Figure esagonali composte da esagoni regolari.

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maria angelone
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Re: figure esagonali composte da esagoni regolari

Messaggio da maria angelone »

Dunque procediamo con gli esa
Per facilitare la conoscenza di queste figure mando a bruno in allegato uno schema di esa, dall’ordine 2 (7 esagoni) all’ordine 85( 21.421 esagoni). Non servirà consultare tutto lo schema da momento che ci stiamo occupando dei primi 10 esa dall’ordine 2 ( 7 esagoni) all’ordine 11 (331 esagoni), e su queste figure potrete trovare dei chiarimenti.
Dunque dicevo nei mess. precedenti, che io sono riuscita a risolvere dall’esa 19, il primo in cui si formano gli allineamenti, all’esa 331( in tutto 10 esa) tutte le configurazioni in cui, considerando l’esa come un numero matematico, il numero dei simboli viene ad essere quello dei divisori del numero di esagoni che compongono l’esa. Mentre la ripetizione dei simboli è data dal numero di esagoni che formano il lato esterno dell’esa., ed anche ho risolto le configurazioni in cui la ripetizione dei simboli è data dal numero degli esagoni che formano il lato esterno sottratto di un’unità.
Purtroppo però nei casi in cui la ripetizione dei simboli è maggiore degli esagoni del lato esterno non sempre è stata trovata la soluzione
Non è da considerarsi soluzione fattibile l’esa 37 (6,6,1) e l’esa 169 (13,13,0),poiché in tutti e due i casi, la soluzione geometrica è impossibile.
Passo ora a considerare i casi in cui io non sono riuscita a trovare una soluzione, quindi la soluzione di queste figure potrebbe sussistere o non essere geometricamente fattibile, fino a che qualcuno non ci avrà dato la prova dell’una o dell’altra ipotesi.

Esa fractal 55 - formatosi dalla sottrazione dei sei esagoni dell’esa 61. 55(9,6,1) soluzione non trovata. E’ opportuno sapere che la soluzione dell’esa 61 da cui questo si è originato, è stata trovata sia per la configurazione:12,5,1 sia anche per 10,6,1 che rappresenta la ripetizione di un numero maggiore di simboli rispetto al numero degli esagoni che formano il lato esterno.

Esa 127 ( 14,9,1). Soluzione non trovata :
A proposito di questo esa, togliendo i sei esagoni contenuti al centro dei sei lati del bordo esterno, e facendo diventare quindi,l’esa 127 un esa-fractal 121, sono riuscita a trovare la soluzione per la configurazione 121 (15,8,1)- molto difficile - mentre per il 127( 14, 9,1 ) la soluzione non è stata proprio trovata.

Esa 169(14,12,11) soluzione non trovata

Esa 271 (18,12,1) soluzione non trovata
Adesso a mio modesto avviso non è tanto delucidante sapere se la mancata soluzione delle figure è dovuta ad un errore umano o no. L’eventuale soluzione fatta con un programma a computer si presenta laboriosa, lunga e difficile, quindi allo stato attuale non ne vale la pena. Sarebbe molto più utile capire altri punti, eccone alcuni:

1) capire se nella divisione del numero degli esagoni per la ripetizione dei simboli c’è un legame col numero phi, 1,618, perché la risoluzione di questo aspetto potrebbe dare un seguito alla comprensione del problema. A suo tempo è stato anche studiato, ma geppi ed io, ma non abbiamo dato la giusta attenzione.
2) capire se può sussistere un algoritmo che si crea in queste figure. Io non sono riuscita a trovarlo, l’ho cercato tanto, ma senza successo. Il fatto vero è che per affrontare questo problema occorre una preparazione matematica che io non ho.
3) avventurarsi a capire se da questi allineamenti potrebbe venir fuori un codice cifrato
4) Capire se, avvicinandosi alla chimica, può sussistere un legame tra gli allineamenti di queste figure e i percorsi molecolari.
5) Capire se volendo disegnare una curva cha va dall’inizio di un esagono con un determinato simbolo e toccando tutti gli altri simboli uguali arriva fino al centro, qual è il percorso più breve.
6) alla fine come nelle riunioni di condominio, vari, ed eventuali….

Naturalmente mi rendo conto che queste sono curiosità un po' bislacche, che forse non hanno neanche tanto senso, però visto che gli allineamenti sono stati fatti, e la geometria esa è stata formalizzata, mi sembrerebbe più opportuno passare a quesiti, diversi, anche se non possono essere questi
Se poi i punti d’attenzione che ho proposto risultano veramente idioti, passiamo ad altro. Visto che da questi esa e da altri oggetti geometrici, sono venute fuori delle immagini colorate molto accattivanti, possiamo sempre raccoglierle in un bel book, e divertirci insieme. Se è così, non ve ne date pena, capirò.
Per il momento è tutto. Un caro saluto mar

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Re: figure esagonali composte da esagoni regolari

Messaggio da Admin »

Eccomi qua.
Posto il resoconto delle mie elucubrazioni di questi giorni sul problema.

Premetto che mi sono interessato principalmente all'aspetto informatico della questione.
Ossia riuscire ad implementare un algoritmo che trovi una soluzione (se c'è) in tempi ragionevoli, anche per numeri più grandi della sequenza degli esagonali centrati.
In particolare mi sono concentrato sul caso esa-$127$ $(14, 9, 1)$.
Ho realizzato vari programmini con diverse tecniche, ma comunque sono risultati sempre troppo lenti.

