lato in comune su una retta e il terzo vertice su una stessa parallela alla prima retta, hanno la stessa area.
Da cui esce un'altra soluzione:
$\displaystyle A= \frac{\sqrt{2}\cdot4\sqrt{2}}{2}=4$
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: I sei quadrati.

Messaggio da Bruno »

Gianfranco ha scritto:
gio giu 04, 2020 12:14 pm
Tutti i triangoli che hanno un lato in comune su una retta e il terzo vertice su una stessa parallela alla prima retta, hanno la stessa area.

Infatti.
La presenza del quadratino in basso a destra, a una prima occhiata, un po' ostacola, non permette di "vedere" subito le due rette e di generalizzare la questione, per questo mi ha colpito il problema.
Quel quadratino, quindi, potrebbe avere ben altre dimensioni e collocazioni.

Ottima la tua nuova risoluzione :D
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Re: I sei quadrati.

Messaggio da panurgo »

Bruno ha scritto:
gio giu 04, 2020 9:15 am
[...]
La cosa che mi ha colpito è che il vertice esterno del triangolo potrebbe essere in qualsiasi punto della retta r.
[...]
Le aree di due triangoli con la stessa base stanno tra loro come le rispettive altezze: da ciò segue che una retta parallela alla base di un triangolo è il luogo geometrico dei vertici di triangoli di pari area che condividono la stessa base.

Quale sarà il luogo geometrico dei vertici di triangoli di eguale perimetro? :shock:
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Re: I sei quadrati.

Messaggio da Bruno »

Se la base dei triangoli coincide con la distanza dei fuochi di un'ellisse e i rimanenti vertici vengono scelti sulla curva, i triangoli risultanti sono isoperimetrici.
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Re: I sei quadrati.

Messaggio da panurgo »

Ma guarda un po'! Al posto di una retta parallella, un'ellisse... mi ricorda Riemann :wink:
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