Giocoleria

[Br1]

Vi propongo questo problema dimezzato.


1ª parte

Abbiamo una sequenza che inizia così:

$\large a_{\script 0}=0,\; a_{\script 1}=\frac {5}{12},\; a_{\script 2}=\frac{5}{9},\; a_{\script 3}=\frac{51}{80}$

della quale sappiamo anche che:

$\large a_{\script 15}=\frac {3855}{4352},\; a_{\script 64}=\frac {135232}{139425},\; a_{\script 255}=\frac {16711935}{16842752}\/.$

Qual è il $\small \/2007^o\/$ termine?


2ª parte

Indovinata la sequenza, consideriamo la
seguente somma:

$\large \frac{1}{2}\/+\/\sqrt{\frac{4}{9}-a_{\script 1}}\/+\/\sqrt{\frac{9}{16}-a_{\script 2}}\/+\/\sqrt{\frac{16}{25}-a_{\script 3}}\/+\/...\/+\/\sqrt{\frac{4028049}{4032064}-a_{\script 2006}}$

Quanto vale e perché?

Prendiamo i numeri con questa forma:

$\large (2n\/+\/1)\cdot 10^{\script 2n+1}-\/7\cdot 4^{\script n+1}\cdot 5^{\script 2n+1}\/+\/2n\/-\/13$

per $\/n\in N$: qual è il loro massimo comun
divisore e perché?

$\large \tan \/ 1^{\small o}\/$ è un numero irrazionale? Perché?

[Admin]

Prendiamo i numeri con questa forma:

$\large (2n\/+\/1)\cdot 10^{\script 2n+1}-\/7\cdot 4^{\script n+1}\cdot 5^{\script 2n+1}\/+\/2n\/-\/13$

per $\/n\in N$: qual è il loro massimo comun
divisore e perché?

E' $11$.
Infatti semplificando si ha:
$\large (2n\/+\/1)\cdot 10^{\script 2n+1}-\/7\cdot 2\cdot 2^{\script 2n+1}\cdot 5^{\script 2n+1}\/+\/2n\/-\/13\hspace{30}\Rightarrow\hspace{30}\large (2n\/+\/1)\cdot 10^{\script 2n+1}-\/14\cdot 2^{\script 2n+1}\cdot 5^{\script 2n+1}\/+\/2n\/-\/13\hspace{30}\Rightarrow\vspace{25}$
$\large (2n\/+\/1)\cdot 10^{\script 2n+1}-\/14\cdot 10^{\script 2n+1}\/+\/2n\/-\/13\hspace{30}\Rightarrow\hspace{30}\large (2n\/-\/13)\cdot 10^{\script 2n+1}+\/2n\/-\/13\hspace{30}\Rightarrow\hspace{30}\large (2n\/-\/13)\cdot (10^{\script 2n+1}+\/1)$

Si nota che il fattore $(10^{\script 2n+1}+\/1)$ è sempre divisibile per $11$.
Infatti il numero ha la seguente forma:
$\large{1\/\overbrace{0\/0\/\cdot\cdot\cdot\/0\/0}^{2n}\/1$
per cui la differenza tra la somma delle cifre dispari e quella delle cifre pari del numero è sempre 0;
quindi il numero è divisibile sempre per $11$.

Il fatto che $11$ sia anche massimo comun divisore è confermato dal fatto che esso è l'unico fattore comune per i numeri della forma $(2n\/-\/13)\cdot (10^{\script 2n+1}+\/1)$.

Ciao
Admin

[Tino]

$\large \tan \/ 1^{\small o}\/$ è un numero irrazionale? Perché?

Lemma: se x, y, x+y sono strettamente compresi tra 0 e $\pi/2$ e $\tan x,\tan y$ sono razionali, allora $\tan (x+y)$ è razionale.

Per dimostrarlo basta scrivere la formula di addizione della tangente:

$\tan (x+y) = \frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y}$

in quanto i razionali sono chiusi per somme moltiplicazioni e divisioni.

Questo lemma si estende facilmente ad un numero finito di addendi.

Ora, supponendo che $\tan 1$ sia razionale, potremo scrivere (gli argomenti sono in gradi)

$\sqrt{3}= \tan (60) = \tan (1+...+1) \in \mathbb{Q}$

assurdo. Quindi $\tan 1$ non è razionale. Quindi è irrazionale.

Rilancio: per quali $n \in \{1,2,...,89\}$ la tangente di n gradi è un numero irrazionale?

[Tino]

$a_{\script 64}=\frac {135232}{139425}$

Sei sicuro al 100% che questo termine è corretto, vero? Non per metterlo in dubbio, ma mi esce da ogni logica

Cià.

[Br1]

Ottimo Pietro

Rilancio: per quali $n \in \{1,2,...,89\}$ la tangente di n gradi è un numero irrazionale?