Diciamo che, dal punto di vista della ricerca dell'algoritmo per la soluzione, questo tipo di problemi, sono simili ad altri ben noti giochi di logica, come ad es. il sudoku o i quadrati latini;
tuttavia, vi è una sostanziale differenza con questi ultimi:
ossia, il numero dei numeri/simboli/colori che è possibile inserire in un allineamento puo' essere maggiore delle celle dell'allineamento, in un qualsiasi schema esa-$n$.
Questo fatto implica che questo gioco non sia un exact cover problem,
e quindi non puo' essere risolto con algoritmi di nota efficienza, come il DLX (Algoritmo X + Dancing Links di Donald Knuth), algoritmi che invece vengono applicati con successo nella risoluzione del sudoku, o dei quadrati latini, o anche, ad es. nel problema delle 8 regine, che sono tutti esempi di "Exact Cover Problem".

Per cui, l'alternativa è quella di realizzare un programma che implementi un algoritmo di backtracking, in modo efficiente.
Per il momento mi fermo qui, ma conto di riprovare tra qualche giorno.

P.S.: per chi è interessato agli algoritmi, consiglio di dare un'occhiata all'algoritmo X di Donald Knuth, che viene mostrato nella sua applicazione pratica alla risoluzione di un sudoku, nell'omonimo paragrafo di questo articolo di Wikipedia EN.

Saluti
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maria angelone
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allineamenti esagonali: problema P, NP, o nessuno di questi?

Messaggio da maria angelone »

Gli esa, figure geometriche da studiare, o abbandonare?

Buona sera admin, ti sono molto grata per l’attenzione che stai dedicando alla geometria Esa, e mi fa piacere notare che si sta creando tra noi uno scambio di informazioni. Vorrei pertanto fare qualche precisazione, per possibili sviluppi sull’argomento.
Ho avuto già modo di precisare che io non sono una matematica, e neanche ho una formazione culturale di tipo scientifico. Ribadisco il concetto, perché trovo che la mia totale carenza in questo campo della conoscenza, focalizzi meglio la singolarità del problema.
Mi fa piacere avere l’occasione di chiarire come una persona aliena al mondo degli algoritmi, delle equazioni, dei triangoli, quadrati, o nel caso specifico degli esagoni, trovandosi in una terra off limits, invece di muovere in fretta i suoi passi a ritroso, possa aver avuto la testardaggine di volerci rimanere un bel po’, dando vita ad una inspiegabile “corrispondenza d’amorosi sensi” tra un corpo umano ed un ente astratto.
E’ accaduto a me.
Pur avendo molte curiosità culturali e una vita personale attiva, giorno dopo giorno, ho finito col dedicare a questo argomento, per me di natura alquanto surreale, sempre più tempo ed energie

PERCHÉ? La risposta non è immediata.
Ancora oggi, a distanza di diversi anni, me lo chiedo.
Rileggendo il mio diario interiore, devo dire che il mio insistente vagabondaggio nell’universo esagonale, forse si legava alla segreta speranza che questi studi, nati dall’incipit di una intuizione, potessero avere un seguito che bypassasse la mia persona.
Il mio spirito in piena libertà creativa, aveva determinato queste figure assegnandole una prima carta di riconoscimento, ma non bastava.
Nella terra degli uomini, così come nell’universo matematico, occorre però una green card per avere un diritto d’accesso legale. Certo mi sarebbe piaciuto avere il privilegio di assegnare ai miei esagoni una chiara, inconfutabile identità matematica, ma la mia impreparazione in questo campo, sfortunatamente non mi consentiva di farlo.

QUANDO? La risposta è immediata.
Per caso, navigando in rete, un giorno mi capitò d’imbattermi in un esagono magico. Lo rivedo davanti agli occhi come fosse oggi. Un esagono iscrivente racchiudeva 19 esagoni regolari all’interno, un esagono ordine 3 in cui venivano posizionati diciannove numeri dall’uno al diciannove in modo tale che in tutti lati e le diagonali, la loro somma dava sempre lo stesso numero.
Carina la figura, ma niente di strabiliante, fu la mia prima reazione.
Eppure qualcosa mi induceva a poggiare ancora gli occhi su di lei, non riuscivo a staccarmene. Guardavo e riguardavo la figura.

A un tratto fulmineamente cominciai a vederla sotto un altro aspetto. Ma nessuno, possibile cominciai a chiedermi tra me, non si sia accorto che c’è dell’altro in questa figura?


