Nel circuito raffigurato sono inserite 9 resistenze identiche.
Come si distribuisce l'intensità di corrente nei diversi rami?
E' gradita un'interpretazione geometrica del risultato.
www.diophante.fr
H10164
La Jaune et la Rouge dicembre 2004
Applico una differenza di potenziale $V$ fra i punti $A$ e $F$.Elettricità e Geometria.
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Elettricità e Geometria.
Franco
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noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
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Re: Elettricità e Geometria.
Ho provato a risolvere il circuito ricordando cose studiate troppi anni fa.
Purtroppo i miei risultati non sembrano riconducibili a quelli dati sul sito diophante.
Comunque, posto la mia prova, con la preghiera di segnalarmi gli errori. Indico con R il valore delle resistenze (tutte uguali) e con V la tensione.
$2RJ_1-RJ_2-RJ_3=V$
$4RJ_2-RJ_1-RJ_3-RJ_5=0$
$3RJ_3-RJ_1-RJ_2-RJ_4=0$
$3RJ_4-RJ_3-RJ_5=0$
$3RJ_5-RJ_2-RJ_4=0$
Ho diviso tutto per R e ho posto V/R=28, per tentativi, per avere risultati interi.
WxMaxima mi dice che:
j1=27
j2=11
j3=15
j4=7
j5=6
Da cui si ricavano i valori (ma ci sono anche i versi, qui non indicati):
i1=J1-J2=16 e analogamente
i2=12
i3=4
i4=7
i5=8
i6=1
i7=5
i8=6
i9=11
che non mi sembrano compatibili con i risultati di diophante.
Purtroppo i miei risultati non sembrano riconducibili a quelli dati sul sito diophante.
Comunque, posto la mia prova, con la preghiera di segnalarmi gli errori. Indico con R il valore delle resistenze (tutte uguali) e con V la tensione.
$2RJ_1-RJ_2-RJ_3=V$
$4RJ_2-RJ_1-RJ_3-RJ_5=0$
$3RJ_3-RJ_1-RJ_2-RJ_4=0$
$3RJ_4-RJ_3-RJ_5=0$
$3RJ_5-RJ_2-RJ_4=0$
Ho diviso tutto per R e ho posto V/R=28, per tentativi, per avere risultati interi.
WxMaxima mi dice che:
j1=27
j2=11
j3=15
j4=7
j5=6
Da cui si ricavano i valori (ma ci sono anche i versi, qui non indicati):
i1=J1-J2=16 e analogamente
i2=12
i3=4
i4=7
i5=8
i6=1
i7=5
i8=6
i9=11
che non mi sembrano compatibili con i risultati di diophante.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Elettricità e Geometria.
Tu hai ricavato il sistema
$\displaystyle \left\{\begin{array}{lC}
2R\ i_1-R\ i_2-R\ i_3=E \\
4R\ i_2-R\ i_1-R\ i_3-R\ i_5=0 \\
3R\ i_3-R\ i_1-R\ i_2-R\ i_4=0 \\
3R\ i_4-R\ i_3-R\ i_5=0 \\
3R\ i_5-R\ i_2-R\ i_4=0
\end{array}\right.\qquad\Longrightarrow\qquad \left\{\begin{array}{lC}
2i_1-i_2-i_3=E/R \\
4i_2-i_1-i_3-i_5=0 \\
3i_3-i_1-i_2-i_4=0 \\
3i_4-i_3-i_5=0 \\
3i_5-i_2-i_4=0
\end{array}\right.$
Lo pongo in forma matriciale
$\displaystyle \left(\begin{array}{rC}
2 & -1 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 4 & -1 & 0 & -1 \\
-1 & -1 & 3 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 3 & -1 \\
0 & -1 & 0 & -1 & 3 \\
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{rC}
i_1 \\ i_2 \\ i_3 \\ i_4 \\ i_5
\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{rC}
1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{array}\right)\frac{E}{R}$
cioè
$\displaystyle \left(\begin{array}{rC}
i_1 \\ i_2 \\ i_3 \\ i_4 \\ i_5
\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{rC}
2 & -1 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 4 & -1 & 0 & -1 \\
-1 & -1 & 3 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 3 & -1 \\
0 & -1 & 0 & -1 & 3 \\
\end{array}\right)^{-1}
\left(\begin{array}{rC}
1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{array}\right)\frac{E}{R}$
Chiedo aiuto a WolframAlpha ottenendo
$\displaystyle\left(\begin{array}{rC}
i_1 \\ i_2 \\ i_3 \\ i_4 \\ i_5
\end{array}\right)
=\frac1{32}\left(\begin{array}{rC}
33 \\ 15 \\ 19 \\ 9 \\ 8
\end{array}\right)\frac{E}{R}$
Indi
$
\displaystyle U_{\text{AB}}=i_4\ R=\frac{ 9}{32}E\\
\displaystyle U_{\text{AC}}=\left(i_3-i_4 \right)\ R=\frac{10}{32}E\\
\displaystyle U_{\text{AD}}=\left(i_1-i_3 \right)\ R=\frac{14}{32}E\\
\displaystyle U_{\text{BC}}=\left(i_4-i_5 \right)\ R=\frac{ 1}{32}E\\
\displaystyle U_{\text{BE}}=i_5\ R=\frac{ 8}{32}E\\
\displaystyle U_{\text{CD}}=\left(i_3-i_2 \right)\ R=\frac{ 4}{32}E\\
\displaystyle U_{\text{CE}}=\left(i_2-i_5 \right)\ R=\frac{ 7}{32}E\\
\displaystyle U_{\text{DF}}=\left(i_1-i_2 \right)\ R=\frac{18}{32}E\\
\displaystyle U_{\text{EF}}=i_2\ R=\frac{15}{32}E\\
$
che sono i numeri di Diophante.
La prima volta che ho visto un problema analogo è stata molti anni in Martin Gardner...
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Re: Elettricità e Geometria.
Grazie, Panurgo, perfetto.
Le tue equazioni sono uguali alle mie, ma avevo scritto un indice sbagliato su WxMaxima.
Ora tutto torna.
Ecco il risultato:
(%i6) linsolve([2*j1-j2-j3=V, 4*j2-j1-j3-j5=0, 3*j3-j1-j2-j4=0, 3*j4-j3-j5=0, 3*j5-j2-j4=0], [j1,j2,j3,j4,j5]);
(%o6) [j1=(33*V)/32,j2=(15*V)/32,j3=(19*V)/32,j4=(9*V)/32,j5=V/4]
A quella interpretazione geometrica non ci sarei mai arrivato.
Le tue equazioni sono uguali alle mie, ma avevo scritto un indice sbagliato su WxMaxima.
Ora tutto torna.
Ecco il risultato:
(%i6) linsolve([2*j1-j2-j3=V, 4*j2-j1-j3-j5=0, 3*j3-j1-j2-j4=0, 3*j4-j3-j5=0, 3*j5-j2-j4=0], [j1,j2,j3,j4,j5]);
(%o6) [j1=(33*V)/32,j2=(15*V)/32,j3=(19*V)/32,j4=(9*V)/32,j5=V/4]
A quella interpretazione geometrica non ci sarei mai arrivato.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Elettricità e Geometria.
In realtà, se segui il mio link vedrai che la cosa è a rovescio: quattro tizi, negli anni trenta, hanno usato la teoria delle reti elettriche per trovare la "quadratura" dei quadrati...
il panurgo
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