Così, su due piedi e sulla base del tuo lemma,
direi subito che possiamo abbassare a $\small \/43^o\/$ la
serie di valori attribuibili a $\small \/n$. Meglio: per ciò che
hai appena dimostrato (bravo!), basta verificare
l'irrazionalità per $\small n \in \{2^o,\/ 3^o,\/ ...,\/43^o\}$.
Questo, come dicevo, in prima battuta.
Be', inoltre sappiamo che ci sono alcuni valori
(15°, 18°, 30°, 36°) la cui tangente è irrazionale.
E ora aspetto che mi venga in mente qualcosa
che sia per me praticabile...

Per quanto riguarda il termine ...
sì, Tino, è proprio quello.




Edit delle ore 15:00

Poiché $\/\tan\/\alpha\/=\/\frac{2}{\tan\/\beta+1}\/-\/1\/$, per $\/\alpha+\beta\/=45^o$,
possiamo ulteriormente ridurre il range:

$\small n \in \{2^o,\/ 3^o,\/ ...,\/22^o\}\;$

[Tino]

Abbiamo una sequenza che inizia così:

$\large a_{\script 0}=0,\; a_{\script 1}=\frac {5}{12},\; a_{\script 2}=\frac{5}{9},\; a_{\script 3}=\frac{51}{80}$

della quale sappiamo anche che:

$\large a_{\script 15}=\frac {3855}{4352},\; a_{\script 64}=\frac {135232}{139425},\; a_{\script 255}=\frac {16711935}{16842752}\/.$

Qual è il $\small \/2007^o\/$ termine?

2ª parte

Indovinata la sequenza, consideriamo la
seguente somma:

$\large \frac{1}{2}\/+\/\sqrt{\frac{4}{9}-a_{\script 1}}\/+\/\sqrt{\frac{9}{16}-a_{\script 2}}\/+\/\sqrt{\frac{16}{25}-a_{\script 3}}\/+\/...\/+\/\sqrt{\frac{4028049}{4032064}-a_{\script 2006}}$

Quanto vale e perché?

Mi risulta che il 2007-esimo termine è

$\frac{8092354455}{8100416576}$

e che la somma vale

$\frac{2007}{2008}$

Sono arrivato a questa conclusione in modo lungo e doloroso: inizialmente pensavo ci fossero relazioni importanti con la scrittura in base due degli indici, cosicché mi si spiegavano immediatamente i termini del tipo $a_{2^n-1}$, ma non gli altri. Dopo diverso spreco di cellule cerebrali ho osservato che i primi addendi della somma sotto erano particolarmente semplici, e allora ho capito... che probabilmente valeva la relazione

$(\frac{n+1}{n+2})^2-a_n=\frac{1}{(n+1)^2(n+2)^2}$

Da cui ho ricavato $a_n$. Alla luce di questo, ho riscritto la sommatoria in forma "telescopica" in questo modo:

$\sum_{n=0}^{2006} \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \sum_{n=1}^{2007}\frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{2007}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$

da cui ho facilmente dedotto il risultato.

[Br1]

Bravissimo, Martino

Anche se mi auguro veramente che tu
non abbia sprecato nemmeno una delle
tue preziose cellule cerebrali

(Un'inezia: partendo dall'indice 0, il termine
che hai indicato è il successivo a quello
richiesto.)

Eventualmente (ripeto: eventualmente, visto
che l'accorgersi di certe caratteristiche può
dipendere da tanti tanti fattori, a volte legati
perfino alla fortuna...), scomponendo in numeri
primi i numeratori e i denominatori delle
frazioni con indice dispari, si sarebbe potuto
osservare un legame fra tali fattori e gli indici
delle frazioni. Da qui, poi, forse si sarebbe
potuto vedere se quel legame fosse ampliabile
anche alle rimanenti frazioni date... come in
realtà accade

Davvero molto bravo, Martino, comunque.

[Br1]

Posto una risoluzione un po' "artigianale" del
problema di Martino, perché adesso (purtroppo)
non ho il tempo di elaborare qualcosa di meglio.
Probabilmente, potrebbe esserci qualche
gustosa astuzia o scorciatoia... ma sarà per
un'altra volta

Martino proponeva di individuare le $\small \/\tan n\/$
irrazionali per $\/n\in \{1^o,\/2^o,\/3^o,\/...,\/89^o\}$.

Sapendo che:

$\tan(45^o\pm n)\/=\/1\/\pm\/{\large \frac{2}{\frac{1}{\tan\/n}\mp\/1}}\/,$

ho ridotto dapprima il campo a:

$\/n\in \{2^o,\/3^o,\/...,\/43^o\}$

e poi a:

$\/n\in \{2^o,\/3^o,\/...,\/22^o\}$

dal momento che, per $\/\alpha\/+\/\beta\/=\/ 45^o$:

$\tan\/\alpha\/=\/\frac{2}{\tan \/\beta\/+\/1}-1\/$.