Non ci sono solo somme uguali di numeri. Vengono fuori degli allineamenti, e quanti in particolare?
Uno, due, tre, quattro …no, non sono quattro, mi sembrano di più, infatti, a ben vedere sono sei. Sì, certo, sono sei tipi diversi di allineamenti.
Cominciavo a collocare l’esagono di diciannove esagoni in un diverso contesto interpretativo, che cosa bella.
Ma allora se ci sono degli allineamenti è possibile disporre dei simboli e vedere cosa succede.
Forse è possibile, proviamoci. Prendiamo i colori come simboli, sono più accattivanti dei numeri. L’esagono iscrivente quanti esagoni contiene? Diciannove piccoli esagoni, benissimo. Se rendiamo neutro l’esagono centrale colorandolo di nero, ne rimangono 18, e 18 per quale numero è divisibile, per 2 e per 3, s’intende. Splendido, allora vediamo se, prendendo 9 colori e ripetendoli ognuno due volte, riusciamo a posizionarli in modo tale che in tutti i sei tipi di allineamenti, questi non s’incrociano mai. Volevo verificare se era possibile assegnare a ognuno di loro una precisa direzione.
Mi sembrava di aver sfondato un territorio quasi mistico. Se fossi riuscita a dare loro un percorso incontrastato dagli stessi simboli, tutti i diciannove esagonini sarebbero stati vicinissimi tra loro, ognuno in comunione con gli altri, ma al contempo tutti, tutti liberi.
Liberi, proprio liberi? Sembrerebbe di no, visto che a ognuno di loro è data una rigida posizione dalla quale non possono scappare se vogliono formare tutti insieme una configurazione perfetta.
Ma la libertà è quella cosa che agisce in virtù della necessità della sua natura. Ecco il fondamento filosofico che avevo sempre condiviso, e che ora davanti a queste scoperte geometriche si riproponeva in tutta la sua potenza. Perché gli esagoni uniti insieme in un gruppo possano esprimere libertà, devono di necessità seguire la loro natura, che è il rigore, la bellezza. Ma questa bellezza è armonia, simmetria o asimmetria? Pensieri, pensieri, tanti pensieri….
La libertà incondizionata di queste figure, le emozioni che venivano fuori dall’aver creato un rapporto con loro, mi invitava ancora procedere nel mio voluttuoso cammino.
Perfetto, l’esperimento è riuscito, una grande gioia.
Divertiamoci ancora. Proviamo a dividere l’esagono per tre, sei colori ripetuti tre volte, e rendiamoci conto se il gioco funziona nuovamente. Strabiliante! In tutte le direzioni anche questa volta i colori non si ripetevano mai, e al centro un bell’esagono nero che timido, diversamente dagli altri colori, si manteneva in disparte, senza partecipare al posizionamento.
Ecco finalmente avevo configurato il mio esagono fantasmagorico, troppo bello per non avere la voglia di cercare l’immagine di altri esagoni simili, un esagono più grande di quello dell’ordine tre, e con un maggior numero di esagoni interni, ordinati sempre secondo le stesse regole.
Mi prende un raptus passionale, inizia una scorribanda furiosa in internet, sicura che queste figure, dovevano essere state oggetto di studi precedenti. Ma cerca da qui, cerca da lì, sotto gli occhi continuava a non venirmi mai niente. Solo esagoni magici di ordine maggiore di tre, questo sì, numerati in progressione e con la costante di avere solo somme uguali di numeri in tutte le direzioni. Solo questi.
Ma degli altri esagoni, quelli pieni di colori allineati geometricamente, che in verità a me parevano pirotecnici, molto più magici di quegli altri, e che io avevo sbirciato soltanto di striscio, dal buco della serratura del mio modesto appartamentino matematico, spulciando internet non ne veniva fuori neanche l’ombra. Assolutamente niente!
Devo dire che questa fu per me una scoperta deludente, non mi rendevo conto di come mai a nessuno fosse venuta la voglia di avvicinarsi a queste figure, studiarle, e configurarle geometricamente. Non seppi trovare una risposta che mi convincesse, e visto che le avevo identificate, attraverso una forma, toccava a me portare avanti la loro battaglia di riconoscimento.
L’esagono successivo a quello di 19 esagoni, era l’esagono che si formava aggiungendo a questo tutt’intorno una corona in più di esagoni, - fortunatamente per noi non si era allora in emergenza covid - venivano a formarsi 37 esagoni. Trentasette, meno l’esagono nero al centro, faceva 36. Facile, 36 diviso sei uguale 6. Avrei messo sei colori ripetuti ognuno quattro volte. Ma, per quanto tentassi e ritentassi, questa volta il giochetto non riusciva, perché? Ci volle diverso tempo a capire che l’allineamento dei colori non era esatto, non per mio errore, ma semplicemente perché questa configurazione non prevede soluzione geometrica.
Dovetti studiare un bel po’per comprendere il motivo di questa mia defaiance. Ma più mi applicavo a osservare e studiare la struttura che regolava la loro geometria, più scoprivo, incredibili proprietà e congetture, una più entusiasmante dell’altra.
Riuscii a risolvere persino un gruppo di complicati esagoni con allineamenti perfetti, e che tutti insieme formavano esattamente una flotta di mille esagoni, incredibile!
Identificarli scherzosamente come: “I Mille e una matta (o Matta ?) per un gioco da mille e una notte”, fu la umoristica conseguenza di questo mio insane lavoro.
Qualcuno ha detto che quando ci adopriamo a realizzare la nostra leggenda personale, tutto l’universo collabora perché questo accada.
Non so dire se sia vero, ma sta di fatto che a questo punto per una sorta di magia, entra in scena Geppi, di rigida formazione matematica, e fatto strano, dà credito alle mie bislacche teorie esagonali, cominciandosi ad appassionare con forza crescente.
Fu lui a formalizzare tutte le mie osservazioni e scoperte di profana novizia, in un sistema che poteva finalmente essere classificato e compreso come linguaggio matematico.
La geometria ESA, grazie al mio indimenticabile amico aveva avuto il suo battesimo ufficiale.

