I cadetti e la mascotte

[ronfo]

Per farmi perdonare dello scompiglio generato dal problema del cubo magico sono andato a ravanare tra i libri di giochi matematici di Martin Gardner e ho trovato questo grazioso problema.
Una formazione quadrata di cadetti dell’esercito di 50 metri di lato, marcia a passo costante.
La mascotte della compagnia, un piccolo terrier, parte dal centro dell’ultima fila e trotterella in avanti in linea retta sino al centro della prima fila , poi trotterella di nuovo indietro al centro dell’ultima fila. nell’istante che la raggiunge i cadetti sono avanzati esattamente di 50 metri.
Se il cane trotterella a velocità costante , e non perde tempo a girarsi, quanti metri ha percorso?.
….. una versione più impegnativa ( sempre di M. Gardner)
Invece di muoversi avanti e indietro attraverso i cadetti in marcia, la mascotte trotterella a velocità costante lungo il perimetro del quadrato. Come prima , la formazione ha marciato 50 metri nel tempo che il cane ha impiegato a tornare al punto di partenza . quanto è lungo il percorso del cane.
Infine qui ci metto una variazione mia :
se la formazione di cadetti al posto di essere quadrata è rettangolare con base 50 e lunghezza 100 metri ammettendo che la formazione avanzi della sua lunghezza cioè cento metri e tutte le altre condizioni restino uguali( velocità costante, la mascotte che segue il perimetro e ritorna al punto di partenza ) quanto è lungo il percorso del cane.
CIAO
PS. In realtà il problema era stato ideato da Sam Loyd

[franco]

Sono di frettissima ma provo a postare una soluzione alla prima parte del quesito.
Mi scuso in anticipo per le eventuali castronerie e per la mancanza di spiegazioni.
Nel grafico le linee azzurre rappresentano il movimento dei cadetti (della prima e dell'ultima fila); la linea rossa rappresenta il movimento della mascotte:

In tutto il cane percorre quindi circa 120,7 metri.

[ronfo]

La risposta è esatta anche se la soluzione proposta da M G (che per il momento no do) è molto più semplice.
Aspetto le altre risposte..
CIAO

[franco]

Mi sarei stupito se Martin Gardner non avesse dato una risposta migliore della mia

Sto lavorando alla seconda parte ma ancora il conto non torna!

Pazienza, domani sono in fabbrica e vedrò se posso stare tranquillo una mezzoretta.


ciao

[franco]

Ecco la mia risposta al secondo quesito:

Spero sia abbastanza comprensibile.

ciao

PS mi accorgo or ora che c'è un errore nella figura esplicativa del primo tratto;
quella giusta è:

Chiedo venia.

[franco]

Infine la tua variante:
non sto a ripetere tutti i calcoli, analoghi al precedente caso se si eccettua il fatto che nelle formule di t2 e t3 appare
un 100 al posto del 50.
Alla fine si arriva a n=6,136 e D=307 m (circa).

SEO

ciao

P.S. adesso però posta le soluzioni di MG che sono curioso

[franco]

SEO

Per l'appunto!

Mi ero fatto prendere dalla fretta nel caso della tua variante:



ciao

[franco]

...con semplici passaggi...

niente da fare: ho bisogno di una vacanza!



A questo punto, perchè non generalizzare il problema visto che ci siamo?



Nel primo caso proposto a=0 b=c
Nel secondo a=b=c
Nel terzo 2a=b=c

E' pur vero che anche il caso più semplice comporta un'equazione di 4° grado
ma il trucco c'è e non è nemmeno difficile da scoprire.

E infine: n = 3,259....(*)

In realtà l'equazione di 4° grado ha anche un'altra radice reale: n = 1,750....

Chi ci dice perchè non risolve il problema?

(non vale dire che è evidente che 175 m non bastano di sicuro per fare il
perimetro della formazione!)