A questo punto, passo alla fase artigianale.

Premessa. Come ha mostrato Martino, se
$\tan\/\gamma\/$ fosse razionale, allora lo sarebbero
pure:

$\tan\/2\gamma,\/\tan\/3\gamma,\/\tan\/4\gamma,\/...$

fino a:

$\tan\/(m\cdot \gamma)\/=\/ \frac{\tan\/\[(m-1)\cdot\/\gamma\]+\tan\/\gamma}{1-\tan\/\[(m-1)\cdot \gamma\]\cdot \tan\/\gamma}$

Se l'ipoetsi $\/\tan\/\gamma\/\in\/ \mathbb{Q}\,$ porta a $\,\tan\/\(m\cdot \gamma)\in \mathbb{Q}$
e poi invece si riconosce che $\/\tan\/\(m\cdot \gamma\)\/\not \in\/ \mathbb{Q}\/$,
allora anche $\/\tan\/\gamma\/\not \in\/ \mathbb{Q}$.

I numeri su cui devo ragionare sono (meglio
elencarli):

$2,\/ 3,\/ 4,\/ 5,\/ 6,\/ 7,\/ 8,\/ 9,\/ 10,\/ 11,\/ 12,\/ 13,\/ 14,\/ 15,\/ 16,\/ 17,\/ 18, \/19,\/ 20,\/ 21,\/ 22.$

Elimino subito due valori le cui tangenti,
è noto, sono irrazionali (15, 18$\/$):

$2,\/ 3,\/ 4,\/ 5,\/ 6,\/ 7,\/ 8,\/9,\/ 10,\/ 11,\/ 12,\/ 13,\/ 14,\/16,\/ 17,\/ 19,\/ 20,\/ 21,\/ 22.$

Quindi cancello i divisori di $\/30^o,\/36^o,\/ 72^o$,
altri valori con tangenti irrazionali note:

$7,\/ 11,\/ 13,\/ 14,\/16,\/ 17,\/ 19,\/ 20,\/ 21,\/ 22.$

Poi osservo che:

$\tan\/ \(19^o\cdot 30\)\/=\/\tan\/570^o\/ = \/\tan\/\(180^o\cdot3\/+\/30^o\)\/=\/\tan\/30^o \\ \tan\/ \(17^o\cdot 30\)\/=\/\tan\/510^o\/ = \/\tan\/\(180^o\cdot3\/-\/30^o\)\/=\/ -\tan\/30^o \\ \tan\/ \(13^o\cdot 30\)\/=\/\tan\/390^o\/ = \/\tan\/\(180^o\cdot2\/+\/30^o\)\/=\/ \tan\/30^o \\ \tan\/ \(11^o\cdot 30\)\/=\/\tan\/330^o\/ = \/\tan\/\(180^o\cdot2\/-\/30^o\)\/=\/ -\tan\/30^o$

Gli ultimi membri sono tutti irrazionali,
di conseguenza devono esserlo anche i
primi e le tangenti da cui provengono.

Perciò elimino altri quattro numeri
dalla sequenza vista sopra: anzi, ne
elimino cinque, poiché:

$330\/ = \/11\cdot 30\/ =\/ 22\cdot 15$.

Ottengo: $7,\/ 14,\/16,\/ 20,\/ 21.$

Osservo, ancora, che:

$3\cdot 5\cdot 7\cdot 16 \/=\/ 1680$

è divisibile per ciascuno dei cinque numeri
rimasti. Inoltre: $\/1680\/=\/180\cdot 9+60$, per
cui:

$\tan\/ 1680^o\/ = \tan\/60^o$

che, di nuovo, è irrazionale.

Di tutta la sequenza iniziale, dunque, non
è rimasto nemmeno un termine! Questo
significa, se non ho preso qualche abbaglio
(è anche probabile, vista l'ora...), che solo
per $\/n\/=\/45^o\/$ si ha $\/tan\/n\/$ razionale.

A te la palla, Martino

Sogni d'oro a tutti!

[Tino]

Ciao Bruno,

bene, mi sembra che la tua dimostrazione non faccia una piega!

Un'unica cosa: quanto vale esattamente la tangente di 18 gradi? Guardando su internet non ho trovato altro che valori approssimati (che obbrobrio ). Ricordo che un valore della tangente era $\sqrt{2}-1$, ma mi sembra che fosse quello attribuito a $\pi/12$. Potrei sbagliare.

Ciao!

[Br1]

Ciao, Martino!

La tangente di $\/18^o\/$ equivale a $\large \/\sqr{\frac{5-2\sqr{5}}{5}}\,$.

Mentre quella di $\/15^o\/$ è $\/2-\sqr{3}\;$



PS - Riporto qui un'interpretazione grafica
di quello che ho scritto sopra.