Adesso facciamo un balzo in avanti, e torniamo a te, Admin.
Mi hai scritto che ti stai dedicando nella ricerca di possibili algoritmi su alcune configurazioni particolari di esa, tesi a verificare se sussiste un possibile beneficio informatico. E questo fatto, non puoi neanche immaginare quanto mi faccia piacere. Ma prima che tu continui, proprio per il massimo rispetto che porto verso il tuo tempo, e la tua dedizione, perché il tuo impegno non corra il rischio di essere vanificato, sento di dovermi ancora intrattenermi con te, e mi scuso del tempo che ti sottraggo.
Se hai avuto la pazienza di seguirmi fin qui, ti starai giustamente chiedendo perché ti ho fatto questo lungo sproloquio iniziale, e quale è la logica che supporta il convincimento da parte mia che le cose dette sono funzionali alla comprensione del problema.
Cerco di spiegarmi.
La geometria Esa è ormai un dato di fatto. Converrebbe a mio parere, correggimi se sbaglio, che tu anzitutto ci dessi un’occhiata, soprattutto per renderti conto a che punto si è fermato un avanzamento degli studi a riguardo.
Da che parte comincia e perché, lo abbiamo detto. Ma il fatto nuovo, dove termina?
E’ possibile, è utile continuare ancora una speculazione sull’argomento? Che cosa sono in fondo questi esagoni, perché a nessuno è venuto mai in mente di allinearli, sono formazioni geometriche che non portano a niente, non hanno nessun risvolto informatico, nessuna correlazione con la fisica, la chimica, e allora perché impegnarsi e affaticarsi a risolvere enigmi che tutto sommato rimarranno un esercizio di bello stile, sia pure matematico e non letterario?
Si può rispondere a queste domande?
Io sono rimasta suggestionata, ipnotizzata dalla loro bellezza dalla loro volontà di custodire nella loro realtà geometrica segreti e misteri, è vero. Ma perché altri, magari con migliori argomentazioni di me e di Geppi, non si sono dedicati allo studio con la stessa passione?
So bene che ci sono infiniti problemi matematici e scientifici che non trovano proseliti proprio perché gli argomenti sono tanti, e oggi si deve dare necessariamente la preferenza a quelli che possono avere una valenza nel campo dell’informatica a risolvere problemi pratici, come risolvere quei problemi che potrebbero minare la sicurezza delle nostre carte di credito, tanto per cominciare.
Ma allora, questi esagoni, che sono, bazzecole, sciocchezze, i cui studi non essendo più interessanti, si devono fermare, ed essere postati definitivamente in una zona d’ombra?
Forse non è poi tanto facile rispondere a queste domande. Perché la risposta implica la premessa di un quesito iniziale: Ma di che cosa stiamo parlando? Perché, dopotutto, forse ancora non lo sappiamo nella sua interezza.
Caro admin, il fatto è che io credo che questi esagoni non abbiano messo ancora in piena luce la loro natura. Ancora non è chiaro se non apportano nessun beneficio pratico o vantaggio teoretico, oppure mostrano degli elementi di interesse, tali da metterli al centro di una rinnovata attenzione.

Cominciamo a vedere che cosa sappiamo di loro. La prima cosa che viene da pensare è che per alcune configurazioni non è stata trovata una soluzione, e neanche però è stato dimostrato che questa soluzione non esiste, ma questo significa qualcosa?
Vorrei farti vedere come geppi nella geometria esa ha affrontato il problema, secondo un’angolazione legata al phi.
Puoi leggere tu stesso l’estratto:

Per le terne a partire dalle quali non si è trovata una soluzione, non è però stato dimostrato che tale soluzione non esista.