[ronfo]

Bravo FRanco anche la seconda risposta è esatta.
per quanto concerne le soluzioni di MG ecco cosa scrive
"sia 1 la lunghezza del quadrato dei cadetti e 1 anche iltemponecessario perchè essi percorrano la lunghezza . Anche la velocitàsarà 1.
Sia x la distanza complessiva percorsa dal cane e anche la sua velocità.
Durante il percorso in avanti la velocità del cane rispetto ai cadetti sarà x-1.
Durante il viaggio di ritorno la sua velocità rispetto ai cadetti sarà x+1.
Ogni viaggio è su una distanza di 1 (rispetto ai cadetti) e i 2 viaggi vengono completati in una unità di tempo sicche si può scrivere la seguente equazione:
(1/(x-1))+(1/(x+1))=1
essa corrisponde all'equazione quadratica: (x^2)-2x-1=0 che ha per soluzione positiva 1+SQR2. Moltiplicando per 50 si ottiene 120,7...m.
La seconda parte è simile alla prima. Sia 1 il lato del quadrato, il tempo e la velocità perchè i cadetti coprano 50m. La velocità del cane rispetto hai cadetti sarà x-1 nell'andata, x+1 al ritorno e SQR((x^2)-1) in ciascuno dei 2 viaggi trasversali sicche il circuito verrà completato in:
(1/(x-1))+(1/(x+1))+(2/(SQR((x^2)-1)))=1 che espressa sotto forma di equazione vale (x^4)-4(x^2)-2(x^2)+4x+5. Si ha una sola radice positiva valida: 4,18112... Moltiplicandola per 50 si ottiene la risposta desiderata: 209,056...m:
per maggior chiarezza allego un documento in word delle equazioni soprascritte
CIAO

[ronfo]

Dimenticavo la variante che ho proposto...
tenendo buono quanto sopra l'equazione diventa
(1/(x^2-1))+(1/(x^2+1))+(1/sqr(x^2-1))=1
che da una soluzione 3,2886... come la tua .
CIAO

[ronfo]

Ti pareva che non riuscivo a incasinarmi!!?.
Mi è venuta voglia di immettere un'altra variante al problema solo che questa volta non funziona la formula che ho impostato nei casi precedentiin perchè mi viene una soluzione negativa.
Ma andiamo con ordine :
se la formazione di cadetti pur restando rettangolare di dimensioni 100 e 50 metri avanza sul lato corto (cioè ruotato di 90° rispetto al caso precedente ) e restando invariate le altre condizioni quale sarà la distanza percorsa dalla mascotte?
Dico è facile... reimposto l'equazione con il metodo di prima e il gioco è fatto cioè
(1/(x-1))+(1/(x+1))+(4/sqr(x^2-1))=1
peccato che la soluzione reale di questa equazione è -1.2813...
ma dove accidenti ho sbagliato?
Ciao

[franco]

E' sempre il caso del cane che fa il perimetro della formazione?

Applicando la formula generale con:
a = 100 b = c = 50
mi viene che il cane percorre circa 610 m.

Probabilmente uno di noi due (o entrambi) ha fatto quelche errore!

[SusMaSas]

Sono di frettissima ma provo a postare una soluzione alla prima parte del quesito...

Non riesco a visualizzare l'immagine, potrebbe rimandarla?
Grazie in anticipo.

[franco]

Sono di frettissima ma provo a postare una soluzione alla prima parte del quesito...

Non riesco a visualizzare l'immagine, potrebbe rimandarla?
Grazie in anticipo.

Sono passati tanti anni e nemmeno mi ricordavo più di questo problema.
Nell'archivio del PC però ho trovato il file cadetti.png che penso faccia riferimento a questo post.

cadetti.PNG (18.56 KiB) Visto 12553 volte

Facci sapere se ti è sufficiente, altrimenti (visto che ho dimenticato tutto) potrebbe essere divertente riprendere da zero