problemi irrisolti

[Lucignolo]

Sostituire le coppie

Molti "zero", "uno" e "due" sono scritti sulla lavagna.
Un anonimo cancella diverse coppie di numeri scrivendo al loro posto il numero diverso da entrambi i numeri cancellati. (ad es. 0, al posto della coppia {1,2}; 1 al posto di {0,2}; 2 al posto di {0,1}).
Dimostrare che se alla fine rimane un solo numero, questo non dipende dall'ordine con cui sono state cancellate le coppie
(Saratov, 1975)

Sarà questa la soluzione?:
Alla fine resterà sempre un solo numero dato che per ogni coppia ci sarà sempre un numero diverso col quale sostituirla...

[franco]

Forse non ho capito bene ...

Parto (per semplicità) con una lavagna su cui sono scritti solo i tre numeri $0$ $1$ $2$
Sostituisco la coppia $01$ e rimango con $2$ e $2$
Se invece sostituisco la coppia $12$ rimango con $0$ e $0$
In entrambi i casi non rimango con un numero solo ma con due uguali.

A questo punto diventa importante, nel testo originale del problema, la frase "se alla fine rimane un solo numero".
In questo caso forse conviene ragionare a ritroso ...
Se sono rimasto con un ultimo numero $A$, vuol dire che al "passo precedente" c'erano necessariamente $B$ e $C$ e così via ricostruendo al contrario le sostituzioni.
Ogni passo indietro è obbligato e, anche se forse non è una dimostrazione rigorosa, mi sembra abbastanza evidente che essendo tutte strade che non si intersecano, l'ordine con cui le percorro sia assolutamente indifferente.

Forse però la sto facendo troppo facile

[Pasquale]

Direi che comunque siano effettuati gli accoppiamenti, affinché si giunga alla fine del gioco con un solo numero sulla lavagna, è necessario che si passi attraverso la fase precedente che veda sulla lavagna due soli numeri validi a generare l'ultimo unico numero.
Gli ultimi due numeri possibili, se il gioco non si fosse fermato prima ancora, possono essere: 00, 11 e 22, che non possono generare un ulteriore numero; oppure potrebbero essere 12, 02 o 01, non essendovi più altre possibilità. Poiché queste ultime 3 possibilità generano rispettivamente 0, 1 e 2, qualunque di questi dovesse restare sulla lavagna come unico superstite, sarebbe stato generato dalla casualità delle operazioni eseguite, la quale avrebbe potuto generare, beninteso, anche l'impossibilità di tale risultato, come già detto prima.