n Il valore c/r più basso del trio che genera una soluzione è quello del trio (10,6,1). In tale caso, c/r = 1.66666
n Il valore c/r più alto di una terna di cui non si è trovata una soluzione è quello della terna (14,9,1). In tal caso, si ha c/r = 1.55555
n La media aritmetica dei due rapporti è 1.61111.
n Il numero Φ = 1.61803 nella (7’) è stato scelto con il solo criterio di essere il numero notevole che più si avvicina a 1.61111 .
Tutto questo discorso legato al numero aureo, rimane sospeso, manca la struttura matematica per definirlo con rigorosità. Suppongo che Geppi si è trovato davanti a un campo minato, e ha preferito fare dietro front.
Ma perché poi è importante capire se c’è un punto di contatto con il phi che magari possa riuscire a farci intendere se si riuscirà mai a poter trovare un algoritmo, per tutte le configurazioni, o solo per qualcuna, e quali in particolare?
Ecco, siamo arrivati a un altro punto fondamentale.
A mio parere, ciò che dovrebbe oggi essere studiato, prima ancora di dedicarsi alla ricerca di algoritmi è quella di mettere gli esa in correlazione con P ed NP.
Insomma, gli Esa, sono problemi che rientrano in quelli polinomiali, o non polinomiali?
Questa è la cosa determinante, di grande interesse, che potrebbe dare una svolta a possibili futuri studi, oppure a bloccarli definitivamente.
Vedi Admin, io credo che siamo giunti al punto che sarebbe opportuno che nel problema non fosse coinvolta una sola persona, ma un gruppo.
Nessun uomo o donna può mettersi a studiare un problema che non ha né forza matematica, né convenienza ad un utilizzo pratico. Si stancherebbe presto e lascerebbe la situazione sostanzialmente invariata.
Se invece più persone affrontano il problema di P e NP non per risolverlo, certo, data la estrema difficoltà di risoluzione che fino a questo momento non è riuscita a nessuno, ma solo capire se gli esa possono rientrare in queste problematiche, oppure non ci rientrano affatto.
Io ovviamente non so se questo sia appurabile, ma se fossi un matematico, e intravedessi che c’è un possibile aspetto interessante di queste figure, sarebbe la prima cosa che mi verrebbe in mente di pensare.
Vaghe sensazioni si affacciano all’animo. Sono suggestionata dall’idea che in qualche maniera esiste una corrispondenza tra queste figure e la struttura molecolare degli elementi, dei cristalli.
Mi vengono in mente gli allotropi del carbonio, la grafite, i fullereni, che si organizzano tutti in forma esagonale, ma queste forme che forma prendono, regolare, irregolare, organizzata da un algoritmo? E la struttura del diamante dove la mettiamo? Una forma tetraedrica, d’accordo, ma in quella stessa forma si configurano allineamenti esagonali, anche questi dotati, oppure no, di simmetria? E il flower of life, che è stato studiato anche in informatica, uno spettacolare gioco a incastro di cerchi chiusi in forma esagonale, che ci lascia a bocca aperta.
Quanti allineamenti si configurano in questa specie di fiore stellare, cinque, dieci, cento… e chi lo sa, io sono arrivata ad allinearne tantissimi, ma ipotizzo ce ne saranno anche altri. Se
Se fossi un matematico, quanto mi piacerebbe, Admin, poter rispondere a queste domande… ma non lo sono Serena Notte a te

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Re: figure esagonali composte da esagoni regolari

Messaggio da Admin »

Ciao Maria,
ho riordinato un po' i messaggi.
Non me ne volere, ma così anche il generico visitatore ha il materiale inerente l'argomento tutto in un posto e puo' seguire.

Appena ho un po' più di tempo a disposizione, riprovo.

P.S.: non parlare solo con me, rivolgiti a tutti, funziona così il forum.
Per fare un esempio, il mese prossimo potrebbe passare qualche "ricercatore" (cercatore con google) di qua ed avere qualcosa da condividere con questi temi.

Saluti
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maria angelone
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Re: figure esagonali composte da esagoni regolari

Messaggio da maria angelone »

Buon giorno, un saluto a tutti. Mi è sorta una perplessità, e sarei grata a chi volesse chiarirmela.

Nello studiare gli ESA - che come detto sono figure esagonali composte da un esagono iscrivente formato a sua volta da esagoni regolari in cui si configurano allineamenti geometrici - mi sono accorta di non avere chiarezza su un certo punto.
Precedentemente ho avuto modo di dire che le figure geometriche in oggetto, matematicamente corrispondono ai numeri esagonali centrati. Bene.

Adesso il problema è questo. Tralascio l’argomentazione di carattere geometrico per non indurre in confusione chi non ha dimestichezza con gli allineamenti che vengono a configurarsi, e considero queste figure solo sotto il profilo matematico.

Gli ESA, in quanto appunto numeri esagonali centrati, nei casi in cui non sono numeri primi e quindi divisibili, presentano delle particolarità.
Mi sono infatti accorta
A) Che hanno sempre come primo divisore un numero primo.
In particolare un numero primo che parte sempre da sette, mai da tre.
Nella maggior parte dei casi si tratterà di un numero ricorsivo: 7,13, 19, anche se questa osservazione va approfondita.

B) Che dividendo poi il numero esagonale centrato non primo per il divisore più piccolo, si otterrà ancora una volta un numero primo.
Questo nel caso in cui la divisione del numero esagonale centrato ha solo due divisori. Se invece la divisione di questo numero ha più di 2 divisori, ad eccezione ovviamente dell’unità, il numero che risulta dalla divisione del numero n esa per il divisore più piccolo non sarà mai un numero primo


Ipotizzo che queste mie osservazioni siano note ai matematici, e si ricavino da formule ed equazioni ben precise.
Sta di fatto però che non ne posso essere certa, per cui mi piacerebbe molto che qualcuno mi aiutasse a capire se i riscontri da me fatti non rappresentino nulla che non sia già conosciuto, non hanno proprio valenza matematica, o diversamente evidenziano questioni che meritano un approfondimento.

Se questi rilievi non sono stati oggetti di studi precedenti,
sarebbe quindi possibile formulare due congetture in questi termini:

Congettura 1
Entrambi i divisori di un qualunque numero (n esa) esagonale centrato, quando questi non sono maggiori di due, ad esclusione dell’unità, sono sempre numeri primi a partire dal numero 7
Congettura 2
I divisori di un numero n esa quando sono maggiori di due sono per metà primi e per metà non primi, diversi da 3 e 7 e formano coppie di numeri per cui se il primo divisore è un numero primo, il divisore corrispettivo non è primo.
Un grazie di cuore a chi vorrà aiutarmi a far luce sulla questione. mariolina

Bruno
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Re: figure esagonali composte da esagoni regolari

Messaggio da Bruno »

maria angelone ha scritto:
mer apr 29, 2020 3:38 pm
Congettura 1
Entrambi i divisori di un qualunque numero (n esa) esagonale centrato, quando questi non sono maggiori di due, ad esclusione dell’unità, sono sempre numeri primi a partire dal numero 7.

