Ciao Pasquale,
la funzione che ho indicata è formata da 2 parti:
la prima parte è (n² - n) e questa parte l'ho trovata sperimentalmente.
la seconda parte è un polinomio di ottavo grado di (n modulo 9), questa parte l'ho trovata risolvendo un sistema di 9 equazioni in 9 incognite.
I termini noti delle 9 equazioni sono gli scostamenti della successione da (n² - n)
Il sistema è il seguente:
$\left\{ \begin{array}{l}
a + b + c + d + e + f + g + h + i = 0 \\
2^8 *a + 2^7 *b + 2^6 *c + 2^5 *d + 2^4 *e + 2^3 *f + 2^2 *g + 2*h + i = 2 \\
3^8 *a + 3^7 *b + 3^6 *c + 3^5 *d + 3^4 *e + 3^3 *f + 3^2 *g + 3*h + i = 6 \\
4^8 *a + 4^7 *b + 4^6 *c + 4^5 *d + 4^4 *e + 4^3 *f + 4^2 *g + 4*h + i = 3 \\
5^8 *a + 5^7 *b + 5^6 *c + 5^5 *d + 5^4 *e + 5^3 *f + 5^2 *g + 5*h + i = 2 \\
6^8 *a + 6^7 *b + 6^6 *c + 6^5 *d + 6^4 *e + 6^3 *f + 6^2 *g + 6*h + i = 3 \\
7^8 *a + 7^7 *b + 7^6 *c + 7^5 *d + 7^4 *e + 7^3 *f + 7^2 *g + 7*h + i = 6 \\
8^8 *a + 8^7 *b + 8^6 *c + 8^5 *d + 8^4 *e + 8^3 *f + 8^2 *g + 8*h + i = 2 \\
9^8 *a + 9^7 *b + 9^6 *c + 9^5 *d + 9^4 *e + 9^3 *f + 9^2 *g + 9*h + i = 0 \\
\end{array} \right.$
Quindi la soluzione risulta del tipo: $S_n = n^2 - n + P(m)$
dove P(m) è un polinomio rispetto alla variabile (n Modulo 9)
METODO ALTERNATIVO
Un metodo alternativo potrebbe essere il seguente:
scrivo la successione delle differenze tra due termini consecutivi della sequenza:
4, 8, 3, 7, 11, 15, 10, 14, 18, 22, 26, 21, 25, 29, 33, ....
scrivo la successione delle differenze tra due termini consecutivi della successione trovata:
4, -5, 4, 4, 4, -5, 4, 4, 4, 4, -5, 4, 4, 4, .....
E a questo punto, procedendo per tentativi (e con un poco di intuito) si può arrivare a capire quale possa essere il 100° termine della sequenza.
Il valore del 50° termine potrebbe essere assai utile come verifica.
A proposito di sequenze...
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Sfruttando li lavoro di Sancho ho determinato quanto segue:
Il metodo alternativo proposto consente di determinare ogni termine della sequenza se si considera la cadenza di nove per la successione delle differenze delle differenze:
4, 4, -5, 4, 4, 4, -5, 4, 4, 4, 4, -5, 4, 4, 4, -5, 4, 4, 4, 4, -5, 4, 4, 4,-5, .....
In particolare se si nota che la differenza tra due termini distanti 9 posizioni è un multiplo di 18, la sequenza data, per i termini succesivi al 9°, può essere scritta come:
$S_n=S_{n-9}+18*(n-5)$
e per estensione
$S_n=S_{n-18}+18*(n-14)+18*(n-5)$
...
e se non ho sbagliato i calcoli
$S_n=S_{n-9i}+18*\sum_{k=1}^{i}(n-9k+4))$; i=(n mod 9)
da cui
$S_{50}=S_{5}+18*\sum_{k=1}^{5}(50-9k+4))=2452$
$S_{100}=S_{1}+18*\sum_{k=1}^{11}(100-9k+4))=9900$
[Quelo]
Il metodo alternativo proposto consente di determinare ogni termine della sequenza se si considera la cadenza di nove per la successione delle differenze delle differenze:
4, 4, -5, 4, 4, 4, -5, 4, 4, 4, 4, -5, 4, 4, 4, -5, 4, 4, 4, 4, -5, 4, 4, 4,-5, .....
In particolare se si nota che la differenza tra due termini distanti 9 posizioni è un multiplo di 18, la sequenza data, per i termini succesivi al 9°, può essere scritta come:
$S_n=S_{n-9}+18*(n-5)$
e per estensione
$S_n=S_{n-18}+18*(n-14)+18*(n-5)$
...
e se non ho sbagliato i calcoli
$S_n=S_{n-9i}+18*\sum_{k=1}^{i}(n-9k+4))$; i=(n mod 9)
da cui
$S_{50}=S_{5}+18*\sum_{k=1}^{5}(50-9k+4))=2452$
$S_{100}=S_{1}+18*\sum_{k=1}^{11}(100-9k+4))=9900$
[Quelo]
[Sergio] / $17$
Ok, Quelo, perfetto!
E ben ritrovato
Però si può fare ancora di più!
Come dicevo sopra, la regola di
formazione può essere descritta
in maniera molto più semplice,
così semplice che... per calcolare
infiniti termini di quella sequenza
(compresi alcuni di quelli indicati)
si potrebbe perfino fare a meno
di carta e penna
E ben ritrovato
Però si può fare ancora di più!
Come dicevo sopra, la regola di
formazione può essere descritta
in maniera molto più semplice,
così semplice che... per calcolare
infiniti termini di quella sequenza
(compresi alcuni di quelli indicati)
si potrebbe perfino fare a meno
di carta e penna
Bruno