Multipli di 31.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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Multipli di 31.

Messaggio da Bruno »

Il numero naturale $\;$ 81·9876543210ⁿ + 43·123456789ⁿ $\;$ è divisibile per $\;$ 31.
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
(Biagio Marin)

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Re: Multipli di 31.

Messaggio da Admin »

Calcoliamo $81\cdot9876543210^n + 43\cdot123456789^n \pmod{31}$.

Scomponendo in numeri in fattori primi ed applicando le proprietà di base delle congruenze si ha:

$(\ 81\cdot9876543210^n + 43\cdot123456789^n\ ) \pmod{31} = \\
\left[\ 81\cdot(2\cdot3^2\cdot5\cdot17^2\cdot379721)^n + 43\cdot(3^2\cdot3607\cdot3803)^n\ \right] \pmod{31} = \\
\left[\ 19\cdot(1\cdot379721)^n + 12\cdot(3^2\cdot11\cdot21)^n\ \right] \pmod{31} = \\
\left[\ 19\cdot2^n + 12\cdot2^n\ \right] \pmod{31} = \\
\left[\ ( 19 + 12 )\cdot2^n \ \right] \pmod{31} = \\
\left[\ 31\cdot2^n \ \right] \pmod{31} = 0$

P.S.: interessante notare che la divisione dei numeroni sui calcolatori moderni puo' dare qualche problema...

Saluti
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Bruno
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Re: Multipli di 31.

Messaggio da Bruno »

Ottimo :D
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