Congettura 2
I divisori di un numero n esa quando sono maggiori di due sono per metà primi e per metà non primi, diversi da 3 e 7 e formano coppie di numeri per cui se il primo divisore è un numero primo, il divisore corrispettivo non è primo.
Un grazie di cuore a chi vorrà aiutarmi a far luce sulla questione.

Mariolina :D la prima congettura è vera perché un numero esagonale centrato non può essere divisibile per 2 (essendo sempre dispari), per 3 (perché è della forma 3·k+1) e per 5 (perché si dimostra facilmente che esso può terminare unicamente con 1, 7, 9). Dunque, i fattori primi possono essere solo maggiori di 5.

Non ho invece capito la seconda congettura... :roll:
55081 è il prodotto di tre divisori primi maggiori di 7 e ha quattro divisori non primi maggiori di 1. Come applichi il tuo discorso a questo caso?
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
(Biagio Marin)

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Re: figure esagonali composte da esagoni regolari

Messaggio da maria angelone »

Grazie bruno della sollecita risposta. Sei molto gentile.
Soffermiamoci un attimo sulla congettura 1.
Tu dici che è vera, dato che un hex number non può essere divisibile per due, per 3, e per 5, d’accordo.
Credo però che ci sia un equivoco dovuto al fatto che forse non mi sono spiegata sufficientemente bene.
Prima di arrivare a una possibile congettura, mi preme capire anzitutto
il punto A e il punto B .

Punto A)
“Perché gli hex numbers quando non rappresentano numeri primi, hanno comunque il divisore più piccolo che invece è sempre un numero primo?”
( Indipendentemente poi dal fatto che il divisore più piccolo parte dal numero 7 per i motivi che tu adduci.)

Punto B)
Perché dividendo un hex number per il divisore più piccolo, si ottiene ancora una volta un numero primo, quando i divisori sono soltanto due, e se invece si evidenziano più di 2 divisori, ad eccezione ovviamente dell’unità, il numero che risulta dalla divisione del numero n esa per il divisore più piccolo non sarà mai un numero primo?

Ecco io vorrei sapere se le risposte ai punti A e B denotano conoscenze matematiche ben note, oppure sono soltanto mie osservazioni, perché in tal caso, se la domanda è impostata correttamente in modo matematico, allora da queste potrebbero derivare delle congetture.

Spero di aver chiarito il mio pensiero. Ho tante cose da dire e da apprendere su un argomento che trovo molto affascinante,, ma se non ci intendiamo su questo punto, mi sembra inutile chiarire le altre osservazioni.
Spero tu sia d’accordo. Ti auguro una piacevole serata, e grazie ancora del tempo che mi dedichi. mariolina

Bruno
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Re: figure esagonali composte da esagoni regolari

Messaggio da Bruno »

maria angelone ha scritto:
mer apr 29, 2020 8:12 pm
Punto A)
“Perché gli hex numbers quando non rappresentano numeri primi, hanno comunque il divisore più piccolo che invece è sempre un numero primo?”
( Indipendentemente poi dal fatto che il divisore più piccolo parte dal numero 7 per i motivi che tu adduci.)

Punto B)
Perché dividendo un hex number per il divisore più piccolo, si ottiene ancora una volta un numero primo, quando i divisori sono soltanto due, e se invece si evidenziano più di 2 divisori, ad eccezione ovviamente dell’unità, il numero che risulta dalla divisione del numero n esa per il divisore più piccolo non sarà mai un numero primo?

Punto A)
Mariolina, esiste un importante teorema dell'aritmetica che richiamo qui.
Ciò significa, quindi, che posso scrivere anche qualsiasi Hex(i) come prodotto di numeri primi (la rappresentazione è unica) e ordinarli dal più piccolo al più grande. Per esempio: 1519 = 7∙7∙31 o 80197 = 13·31·199.
Come vedi, il divisore minore è sempre primo e questa proprietà riguarda i numeri pari o dispari, i numeri triangolari o pentagonali etc.

Punto B)
A volte gli esempi sono più chiari di tanti discorsi, quindi scelgo dei numeri interi a caso: 39 e 42.
Se scrivo 39 = 3·13 applicando il teorema suddetto, vuol dire che 39/3 = 13 è senz'altro primo, ma anche 39/13 = 3 lo è, nonostante 13 non sia il divisore più piccolo.
Se scrivo 42 = 2·3·7, trovo che 42/2 = 21 = 3·7 non è primo, come non lo è 42/3 = 14 = 2·7 oppure 42/7 = 6 = 2·3. E questo succede anche quando il fattore primo considerato non è il più piccolo.

Cosa ne dici, Mariolina, ti torna?
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maria angelone
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Re: figure esagonali composte da esagoni regolari

Messaggio da maria angelone »

grazie bruno, è chiarissimo. tu hai applicato il teorema fondamentale dell'aritmetica. Io ci avevo pensato, ma non mi è venuto istintivamente di applicarlo agli esa. sono proprio una frana in matematica.
Studierò poi tutti gli altri punti delle mie osservazioni in oggetto, ma è evidente che discendono tutte da questo teorema.
Ho scritto l'altro giorno un lungo dossier a admin, perchè penso che queste figure geometriche abbiano ancora tanto da dire, e mi piacerebbe avere un suo ed anche, se possibile, un tuo simpatico parere. Soprattutto riguardo alla questione se i problemi connessi agli allineamenti, che s'inquadrano, credo nella teoria dei grafi, possano rientrare nei problemi P ed NP, oppure in nessuno di questi.
Se riesci a dare uno sguardo paziente al copioso scritto, quando ti capita e ne hai voglia, ne sarei contenta.
adesso ti lascio, vado in cucina, devo infornare il pane che non è meno importante degli esa.
A volte ho la sensazione che le faccende legate a questi esagoni, per altro, credimi, interessantissime, mi facciano sentire come i teologi bizantini che s'incaponivano a discutere sul sesso degli angeli, mentre i turchi stavano per espugnare costantinopoli e porre fine all'impero romano d'oriente.
Anche noi siamo sull'orlo di un abisso, non solo sanitario, ma prima ancora politico e sociale. E io parlo degli esa. Bahhhh!!!
ma la matematica, non serve anche a farci aprire gli occhi sull'essenza delle cose, e a spostarli di conseguenza verso il reale, per migliorarlo e per viverlo intensamente?
Forse si. Io ho fiducia in questo. credo che dopotutto questa sia una certezza, una delle più belle certezze che noi umani possiamo costruirci. Sei d'accordo? felice giornata mar

maria angelone
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Re: figure esagonali composte da esagoni regolari

Messaggio da maria angelone »

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Bruno
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Re: figure esagonali composte da esagoni regolari

Messaggio da Bruno »

Griglia corrispondente al numero stellare 37, riempita con tutte le cifre da 1 a 9, ciascuna ripetuta 4 volte, mantenendo la cella centrale vuota.
Le linee diagonali, verticali e orizzontali non contengono numeri ripetuti.
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maria angelone
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Re: Figure esagonali composte da esagoni regolari.

Messaggio da maria angelone »

Grazie bruno, tutto perfetto, tranne una cosa: tu dici che le linee verticali, orizzontali, e diagonali non contengono numeri ripetuti. sta bene, ma credo che su questo punto occorre fare una precisazione. Detto in questi termini potrebbe dare a chi ci legge una falsa certezza sul numero dei diversi tipi di allineamenti, ovvero che siano quattro, e non sei come effettivamente sono.
In tutti gli esa che io ho allineato, gli esa esagoni, ma anche gli esa star, esa triangoli esa rombi, esa trapezi, esa parallelepipedi - matematicamente come ho avuto modo di dire queste figure corrispondono ai numeri figurati centrati - si configurano infatti sempre sei diversi tipi di allineamenti. Solo i quadrati centrati presentano quattro diversi tipi e non sei come nelle figure composte da esagoni.
Se guardi la figura dell’esa star 37 ti accorgerai subito che gli allineamenti sono effettivamente di sei tipi .
Per la precisione in questo esa-star si formano 60 allineamenti in ognuno dei quali i simboli sono sempre diversi.

Premesso ciò, permettimi di rivolgere una preghiera a te e agli altri amici del gruppo che ci seguono:
Voi che siete matematici, sapete spiegare a una non matematica qual sono io, perché i numeri figurati che sono stati studiati nei dettagli, però non sono stati presi in considerazione da nessuno sotto l’aspetto degli allineamenti che si formano nelle diverse figure?
Non mi rispondete, per cortesia, perchè le figure esagonali matematicamente non costituiscono un problema rilevante. In matematica vengono fuori quantità esorbitanti di problemi, ed è impossibile seguirli tutti. Sono oggetto di studi solo quelli più interessanti, che hanno speranza di essere convertiti in modelli utili per l’ informatica, o che, per altro, possono essere propedeutici a risolvere problemi matematici più complessi. E gli esagoni in questione, non rientrano in nessuna di queste categorie.

Per piacere, non mi dite questo, semplicemente perché non ci credo.
Voi che siete matematici perché come prima cosa non scoprite se il problema degli allineamenti, - vi assicuro che in questi oggetti matematici, se ne evidenziano tanti e negli aspetti più imprevedibili - è un problema polinomiale o non è polinomiale? Questi allineamenti sono
P, oppure NP ?
Perché vi dovreste interessare a questi allineamenti? Non vi posso dare una risposta matematicamente plausibile, ma ve la posso dare attraverso l’istinto. Io sono certa che sotto questa risposta si celano domande a catena che possono mettere in luce problemi molto interessanti. Insomma un terreno vergine ancora tutto da scoprire.
Io ho fatto da pioniere in questa terra selvaggia, d’accordo, ma mi piacerebbe che qualc’un altro, un vero matematico, volesse percorrere la strada che io, da lontano ho solo intravisto con… l’occhio di Horus, sempre se vi piace sentir dire la mia opinione in forma poetica.. Grazie a tutti e buona serata mar

maria angelone
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Re: Figure esagonali composte da esagoni regolari.

Messaggio da maria angelone »

Numeri Hex -Star.jpg
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maria angelone
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Re: Figure esagonali composte da esagoni regolari.

Messaggio da maria angelone »

Numeri Hex – star)
Numeri che possono assumere una forma sia stellare sia esagonale

1.jpg
1.jpg (3.61 KiB) Visto 822 volte

E’ interessante notare che la somma per unità di ogni numero Hex-star (1,37,1261,42841… e che diventa 1,10,10,19…. Produce almeno in questi primi 12 numeri hex-star , un numero che sottratto al numero susseguente forma sempre il numero 9, in un solo caso un multiplo di 9, ovvero 18, e in un altro caso -9
La sequenza è questa:

10-1= 9
19-10=9
28-19=9
37-28=9
55-37=18
46-55= -9
55-46=9
64-55=9
73-64=9
82-73=9

La radice numerica dei numeri stellari, invece è sempre 1, oppure, 4
nella sequenza: 1,1,4

La radice numerica dei numeri esagonali centrati è invece 1, oppure, 7
nella sequenza: 1,1,7
Osservazioni
Come dallo schema sopra indicato, si può notare che la somma per unità dei numeri che sono sia stellari che esagonali, porta sempre a :
10 che ridotto ad una sola cifra forma 1
Sommando per unità i numeri che si ottengono dalla differenza tra un numero maggiore ed uno minore in sequenza si forma sempre il numero 9
Esempi:
37 - 1 = 36 3+6 = 9
1261 - 37 = 1224 1+2+2+4 = 9
42841 – 1261 = 41580 4+1+5+8 = 18 1+8 = 9


la somma per unità di un numero hex-star che si ottiene sottraendo un numero minore da un numero maggiore ma non in sequenza produce sempre il numero 9

Esempi:

1.455.337 - 37 = 1455300 1+4+5+5+3= 18 1+8= 9
49.438.621 – 1261 = 49395780 4+9+3+5+7+8= 36 3+6=9


La somma di due numeri hex- star sia in sequenza che non in sequenza, produce sempre un numero che sommato per unità forma il numero 2.
Esempi:
(In sequenza) 1+37= 38 3+8=11 1+1= 2
37 + 1261 = 1298 1+2+9+8 = 20 = 2
(Non in sequenza)37 + 42.841= 42878 4+2+8+7+8= 29 2+9 =11 1+1= 2
1261+1.455.337 = 1456598 1+4+5+6+5+9+8=38 3+8 11 1+1= 2

Le cifre che compongono i numeri hex- star in sequenza aumentano alternativamente di 1 e 2 unità .
infatti 37 è formato da 2 cifre ;
1261 da 4 cifre ;
42841 da 5 cifre …..
Per cui la sequenza dell’aumento delle cifre tra un numero maggiore ed un numero minore tra i primi 12 numeri che sono sia esagonali che stellari viene ad essere sempre:

1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2 Da questo si deduce che ad esempio il numero successivo a quello che ha 10 cifre avrà 11 cifre e quello successivo ancora avrà 13 cifre e quello ancora successivo, 14 cifre e così di seguito…
Importante:

Almeno nei primi 12 numeri Hex-Star dividendo un numero hex -star dal numero hex- star precedente, ad eccezione dei primi numeri (37:1=37 e 1261:37=34,081081) si produce sempre il numero 33 seguito da decimali. I primi due decimali sono sempre gli stessi: 97, gli altri decimali o differiscono di pochissimo, o sono gli stessi.

37 : 1 = 37
1261 : 37 = 34,081081
42841 :1261 = 33,97383
1455337:42841= 33,970658
49438621:1455337= 33,970565
1.679.457.781: 49438621=33,970562
57.052.125.937 : 1.679.457.781=33,970562
1.938.092.824.081: 57.052.125.937=33,970562
La formfula che mette in rapporto un numero esagonale centrato con un numero stellare è la seguente:
2 E – 1 = St
(2 numeri esagonali centrati – 1 sono uguali ad un numero stellare dello stesso ordine
(esempio: 19+19 – 1 = 37. Numero stellare ed esagonale centrato ordine 3)
La Formula per ottenere numeri esagonali centrati che siano anche numeri stellari è
formula per ricavare i numeri Hex-Star scoperta da Bruno:

Star numbers (i primi 15 numeri)
1,
13,
37,
73,
121,
181
253,
337,
433,
541,
661,
793,
937,
1093
1261

Numeri esagonali centrati (i primi 15 numeri)
1
7
37
61
91
127
169
217
271
331
397
469
547
631
721

Bruno
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Re: Figure esagonali composte da esagoni regolari.

Messaggio da Bruno »

mariolina ha scritto:
lun mag 11, 2020 6:03 pm
(...) tu dici che le linee verticali, orizzontali, e diagonali non contengono numeri ripetuti. sta bene, ma credo che su questo punto occorre fare una precisazione. Detto in questi termini potrebbe dare a chi ci legge una falsa certezza sul numero dei diversi tipi di allineamenti, ovvero che siano quattro, e non sei come effettivamente sono.

Sì, sì, certo: mi riferivo, con "diagonali", a un significato più generico e non schiettamente geometrico, per analogia pensavo a linee trasversali oblique :wink:
Hai fatto bene a chiarire tale aspetto.



mariolina ha scritto:
lun mag 11, 2020 6:03 pm
(...) sapete spiegare a una non matematica qual sono io, perché i numeri figurati che sono stati studiati nei dettagli, però non sono stati presi in considerazione da nessuno sotto l’aspetto degli allineamenti che si formano nelle diverse figure?

Non so risponderti, Mariolina, soprattutto perché non sono in grado di escludere che qualcuno si sia già occupato dell'argomento.
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(Biagio Marin)

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